ЛИНЕЙНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ АСР 7 глава




 

8.1. Порядок воздействия

 

В общем случае к АСР может быть приложено воздействие, изменяющееся по закону степенного ряда.

,

Здесь - множитель, указывающий на то, что поведение функции рассматривается только в правой полуплоскости, справа от оси ординат.

Так как

,

то

;

В частном случае к АСР может быть приложено воздействие, изменяющееся с постоянной к-ой производной, т.е. воздействие вида:

Воздействие, изменяющееся с постоянной к-ой производной, называют воздействием к-го порядка. Его изображение имеет вид:

Практический интерес представляют воздействия нулевого, первого и второго порядков, т.е. постоянное воздействие и воздействия, изменяющиеся с постоянной скоростью и постоянным ускорением:

 

8.2. Коэффициенты ошибки. Порядок астатизма АСР

 

Передаточная функция замкнутой системы относительно выходной величины по каналу рассматриваемого возмущения имеет вид:

Отсюда изображение переходного процесса, вызываемого воздействием, выражаемым степенным рядом, запишется в виде

Раскладывая на простейшие дроби по методу неопределенных коэффициентов и переходя от изображения к оригиналу, получим переходный процесс в виде суммы переходной и вынужденной составляющих:

Переходная составляющая при . Вынужденную составляющую переходного процесса можно записать в виде суммы:

,

где коэффициенты разложения передаточной функции на простейшие дроби.

Вынужденная составляющая переходного процесса является ошибкой системы. Ошибка системы определяет ее точность. Следовательно, точность АСР можно оценить коэффициентами разложения в степенной ряд ее передаточной функции относительно выходной величины по каналу воздействия - коэффициентами ошибки.

Это положено в основу классификации систем по характеру установившегося движения. Признаком классификации служит порядок астатизма.

 

1. Системой с астатизмом нулевого порядка называют АСР, погрешность которой при

отработке постоянного воздействия пропорциональна величине этого воздействия.

Это возможно только при С0 . Такие системы называют статическими.

 

2. Системой с астатизмом первого порядка называют АСР, погрешность которой при

отработке постоянного воздействия равна нулю, а при отработке воздействия первого порядка постоянна и пропорциональна скорости изменения этого воздействия. Возможно при С0=0 и С1 . Такие системы еще называют астатическими, позиционными, нейтральными.

 

3. Системой с астатизмом второго порядка называют АСР, погрешности которой при отработке постоянного воздействия и воздействия, изменяющегося с постоянной скоростью, равны нулю, а ошибка при отработке воздействия, изменяющегося с постоянным ускорением, постоянна и пропорциональна величине ускорения.

Возможно при С0=0, С1=0 и С2 .

 

4. Системой с астатизмом го порядка называют систему, погрешность которой при

отработке воздействия, выражаемого степенным рядом ой степени, постоянна и пропорциональна коэффициенту при ом члене ряда.

Это возможно при С0= С12 =…=Сv-1 =0 и Сv .

 

Таким образом, порядок астатизма АСР определяется номером первого, не равного нулю коэффициента ошибки по рассматриваемому воздействию.

 

Передаточную функцию замкнутой многоконтурной системы любой сложности между двумя ее любыми узлами можно определить методом Мейсона, не прибегая к структурному преобразованию.

Здесь

-сумма передаточных функций всех контуров системы после их размыкания;

, -суммы произведений передаточных функций двух, трех и т. д. контуров, несоприкасающихся друг с другом, т.е. не имеющих общих узлов, сумматоров и звеньев;

- сумма произведений передаточных функций ых прямых путей передачи сигналов от рассматриваемого входа к рассматриваемому выходу на ;

-число таких прямых путей;

- это после исключения из него членов, содержащих передаточные функции контуров и ветвей, соприкасающихся с ым прямым путем.

 

Примечание:

Передаточные функции и берутся со знаком "+" или "-" в зависимости от четности или нечетности отрицательных сигналов в контуре или прямом пути передачи сигнала.

8.3. Структурные условия астатизма

 

В соответствии с теоремой о конечном значении функции вещественного переменного имеем:

Так как

,

то

Подставляя сюда значения

и ,

получим уравнение установившегося режима работы системы при воздействии возмущения к-го порядка

 

 

или

 

Здесь

- передаточная функция элементов системы, расположенных между точками приложения возмущения и снятия выходного сигнала;

- передаточная функция всей разомкнутой системы.

