Вспомним формулы из лекций: , .
Задача 5. Найти радиус сходимости ряда .
Решение. Запишем коэффициенты с номерами n и n+1.
, . Тогда = = 2.
Ответ. .
Задача 6. Найти радиус сходимости ряда .
Решение. , . Тогда = .
Ответ. .
Задача 7. Найти радиус сходимости ряда .
Решение. , ,
= = 3.
Ответ. .
Задача 8. Найти радиус сходимости ряда .
Решение. , , .
Ответ. .
Задача 9. Найти радиус сходимости ряда .
Решение. , , тогда = = .
Ответ. , то есть сходимость на всей числовой оси.
Задача 11. Найти радиус сходимости ряда .
Решение. , . Тогда = = = = .
Ответ. , т.е. сходимость только в точке .
Поиск суммы степенного ряда.
Задача 11. Найти сумму ряда
Решение. Если то первообразная от равна
= а это уже геометрическая прогрессия со знаменателем , её сумма равна = . После дифференцирования получим = = = . Ответ. = .
Задача 12. Найти сумму ряда .
Решение. Проинтегрируем почленно каждое слагаемое:
= =
Это геометрическая прогрессия, её сумма . Тогда = = = = .
Ответ. = .
Задача 13. Найти сумму ряда .
Решение. Эта задача решается в 2 шага. Видно, что только 2-я первообразная здесь не будет иметь коэффициентов, так, чтобы можно было использовать прогрессию.
.
Найдём = = .
Тогда = . Найдём поочерёдно 2 производных.
= = = .
= сократим на (1-x)
= = = = .
Ответ. = .
Задача 14. Найти сумму ряда .
Решение. = = = . Знакочередование приводит к тому, что в знаменателе появилась сумма, а не разность.
= = = = = .
Ответ. = .
ПРАКТИКА № 20
Первые 45 минут:
Повторение и контрольная работа на 30 минут (3 задачи).
1. формула Муавра.
2. Числовые ряды.
3. Функциональные ряды.
Вторые 45 минут:
Задача 1. Найти сумму ряда .
Решение. Здесь степень не соответствует коэффициенту, то есть прямое интегрирование или дифференцирование не избавит от наличия коэффициента. Производная равна а первообразная . Но вот если бы степень была (n-1) то всё бы получилось. Так вот, мы можем сделать сдвиг степени, и получить более удобное выражение, если вынести за скобку, то есть за знак ряда.
= = = .
Теперь обозначим новое выражение через и для него уже задача вполне решаема тем методом, который изучили ранее.
, где . Первообразная от это
= = = .
= = = . Вспомним про то, что мы отделили одну степень, чтобы улучшить функцию. А сейчас мы нашли . При этом . Тогда ответ = .
Ответ. = .
Задача 2. Доказать с помощью почленного дифференцирования формулу:
Решение.
но ведь это и есть геометрическая прогрессия и её сумма: .
Ряды Тейлора.
Задача 3. Разложить в ряд Тейлора: по степеням .
Решение. Сначала определим круг сходимости ряда. Центр в 0, так как требуется разложить по степеням , т.е. в ряде должны быть только степенные функции типа то есть центр 0.
Ближайшая точка разрыва это . Поэтому круг радиуса 2 с центром в нуле, т.е. .
Дальше, чтобы получать в знаменателе структуру типа , есть 2 пути: вынести за скобку либо либо 2.
= = либо
= = = .
Но ведь , поэтому а , так что первый вариант использовать нельзя, ведь там получилось бы и нельзя считать по формуле сходящейся геометрической прогрессии, для которой должно быть обязательно . Поэтому выносим за скобку именно константу, а не .
Итак, = = = это и есть требуемое разложение в степенной ряд Тейлора. Его можно также записать в виде .
Ответ. .
Задача 4. Разложить в ряд Тейлора: по степеням .
Решение. В данном случае расстояние от центра до ближайшей точки разрыва равно 3. Условие круга .
= = = =
Выражение по модулю меньше 1, так как . Поэтому можно рассматривать это как сумму некоторой сходящейся геометрической прогрессии. Тогда
= = .
Ответ. .
Задача 5. Найти для .
Решение. Рассмотрим разложение в ряд Тейлора. Прогрессия здесь не нужна, можно воспользоваться известной формулой для синуса.
= =
Здесь нам нужен только коэффициент при степени 10.
. Ответ. 10.
Задача 6. Найти для .
Решение. = = Извлекаем слагаемое при степени 8 и сравниваем его с теоретическим значением.
= = = .
Ответ. = 21.
Номера практик по датам для групп 446-1, 446-2 согласно расписанию
Практика № | 446-1 | 446-2 |
14.02.17 | 14.02.17 | |
21.02.17 | 17.02.17 | |
21.02.17 | 21.02.17 | |
28.02.17 | 28.02.17 | |
07.03.17 | 03.03.17 | |
10.03.17 | 07.03.17 | |
14.03.17 | 14.03.17 | |
21.03.17 | 17.03.17 | |
24.03.17 | 21.03.17 | |
28.03.17 | 28.03.17 | |
04.04.17 | 31.03.17 | |
07.04.17 | 04.04.17 | |
11.04.17 | 11.04.17 | |
18.04.17 | 14.04.17 | |
21.04.17 | 18.04.17 | |
25.04.17 | 25.04.17 | |
02.04.17 | 28.04.17 | |
05.04.17 | 02.05.17 | |
16.05.17 | 12.05.17 | |
19.05.17 | 16.05.17 | |
23.05.17 | 23.05.17 | |
30.05.17 | 26.05.17 | |
02.06.17 | 30.05.17 |