Метод узловых потенциалов. Алгоритм расчета цепи по методу узловых потенциалов. Метод двух узлов.

Метод узловых потенциалов, как и метод контурных токов, требует совместного решения меньшего числа независимых уравнений по сравнению с методом узловых и контурных уравнений (применением двух законов Кирхгофа), что сокращает расчеты. Он основан на применении первого закона Кирхгофа.

Для расчета токов методом узловых потенциалов, кроме первого закона Кирхгофа, применяется обобщенный закон Ома. Рассмотрим его применение для отдельных ветвей, представленных на рис. 2.25, а и б. Сопротивления r₁

Рис. 2.25 К обобщенному закону Ома

Рис 2.26. Схема к примеру 2.9

и r₂ — это суммарные сопротивления элементов каждой из ветвей ЭДС в общем случае могут быть суммами ЭДС в каждой из ветвей. Для токов указаны выбранные положительные направления.

По тем же правилам, что и в § 1.14, запишем потенциалы точек a и с:

и определим токи через разности потенциалов:

(2.46а)

(2.46б)

Эти зависимости токов от напряжения между выводами ветви и ее параметрами и называются обобщенным законом Ома. Потенциал вывода, от которого ток оттекает, входит в (2.46) со знаком “+”, а потенциал вывода, к которому ток притекает, — со знаком “-”. Со знаком “+” записывается ЭДС, направление которой совпадает с положительным направлением тока (E₂), и со знаком «-» направленная навстречу (Ε₁).

Расчет токов методом узловых потенциалов рассмотрим на примере цепи рис. 2.24 с тремя узлами А, Б, В.

Для двух узлов можно составить независимую систему уравнений по первому закону Кирхгофа. Например, дляузловАиБ

I₁-I₄ – I₃= 0 -I₁ + I₄ + I₅-I₂ = 0. (2.47)

Токи I₁ и I₂ запишем по обобщенному закону Ома (2.46).

а остальные токи по закону Ома:

Как указывалось (§ 1.14), потенциал одной из точек цепи можно принять равным нулю. Выберем, например, равным нулю потенциал узла В и подставим выражения для токов в уравнения (2.47).

Для узла А

Для узла Б

Заменим сопротивления ветвей проводимости g=I/r и перенесем слагаемые с ЭДС в правую часть уравнений. Получим для узла А

(g₁ + g₂ + g₃) φ _А – (g₁ + g₄)φ_Б = – g₁ Е₁ (2.48а) и для узла Б

- (g₁ + g₄)φ _А + (g₁ + g₄ + g₅ + g₂) φ_Β =g₂ E₂ (2.48б)

Из полученной системы уравнений после совместного решения определяются неизвестные величины, а именно потенциалы узлов φ_А и φ_Б.

Сумма проводимостей ветвей, присоединенных к узлу, называется собственной узловой проводим остью, например g_A = g₁+g₄+g₃, так как к узлу А присоединены 1-я, 4-я и 3-я ветви. Сумма проводимостей ветвей, соединяющих два узла, называется общей узловой проводимостью, например, g_AБ = g₁+g₄.

Метод узлового напряжения (§ 2.9) является частным случаем метода узловых потенциалов для цепи с двумя узлами.

Систему уравнений (2.48) можно составить и сразу, учитывая, что в (2.48) собственная проводимость входит со знаком «+», а перед общей проводимостью стоит знак «—». В правой части в общем случае записываются алгебраические суммы произведений gE: со знаком «+» для ЭДС, направленных к узлу, для которого составляется уравнение, и со знаком «—» для ЭДС, направленных от узла. Таким образам, в общем случае (цепь с числом узлов более трех), например, для узла А

(2.49)

Таким образом, уравнение для данного узла содержит произведение потенциала узла на сумму проводимостей всех ветвей, присоединенных к этому узлу, и произведения потенциалов других узлов на общие проводимости.

Если схема электрической цепи содержит источник тока, подключенный к узлу А, то в правой части (2.49) дополнительно записывается ток I_к со знаком «+», если он направлен к узлу, и со знаком «—» в противном случае.