1. Если в общем случае во всю разомкнутую систему входит r интегрирующих звеньев, а в участок между входом и выходом - таких звеньев,

то

; ,

где , - передаточные функции статических элементов системы между точками входа и выхода и всей разомкнутой системы соответственно.

Подставляя эти значения в уравнение установившегося режима, получим:

,

 

где к – порядок воздействия.

Отсюда:

 

1.1. При выходная величина не имеет конечного установившегося значения,

а непрерывно возрастает во времени.

1.2. При установившееся значение выходной величины является конечным,

пропорциональным установившемуся значению к – ой производной входного

воздействия:

,

 

 

1.3. При установившееся значение выходной величины стремится к нулю.

Следовательно, характер отработки системой воздействия к-го порядка определяется числом интегрирующих звеньев вне участка приложения входного воздействия и снятия выходного сигнала, т.е. числом интегрирующих звеньев в цепи обратной связи по отношению к рассматриваемым входному и выходному сигналам.

В связи с этим число интегрирующих звеньев в цепи обратной связи между приложением входного воздействия и снятием выходного сигнала структурно определяет порядок астатизма системы по отношению к рассматриваемому входному воздействию.

Таким образом:

а) АСР отрабатывает воздействие к -го порядка астстично в том случае, когда порядок астатизма выше порядка воздействия [ ].

б) При равенстве порядков астатизма и воздействия [ ] система отрабатывает воздействие к-го порядка с погрешностью, пропорциональной установившемуся значению к-ой производной входного воздействия

в) Если порядок астатизма меньше порядка воздействия [ ], то выходная

величина не имеет конечного установившегося значения, а неограниченно

возрастает во времени, т.е. система неработоспособна.

 

2. Если в приведенной к одноконтурной АСР не содержится интегрирующих звеньев в обратной связи, но имеется интегрирующих звеньев в прямой цепи по отношению к рассматриваемым входу и выходу системы т.е. ,

 

то

,

Как видим, в этом случае при воздействии, изменяющемся с постоянной к-ой производной, выходная величина не имеет конечного установившегося значения, а непрерывно возрастает во времени.

Следовательно, в этом случае АСР способна отрабатывать только воздействия нулевого порядка постоянное воздействие), причем АСР будет астатической с нулевым порядком астатизма, т.е. статической.

Статическая ошибка принимает значение:

3. Если в приведенной к одноконтурной АСР отсутствуют интегрирующие звенья и в прямой цепи и в обратной связи ,

то

Отсюда:

В приведенной к одноконтурной АСР, не содержащей интегрирующих звеньев ни в прямой цепи, ни в цепи обратной связи, при воздействии, изменяющемся с постоянной к-ой производной, выходная величина не имеет конечного установившегося значения, а непрерывно возрастает во времени. Следовательно, такая АСР способна отрабатывать только воздействие нулевого порядка , т.е. постоянное воздействие. Система будет астатической с нулевым порядком астатизма, т.е. статической, по отношению к постоянному воздействию. При этом статическая ошибка, определяемая установившимся значением выходной величины, пропорциональна установившемуся значению входного воздействия

,

где

– коэффициент передачи элементов системы, расположенных между приложением входного воздействия и снятием выходного сигнала;

– коэффициент передачи всей разомкнутой АСР.


9. АСР С КОМПЕНСАЦИЕЙ ВОЗМУЩЕНИЙ

 

В большинстве случаев статическая зависимость регулируемой величины от входного воздействия не желательна. Поэтому статизм необходимо уменьшать. Статическое отклонение уменьшается при увеличении коэффициента передачи системы. Однако, для полного устранения статизма требуется бесконечно большой коэффициент передачи. Такое условие невыполнимо и для устранения статизма следует перейти к астатической АСР с соответствующим порядком астатизма.

Кроме того, из уравнения установившегося движения системы очевиден и иной путь устранения статизма по отношению к рассматриваемому возмущению.

Из уравнения установившегося режима видно, что ошибка равна нулю при равенстве бесконечности знаменателя передаточной функции и равенстве нулю ее числителя.

Первый случай соответствует астатической системе. Второй случай можно реализовать введением воздействий, компенсирующих возмущения.

Суть способа заключается в том, что на основе измерения величины возмущения управляющее устройство осуществляет такое воздействие на объект, которое компенсирует естественное влияние данного возмущения на выходную величину объекта.

Структурная схема такой АСР приведена на рисунке 9.1.

 
 


fk(t)

 
 


  Wор(р)
Woвk(k)

       
   
 
Wрк(p)
 


y(t)

 

 

Рис.9.1.

