ПРОГНОЗИРОВАНИЕ НА ОСНОВЕ ПАРНОГО ЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ РЕГРЕССИИ

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2

Цель работы: построить на основе статистических данных с помощью прикладного программного пакетадляэконометрического моделирования GRETL -1.9.92 парное линейное уравнение регрессии, оценить качество модели, и, если оно будет удовлетворительным, сделать прогноз.

 

ТЕОРИЯ

Доверительный интервал для неизвестного параметра линейного уравнения регрессии A:

Аналогичное определяется доверительные интервал для параметра B:

Для оценки статистической значимости коэффициента регрессии и корреляции используется тест.

Проверяется нулевая гипотеза об отсутствии линейной связи между переменными X и Y, т.е. . Конкурирующая гипотеза – существует линейная связь между переменными (формально ). Проверка нулевой гипотезы состоит в сравнении фактического или наблюдаемого и критического или табличного значений критерия Стьюдента. Рассчитывается по формуле:

(3)

Здесь – стандартная ошибка коэффициента корреляции, – объем выборки. Полученное значение критерия сравнивается с критическим значением , определяемым по таблице Стьюдента по заданному уровню значимости и по числу степеней свободы .

Если , то гипотеза отвергается на уровне значимости , т.е. считается, что коэффициент корреляции между переменными отличен от нуля и между переменными существует линейная связь. Уравнение регрессии в данном случае тоже считается значимым.

Если , то нет оснований отклонять нулевую гипотезу.

1.2. Для оценки статистической значимости найденных МНК параметров уравнения регрессии и используется тест.

Выдвигается нулевая гипотеза о статистической незначимости, то есть случайной природе показателей. Фактические (наблюдаемые) значения критирия находят по формулам:

(4)

и сравнивают с критическим значением , определяемым по таблице Стьюдента по заданному уровню значимости и по числу степеней свободы .

Если наблюдаемые значения критирия и больше табличного значения , то гипотеза отклоняется, т.е. параметры и не случайно отличаются от нуля и сформировались под влиянием систематически действующего фактора . Уравнение регрессии в данном случае тоже считается значимым. Если , то не оснований отклонять нулевую гипотезу.

1.3. Оценка статистической значимости уравнения в целом проводится с помощью –критерия.

При проверки статистической значимости уравнения регрессии с помощью критерия Фишера проверяется нулевая гипотеза о случайности различий факторной и остаточной гипотезы. Для этого выполняется сравнение фактического и табличного значений критерия Фишера. определяется из специальной таблицы с помощью трех чисел: уровня значимости и степеней свободы и , .

Нулевая гипотеза отклоняется, если и признается статистическая значимость и надежность оцениваемых характеристик. Если , то гипотеза не отклоняется и признается статистическая незначимость, ненадежность уравнения регрессии.

Различают точечное и интервальное прогнозирование. В первом случае оценка – некоторое число, а во втором – интервал, в котором находится истинное значение зависимой переменной с заданным уровнем значимости.

Пусть значение воздействующего фактора. Тогда предсказанным значением является оценка (точечный прогноз), величину которой найдем из уравнения регрессии .

Доверительный интервал для среднего значения:

здесь – стандартная ошибка предсказания, вычисляемая по формуле:

. (5)

Предиктивный интервал:

(6)

 

Моделирование в данной работе будет осуществляться на основе прикладного программного пакетаGRETL -1.9.92. Пакет программ GRETL (GNU Regression Econometrics and Time Series Library) представляет собой инструментарий для построения и анализа эконометрических моделей. Данный программный пакет находится в свободном доступе. Сайт разработчика: https://gretl.sourceforge.net.

Возможности программы:

1. Основные описательные статистики (среднее арифметическое, медиана, минимальное и максимальное значения, среднеквадратическое отклонение, коэффициент вариации, коэффициент асимметрии, коэффициент эксцесса).

2. Проверка нормальности распределения, распределение частот случайной величины, распределение плотности вероятностей, определение коэффициентов корреляции и т.д.

3. Предусматривает непосредственный доступ к статистическим таблицам. Пакет Gretl содержит встроенные статистические таблицы для следующих распределений: нормального, t-распределения Стьюдента, F -распределения Фишера, хи-квадрат, Пуассона, биномиального и распределения Дарбина-Уотсона. Существует возможность вычисления критических значений, p-value.

4. Анализ временных рядов (набор методов оценивания обобщённым МНК, модели ARMAX и GARCH, система уравнений авторегрессии (VAR), проверка коинтеграции; построение линии тренда, коррелограммы, периодограммы; проверка единичных корней, моделирование типа ARIMA, а также процедуры десезонализации X-12-ARIMA и TRAMO).

5. Регрессионный анализ (одношаговый метод наименьших квадратов (МНК), взвешенный МНК, двухшаговый МНК – оценка систем одновременных уравнений, методы оценивания логитовых, пробитовых и тобитовых моделей и нелинейных моделей, и т.д.).

6. Метод главных компонент.

7. Экспорт и импорт Gretl-Microsoft Excel и текстовые редакторы (Notepad и т.д).

8. Построение графиков.

 

Запуск программы осуществляется через Пуск-Программы-Gretl-Gretl или двойным щелчком мыши по иконке Gretl на рабочем столе.

Стартовый экран пакета программ GRETL (рис. 1) подразделяется на три части:

1. Меню, из которого реализуется набор функций.Меню функций состоит из следующих разделов: Файл, Инструменты, Данные, Вид, Добавить, Выборка, Переменная, Модель, Справка. Каждый раздел содержит группу программных функций.

2. Список переменных (процессов), который содержит перечень названий и описаний переменных открытого набора данных.

3. Набор иконок (расположены внизу стартовой страницы) обеспечивает быстрый доступ к выбранным программным функциям:

– Открывает окно системного калькулятора.

– Открывает новое окно для скриптов GRETL.

– Открывает консоль GRETL.

Рис. 1.

 

– Просмотр сессии.

– Пакеты функций.

– Открывает окно «Руководство» в pdf формате.

– Открывает окно «Справка по командам»

– Открывает окно определения графика разброса точек.

– Открывает окно спецификации модели для оценивания с применением МНК

– Базы данных GRETL.

– Открывает окно с примерами – базы фактических данных.

– Позволяет переходить к различным окнам.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

По территориям региона приводятся данные 199Х г.

Номер региона

Среднедушевой прожиточный минимум, в день одного трудоспособного, руб., х

Среднедневная заработная плата, руб., у

1. Найти параметры и парного линейного уравнения регрессии .

2. Найти коэффициент детерминации.

3. Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции, оценить степень тесноты связи, используя таблицу Чеддока.

4. Оценить статистическую значимость уравнения регрессии в целом, используя F –статистику Фишера на уровне значимости 0,05.

5. Рассчитать доверительные интервалы параметров уравнения регрессии с 95% надежностью.

6. Вычислить прогнозное значение при прогнозном значении (т.е. для первого номера наблюдений).

7. Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал.

8. Полученные результаты изобразить графически и привести экономическое обоснование.

 

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Сначала необходимо ввести статистические данные. Для это перейдите в раздел Файл, затем Создать. Появится диалоговое окно:

В поле Количество наблюдений введите число пар значений статистических данных, которые анализируются в данной работе.

В новом окне выберите Перекрестные данные. Затем нажмите кнопку .

Поставьте флажок в поле Начать ввод данных, затем нажмите . Появится следующее диалоговое окно:

В свободном поле необходимо ввести наименование первой переменной латинскими буквами, например X. Нажмите OK.

Введите данные, соответствующие переменной X во второй столбец. Затем нажмите на кнопку Добавить, перейдете на вкладку Добавить переменную. Введите название второй переменной и введите ее значения. Нажмите кнопку Применить .

 

2. Найдите параметры парного линейного уравнения регрессии методом наименьших квадратов.

В Меню выберите раздел Модель, затем перейдите на вкладку Метод наименьших квадратов:

В новом диалоговом окне задайте зависимые переменные и регрессоры с помощью стрелок и .