Аналогично (2.49) надо составить уравнения для всех других узлов, кроме одного, потенциал которого принят равным нулю.

Из сравнения методов узловых и контурных уравнений, контурных токов и узловых потенциалов следует, что для определения токов в цепи первый метод требует совестного решения большего числа уравнений (равного числу ветвей с неизвестными токами). Методом контурных токов составляется и решается совместно только число уравнении, равное числу контурных уравнений, а методом узловых потенциалов – число уравнений, равное числу узловых уравнений.

Метод контурных токов.

Метод контурных токов требует совместного решения меньшего числа независимых уравнений по сравнению с методом узловых и контурных уравнений (применением двух законов Кирхгофа, § 2.11), что сокращает расчеты. Он основан на применении второго закона Кирхгофа.

Рис 2.24 К расчету цели методом контурных токов.

Для расчета токов в заданной цепи (рис. 2.24) выберем контуры, как и при записи уравнений по второму закону Кирхгофа. На рис 2 24 выбраны элементарные контуры (ячейки) и для каждого из них произвольно выбрано положительное направление тока, замыкающегося в этом контуре — контурного тока.

Для каждого контура составим уравнение по второму закону Кирхгофа, причем направление обхода контура принимаем совпадающим с направлением контурного тока. Если цепь можно представить разбитой на ячейки (нет пересекающихся проводов), то число независимых уравнений по второму закону Кирхгофа как раз равно числу ячеек. После решения этих уравнений определяются все контурные токи.

Контуры обозначим римскими цифрами (рис. 2.24), а каждый контурный ток отметим индексом, соответствующим своему контуру. Токи а ветвях отмечены индексами своих ветвей (арабскими цифрами). Токи в ветвях, которые являются общими для двух контуров, определяются как алгебраические суммы соответствующих контурных токов, например I₄=I_I—I_III. В остальных ветвях токи равны контурным, например, I₃=I_III

Алгебраическую сумму ЭДС в контуре называют контурной ЭДС. Со знаком плюс записываются ЭДС, действующие в направлении контурного тока, со знаком минус — направленные встречно.

Рассмотрим применение этого метода для цепи (рис. 2.24), которая имеет три контура — ячейки, для которых можно составить независимые уравнения по второму закону Кирхгофа: контур из 1-й и 4-й ветвей с контурным током I_I и контурной ЭДС E_I=E₁, контур из 2-й и 5-й ветвей с контурным током I_II и ЭДС Е_II=-E₂, контур из 4-й, 5-й и 3-й ветвей с контурным током I_III и ЭДС E_III=0.

Выбрав и показав на схеме положительные направления контурных токов, составим для каждого контура уравнение по второму закону Кирхгофа. Для первого контура

(2.43)

так как контурный ток I_t проходит по обоим сопротивлениям контура, а на сопротивлении r₄ есть падение напряжения от тока I_III, который направлен навстречу обходу контура. Поэтому второе слагаемое записано со знаком «—».

Для второго контура

(2.44)

и для третьего контура

(2.45)

.

Сумма сопротивлений ветвей, входящих в контур, называется собственным сопротивлением контура. Например, собственные сопротивления контуров I и III: r_III=r₃+r₄+r₅.

Сопротивление ветви, входящей в два контура, называется общим сопротивленнем этих контуров. Например, для контуров I и III общее сопротивление r_{I III}=r₄.

Таким образом, контурное уравнение содержит произведение тока в контуре на все сопротивления контура и произведения токов других контуров на общие сопротивления.

Подставив в записанные уравнения численные значения сопротивлений и ЭДС и решив их совместно, найдем контурные токи I_II, I_II, I_III. Токивветвяхцепи: I₁ =I_I, I₂ = – I_II, I₃=I_III, I₄=I_I-I_III, I₅=I_III- I_II.

Для цепи рис. 2 23 нужно составить контурные уравнения только для контуров I и II, так как ток I_III = —I_к, а ток источника тока, как и другие параметры цепи (сопротивления, ЭДС), считаются заданными