Расчёт симметричных трёхфазных цепей. Соединение «треугольник» -«треугольник».

Как видно из схемы рис. 3.12, каждая фаза приемника при соединении треугольником подключена к двум линейным проводам. Поэтому независимо от значения и характера сопротивлений приемника каждое фазное напряжение равно соответствующему линейному напряжению:

(3.16)

U _ф = U _л.

Если не учитывать сопротивлений проводов сети, то напряжения приемника следует считать равными линейным напряжениям источника.

На основании схемы рис. 3.12 и выражения (3.16) можно сделать вывод о том, что соединение треугольником следует применять тогда, когда каждая фаза трехфазного приемника или однофазные приемники рассчитаны на напряжение, равное номинальному линейному напряжению сети.

Фазные токи I_ab , I_bc и I_са в общем случае не равны линейным токам I_a , I_b и I_c. Применяя первый закон Кирхгофа к узловым точкам а, b и с, можно получить следующие соотношения между линейными и фазными точками:

(3.17)

I _a = I _ab - I _ca , I _b = I _bc - I _ab , I _c = I _ca - I _bc .

Используя указанные соотношения и имея векторы фазных токов, нетрудно построить векторы линейных токов.

3.5.1. Симметричная нагрузка. В отношении любой фазы справедливы все формулы, полученные ранее для однофазных цепей, например

(3.18)

Iab = Uab /zab; φ ab = arcsin xab / zab; Рab = Uab Iab cos φ ab = Iab 2 rab; Qab = Uab Iab sin φ ab = Iab 2 xab; Sab = Uab Iab = Iab 2 zab = √ Pab 2 + Qab 2.	}
Рис. 3.12. Соединение фаз приемника треугольником
Рис. 3.13. Векторные диаграммы при соединении приемника треугольником в случае симметричной нагрузки

Очевидно, при симметричной нагрузке

I_ab = I_bc = I_ca = I _ф ;
φ _ab = φ _bc = φ _ca = φ_ф;
P_ab = P_bc = P_ca = P _ф;
Q_ab = Q_bc = Q_ca = Q _ф;
S_ab = S_bc = S_ca = S _ф.

Векторная диаграмма фазных (линейных) напряжений, а также фазных токов при симметричной активно-индуктивной нагрузке приведена на рис. 3.13, а. Там же в соответствии с выражениями (3.17) построены векторы линейных токов. Следует обратить внимание на то, что при изображении векторных диаграмм в случае соединения треугольником вектор линейного напряжения U_ab принято направлять вертикально вверх.

Из приведенных выражений и векторной диаграммы следует, что при симметричной нагрузке существуют симметричные системы фазных и линейных токов.

Векторы линейных токов чаще изображают соединяющими векторы соответствующих фазных токов, как показано на рис. 3.13, б. На основании векторной диаграммы рис. 3.13, б

I_a = 2 I_ab sin 60° = √3 I_ab,
Такое же соотношение существует между любыми другими фазными и линейными токами. Поэтому можно написать, что при симметричной нагрузке вообще

(3.19)

I_a =√3 I _ф.

Для определения мощностей трехфазного приемника при симметричной нагрузке можно воспользоваться полученными ранее формулами (3.13) и (3.14).

Пример 3.3. К трехфазной сети с линейными напряжениями U _л = 220 В должен быть подключен трехфазный приемник, каждая фаза которого рассчитана на напряжение 220 В и содержит активное сопротивление r _ф = 8,65 Ом, а также индуктивное сопротивление x _ф = 5 Ом, соединенные последовательно.

Определить фазные и линейные токи, углы сдвига фаз между фазными напряжениями и токами, а также мощности.

Решение. Так как каждая из фаз приемника рассчитана на напряжение, равное линейному напряжению трехфазной сети, фазы приемника должны быть соединены треугольником (см. рис. 3.12).

Полные сопротивления фаз, фазные и линейные токи:

z _ф = √ r _ф² + x _ф² = 10 Ом, I _ф = U _ф / z _ф = 22 А, I _л = √3 I _ф = 38 А.

Углы сдвига фаз между напряжениями и токами

φ_ф = arcsin x _ф / z _ф = 30°.

Полная активная и реактивная мощности приемника и любой фазы

S = √3 U _л I _л = 4730 В•А = 4,73 кВ•А;
S _ф = S/ 3 ≈ 1576 В•А ≈ 1,58 кВ•А;
Р = S cos φ_ф = Sr _ф / z _ф ≈ 4100 Вт = 4,1 кВт;
Р _ф = Р /3 ≈ 1366 Вт ≈ 1,37 кВт;
Q = S sin φ_ф = Sx _ф / z _ф ≈ 2365 вар ≈ 2,36 квар;
Q _ф = Q /3 ≈ 788 вар = 0,788 квар.

Векторные диаграммы приемника приведены на рис. 3.13.