Затем нажмите кнопку .

Появится окно с результатами расчета основных показателей парного линейного уравнения регрессии методом наименьших квадратов (МНК).

Запишите уравнение регрессии в бланк отчета. Параметры уравнения регрессии a и b находятся в столбце с названием «Коэффициент». Сделайте вывод, используя экономический смысл выборочного коэффициента регрессии

 

3. Запишите в бланк отчета значение коэффициента детерминации (R-квадрат). Сделайте вывод.

 

4. Рассчитаете выборочный коэффициент парной корреляции, оцените степень тесноты и направление линейной связи, используя таблицу Чеддока.

Для этого щелкните мышкой по иконке , находящейся внизу Стартового экрана. Затем нажмите значок Корреляция. Запишите в бланк отчета значение коэффициента парной корреляции, сделайте вывод о силе и направлении линейной связи.

 

5. Оцените статистическую значимость уравнения регрессии в целом, используя F –статистику Фишера на уровне значимости 0,05. Наблюдаемое значение F- критерия находится в таблице с результатами расчета МНК (F(1, 10)).

Для нахождения табличного (критического) значения критерия Фишера перейдите в раздел Инструменты главного меню, затем на вкладку Критические значения. Затем выберите вкладку Фишера. Заполните следующим образом диалоговое окно:

Нажмите . Появится окно с табличным (критическим) значением критерия Фишера. Сравните наблюдаемое и табличное значение критерия Фишера, сделайте вывод. Результаты запишите в бланк отчета.

 

6. Рассчитайте доверительные интервалы параметров уравнения регрессии с 95% надежностью.

В окне с результатами МНК перейдите в раздел Анализ, а затем на вкладку Доверительные интервалы для коэффициентов:

Появится таблица с результатами интервальной оценки. Запишите результаты в бланк отчета.

По умолчанию расчет ведется с необходимой 95%-й надежностью. Если необходимо изменить уровень надежности, то в меню окна Доверительные интервалы для коэффициентов необходимо щелкнуть левой кнопкой мышки по иконке .

 

7. Вычислить прогнозное значение при прогнозном значении (т.е. для первого номера наблюдений).

Необходимо в окне с результатами МНК перейдите в раздел Анализ, а затем на вкладку Прогнозы:

Появится новое диалоговое окно. Заполните окно так как показано на приведенном ниже рисунке, затем нажмите .

Появятся два окна: «Прогнозы», в котором приведены результаты расчетов, и «График».

Запишите в отчет точечный прогноз для (т.е. для первого номера наблюдений). Найдите значение предельной ошибки, умножив критическое значение критерия Стьюдента t (10, 0,025) на стандартную ошибку:

.

Запишите в бланк отчета значение предельной ошибки и интервальную оценку прогноза.

Перерисуйте график в бланк отчета с уравнением регрессии и прогнозным интервалом. График можно преобразовать. Для этого нажмите правой кнопкой мышки, появится контекстное меню, затем перейдите на вкладку Правка.

Чтобы сделать прогноз для значения x, которого нет в исходных данных необходимо добавить в выборку еще одно наблюдение: данные - добавить наблюдение - изменить значение. В появившемся окне вводим количество новых наблюдений, в данном случае одно. Вводим значение x ₀ = 120.

Затем необходимо повторить процедуры построения МНК-модели. Для прогнозирования переходим в раздел Анализ – Прогнозы – Ок.

Запишите в бланк отчета результаты точечного и интервального прогнозирования.

 

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

 

1. Интервальная оценка параметров линейного уравнения регрессии.

2. Уровень значимости, уровень надежности и их взаимосвязь.

3. Проверка на статистическую значимость параметров линейного уравнения регрессии с помощью критерия Стьюдента.

4. На какие слагаемые раскладывается общая сумма квадратов отклонений результативного признака от средних значений. Чему равно число степеней свободы остаточной, общей и факторной суммы квадратов.

5. Проверка статистической значимости уравнения регрессии в целом с помощью критерия.

6. Прогнозирование в эконометрике. Точечное и интервальное прогнозирование. Ошибка прогноза.