 

В соответствии с рисунком 9.1 изображение регулируемой величины

 

.

Отсюда условие независимости от запишется в виде:

или

.

 

Следовательно, для того, чтобы регулируемая величина была независима от возмущения, или иначе, была инвариантна относительно возмущения, необходимо регулятор компенсации выбрать так, чтобы его передаточная функция определялась передаточными функциями объекта по каналам рассматриваемого возмущения и регулирующего воздействия.

Это условие абсолютной инвариантности не всегда может быть реализовано. Поэтому в большей части идут на частичную инвариантность – инвариантность в установившемся режиме (инвариантность в статике)

 

,

где

- коэффициент передачи объекта по каналу рассматриваемого возмущения,

- коэффициент передачи объекта по каналу регулирующего воздействия.

Так как в реальных системах невозможно измерить все возмущения, то система с компенсацией в разомкнутом виде (рис. 9.1) может быть реализована в редких случаях.

В практике автомвтизации технологических процессов принцип компенсации возмущений сочетают с принципом по отклонению (рис. 9.2).

 

 
 


Wрк(p)
fk(t)

       
   
 
 


f(t) Woвk(р)

+
Wр(p)
yз(t)

y(t)

     
 
-
 
 

 

 


Рис.9.2.

 

 

Согласно рисунку 9.2

Отсюда условие абсолютной инвариантности регулируемой величины по отношению к возмущению запишется в виде:

или

.

Для устранения влияния возмущения на регулируемую величину в установившемся режиме коэффициент передачи корректирующего регулятора (устройства ввода возмущения) должен быть обратно пропорционален коэффициенту передачи основного регулятора по отклонению

.


10. УСТОЙЧИВОСТЬ АСР

 

10.1. Переходный процесс в АСР. Устойчивые и неустойчивые АСР

 

Общее уравнение динамики линейной АСР записывается в виде

 

где

- регулируемая величина;

- возмущающее воздействие.

Общее решение этого уравнения имеет вид:

 

,

где

- ый корень характеристического уравнения ,

- ая постоянная интегрирования.

 

Из этого решения очевидно, что ая составляющая переходного процесса будет стремиться к установившемуся значению в том случае, когда действительная часть соответствующего корня отрицательна. Если действительная часть корня положительна, то соответствующая составляющая переходного процесса будет уходить от установившегося значения и весь процесс будет расходящимся.

АСР, переходные процессы в которых затухают с течением времени, называют устойчивыми. АСР с расходящимися переходными процессами относят к неустойчивым.

Все реальные работоспособные системы должны быть устойчивыми.

 

 

10.2. Необходимое условие устойчивости

 

Для суждения об устойчивости системы нужно знать знаки действительной части корней характеристического уравнения системы, а для этого нужно решать эти уравнения. В радикалах решаются уравнения первой – четвертой степеней, уравнения пятой и выше степеней решаются только в численном виде по числовым коэффициентам уравнения.В связи с этим появляется необходимость уметь косвенным образом оценивать знаки корней характеристического уравнения.

Можно показать, что необходимым условием отрицательности корней характеристического уравнения системы, т.е. ее устойчивости, является положительность всех коэффициентов уравнения. Для АСР первого и второго порядков это необходимое условие является и достаточным.

Необходимое и достаточное условия устойчивости для АСР третьего и выше порядков определяются критериями устойчивости.

 

10.3. Критерии устойчивости

 

10.3.1. Алгебраический критерий устойчивости Гурвица

 

Для устойчивости замкнутой системы n-го порядка необходимо и достаточно, чтобы были положительными все n определителей, составленных из коэффициентов характеристического уравнения системы, причем определители берутся как главные миноры квадратной матрицы. Квадратная матрица записывается:

- в первую строку выписываются коэффициенты уравнения через один, начиная со второго по старшинству;

- во вторую строку выписываются коэффициенты уравнения через один, начиная

с первого по старшинству;

- в третью и четвертую строки выписываются первая и вторая строки со сдвигом

на один элемент вправо.

На освободившиеся места в строках проставляются нули. Каждая последующая пара строк получается сдвигом на один элемент вправо двух предыдущих. Всего должно быть записано n строк и n столбцов, где n - порядок характеристического уравнения.

Например,

Квадратная матрица:

Условие устойчивости:

Так как все коэффициенты должны быть положительными и , то условие устойчивости записывается в виде:



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-12-07 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: