Упрощение выражений, содержащих радикалы
Домашнее задание №36.7-№36.12(в,г)
Повторение теоретических фактов
Повторим некоторые теоретические положения.
Определение:
Корнем n-й степени из неотрицательного числа а называется такое неотрицательное число b, которое при возведении в степень n дает число а.
Приведем математическую запись определения:
Например: 
, т. к. 
; 
, т. к. 
,
Напомним, что арифметическим корнем называется неотрицательный корень. В нашем случае 
– отрицательное число, но 
– положительное, таким образом, – это арифметический корень.
Вспомним основные свойства арифметических корней:
при 
, при 
(теорема 1);
, при 
(теорема 2);
, при 
(теорема 3);
, при 
(теорема 4);
при 
(теорема 5);
Упрощение выражений, примеры
При решении задач мы пользуемся определением и свойствами корня n-й степени.
Пример 1 – упростить и выполнить действия:
В результате преобразования получили выражение:
Мы видим основной принцип решения подобных задач: если под корнем стоит составное число, нужно разложить его на простые множители, и тогда, возможно, будет легко заметить решение задачи.
Пример 2:
Разложим составное число 486 на простые множители:
В результате преобразований получаем:
Пример 3 – выполнить умножение:
Очевидно, что для решения данного задания необходимо применить формулу сокращенного умножения, а именно: 
– формула разности квадратов.
В нашем случае 
, 
, получаем:
Пример 4 – выполнить умножение:
В данном случае нужно заметить другую формулу сокращенного умножения: 
– сумма кубов;
В нашем случае 
, 
, получаем:
Комментарий: поскольку в заданном примере переменные х и у стояли под квадратным корнем, то они неотрицательны, значит, имеем право снять модуль.
Сокращение дробей, примеры
Одной из типовых задач является задача на сокращение дробей.
Пример 5 – сократить дробь:
Отметим некоторые ограничения. Для того чтобы существовали заданные корни, необходимо выполнение условий: 
. Для того чтобы существовала дробь: 
.
Преобразуем числитель дроби:
Таким образом, заданную дробь можно записать в следующем виде:
Поскольку мы заранее оговорили, что знаменатель не равен нулю, т. е. , имеем право сократить дробь:
Пример 6:
В данном случае также нужно воспользоваться формулой сокращенного умножения.
Таким образом, заданную дробь можно записать в следующем виде:
Чтобы иметь право сократить дробь, оговорим, что знаменатель ее не должен быть равен нулю, для этого х и у не должны одновременно быть равны нулю, тогда получаем ответ:
Преобразование сложных корней к простому виду
Пример 7 – преобразовать выражение к виду 
:
Внесем двойку под кубический корень:
Согласно теореме о взятии корня из корня, перемножим показатели корней:
Согласно теореме о корне из произведения, получим:
Пример 8:
Постепенно вносим множители под знак внутреннего корня и перемножаем показатели корней:
Пример 9 – упростить выражение:
Представим все составные числа в виде простых чисел:
В результате преобразований получили выражение:
Решение более сложных примеров
Пример 10 – вычислить:
В знаменателе стоит выражение, распишем его по формуле квадрата разности:
После преобразования получаем дробь:
Вынесем в знаменателе минус за знак дроби:
Итак, мы вспомнили основные теоретические факты о корнях n-й степени и научились решать некоторые типовые задачи с радикалами. Мы решили много различных примеров, на следующем уроке мы продолжим изучение данной темы.