ДИСТАНЦИОННОЕ ОБУЧЕНИЕ
Урок Лекция-практика Логарифмические неравенства их типы и методы
Решения.
Цели: рассмотреть типы логарифмических неравенств и методы их решения.
При решении логарифмических неравенств надо хорошо знать свойства логарифмической функции 
.
| Свойства функции | 
| 
| |
| 1. | Область определения | 
| |
| 2. | Область значений | 
| |
| 3. | Четность, нечетность | Функция не является ни четной, ни нечетной | |
| 4. | Нули функции |  при 
| |
| 5. | Промежутки знакопостоянства |  при 
 при 
| при
при
|
| 6. | Экстремумы | Функция экстремумов не имеет | |
| 7. | Промежутки монотонности
при 
| Функция возрастает | Функция убывает |
Рассмотрим взаимное расположение графика функции и прямой 
.
| 
|
| 
|
Вывод. Прямая пересекает график функции в единственной точке 
.
Определение. Пусть 
, тогда неравенства 
или 
называются простейшими логарифмическими неравенствами.
Что значит решить неравенство?
Решить неравенство - значит, найти все его решения или показать, что их нет.
Что называется решением неравенства?
Решением неравенства с неизвестным 
называют число 
, при подстановке которого в неравенство вместо получается верное числовое неравенство.
| |
| Вывод. Если , то для каждого  соответствующая точка графика функции находится выше прямой , а для каждого из интервала  соответствующая точка графика функции находится ниже прямой .
|
Вывод 1:
| Основание логарифма
| |
Вид уравнения:
Переходим к равносильной системе
И решаем неравенство:
  .
| Вид уравнения
Переходим к равносильной системе
 ,
И решаем неравенство
  .
|
| |
| Вывод. Если , то для каждого соответствующая точка графика функции находится выше прямой , а для каждого соответствующая точка графика функции находится ниже прямой .
|
Вывод 2:
| Основание логарифма
| ||
Вид уравнения
Переходим к равносильной системе
И решаем неравенство
.
| Вид уравнения
,
Переходим к равносильной системе 
И решаем неравенство
.
|
Типы логарифмических неравенств и методы их решения.
Простейшие логарифмические неравенства.
Пример 1. 
.
Решение:
Т. к. Область определения функции 
; 
убывает на всей области определения и 
, то неравенство равносильно системе
Ответ: (0,2;0,4).
Пример 2. 
.
Решение:
Т. к. Область определения функции ; 
убывает на всей области определения, то неравенство равносильно системе
Ответ: (0,75;2).
2). Логарифмические неравенства, сводящиеся к простейшим логарифмическим неравенствам.
Пример 1. 
.
Решение:
,
,
.
Т. к. Область определения функции и 
возрастает на всей области определения, то неравенство равносильно системе
т. к. 
, при 
, то система равносильна неравенству 
.
,
.
Ответ: 
.
Пример 2. 
.
Решение:
,
,
,
.
Т. к. Область определения функции ; 
возрастает на всей области определения и 
, то неравенство равносильно системе
.
Ответ: 
.
Пример 3. 
.
Решение:
.
Т. к. Область определения функции ; 
убывает на всей области определения и 
, то неравенство равносильно системе
.
Ответ: 
.
Пример 4. 
.
Решение:
.
Т. к. Область определения функции ; 
возрастает на всей области определения и 
, то неравенство равносильно системе
.
Ответ: 
.
3). Логарифмические неравенства, сводящиеся к неравенствам второй степени.(Метод замены переменной и приведение к квадратному неравенству)
Пример 1. 
.
Решение:
. Пусть 
тогда
,
Вернёмся к переменной . Т. к. Область определения функции , то
возрастает на всей области определения, то
Ответ: 
.
Пример 2. 
.
Решение:
.
Т. к. Область определения функции , то для нахождения области допустимых значений переменной составим систему:
.
В найденной области допустимых значений переменной преобразуем неравенство.
,
,
,
,
возрастает на всей области определения и 
, а также .
С учётом области допустимых значений переменной получим:
Ответ: 
.