Простые переменные ставки
Как известно, процентные ставки не остаются неизменными во времени, поэтому в кредитных соглашениях иногда предусматриваются дискретно изменяющиеся во времени процентные ставки. В этом случае формула расчета наращенной суммы принимает следующий вид
S = P(1+n1i1+n2i2+...) = P(1+ Σ ntit), (5)
где
P - первоначальная сумма (ссуда),
it - ставка простых процентов в периоде с номером t,
nt - продолжительность периода t - периода начисления по ставке it.
Пример 2.
Пусть в договоре, рассчитанном на год, принята ставка простых процентов на первый квартал в размере 10% годовых, а на каждый последующий на 1% меньше, чем в предыдущий. Определим множитель наращения за весь срок договора.
1+ Σ ntit = 1+0,25•0,10+0,25•0,09+025•0,08+0,25•0,07 = 1,085
Реинвестирование по простым процентам
Сумма депозита, полученная в конце обозначенного периода вместе с начисленными на нее процентами, может быть вновь инвестирована, хотя, скорее всего, и под другую процентную ставку, и этот процесс реинвестирования иногда повторяется неоднократно в пределах расчетного срока N. Тогда в случае многократного инвестирования в краткосрочные депозиты и применения простой процентной ставки наращенная сумма для всего срока N вычисляется находится по формуле
S = P(1+n1i1)(1+n2i2) ••• = (6)
где
n1, n2,..., nm - продолжительности последовательных периодов реинвестирования,
i1, i2,..., im - ставки, по которым производится реинвестирование.
Сложные проценты
Сложные проценты применяются в долгосрочных финансово- кредитных операциях, если проценты не выплачиваются периодически сразу после их начисления за прошедший интервал времени, а присоединяются к сумме долга. Присоединение начисленных процентов к сумме, которая служила базой для их определения, часто называют капитализацией процентов.
Формула наращения по сложным процентам
Пусть первоначальная сумма долга равна P, тогда через один год сумма долга с присоединенными процентами составит P(1+i), через 2 года P(1+i)(1+i)=P(1+i)2, через n лет - P(1+i)n. Таким образом, получаем формулу наращения для сложных процентов
S=P(1+i)n, (7)
где S - наращенная сумма, i - годовая ставка сложных процентов,
n - срок ссуды,
(1+i)n - множитель наращения.
В практических расчетах в основном применяют дискретные проценты, т.е. проценты, начисляемые за одинаковые интервалы времени (год, полугодие, квартал и т.д.). Наращение по сложным процентам представляет собой рост по закону геометрической
прогрессии, первый член которой равен P, а знаменатель (1+i).
Отметим, что при сроке n<1 наращение по простым процентам дает больший результат, чем по сложным, а при n>1 - наоборот. В этом нетрудно убедиться на конкретных числовых примерах. Наибольшее превышение суммы, наращенной по простым процентам, над суммой, наращенной по сложным процентам, (при одинаковых процентных ставках) достигается в средней части периода.
Формула наращения по сложным процентам, когда ставка меняется во времени
В том случае, когда ставка сложных процентов меняется во времени, формула наращения имеет следующий вид S= P*(1+ i1) n1*(1+i2)n2*….*(1+ik)nk (8)
где i1, i2,..., ik - последовательные значения ставок процентов,
действующих в периоды n1, n2,..., nk соответственно.
Сложные проценты
Сложные проценты применяются в долгосрочных финансово-кредитных операциях, если проценты не выплачиваются периодически сразу после их начисления за прошедший интервал времени, а присоединяются к сумме долга. Присоединение начисленных процентов к сумме, которая служила базой для их определения, часто называют капитализацией процентов.
Формула наращения по сложным процентам
Пусть первоначальная сумма долга равна P, тогда через один год сумма долга с присоединенными процентами составит P(1+i), через 2 года P(1+i)(1+i)=P(1+i)2, через n лет - P(1+i)n. Таким образом, получаем формулу наращения для сложных процентов
S=P(1+i)n, (9)
где S - наращенная сумма, i - годовая ставка сложных процентов,
n - срок ссуды,
(1+i)n - множитель наращения.
В практических расчетах в основном применяют дискретные проценты, т.е. проценты, начисляемые за одинаковые интервалы времени (год, полугодие, квартал и т.д.). Наращение по сложным процентам представляет собой рост по закону геометрической
прогрессии, первый член которой равен P, а знаменатель (1+i).
Отметим, что при сроке n<1 наращение по простым процентам дает больший результат, чем по сложным, а при n>1 - наоборот. В этом нетрудно убедиться на конкретных числовых примерах. Наибольшее превышение суммы, наращенной по простым процентам, над суммой, наращенной по сложным процентам, (при одинаковых процентных ставках) достигается в средней части периода.
Пример.
В договоре зафиксирована переменная ставка сложных процентов,
определяемая как 20% годовых плюс маржа 10% в первые два года, 8% втретий год, 5% в четвертый год. Определить величину множителянаращения за 4 года.
Решение.
(1+0,3)2(1+0,28)(1+0,25)=2,704