ЛИНЕЙНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ АСР 8 глава




Если свободный член равен нулю , то в уравнении имеется нулевой корень.

Если предпоследний определитель равен нулю , то в уравнении имеется чисто мнимый корень.

Следовательно, условиями границы устойчивости системы будут

и .

10.3.2. Частотный критерий устойчивости Найквиста для статических систем

 

1. Если разомкнутая система устойчива, т.е. если передаточная функция разомкнутой системы не имеет полюсов в правой полуплоскости, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФХ разомкнутой системы при движении вдоль нее по часовой стрелке не охватывала точку (-1;j0) и не проходила через нее, например рисунок 10.1.

 

jV(ω)

 

-1 ω=∞


ω=0 u(ω)

 

 

Рис.10.1.

 

2. Если разомкнутая система неустойчива, т.е. если передаточная функция разомкнутой системы имеет m полюсов в правой полуплоскости, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФХ разомкнутой системы при движении вдоль нее против часовой стрелки охватывала точку (-1;j0) раз, например рисунок 10.2.

 

jV(ω)

 

m=2 ω=0

-1

u(ω)

ω=∞

 

 

Рис.10.2.

 

10.3.3 Частотный критерий Найквиста для астатических систем -го порядка астатизма

 

В астатических АСР передаточная функция разомкнутой системы имеет полюсов в начале координат, т.е.

В этом случае характеристика

уходит в бесконечность при подходе к нулевой частоте как со стороны положительных, так и со стороны отрицательных значений , например рисунок 10.3.

 

 
 


jV(ω)

 

0

ω +∞

Wpc(jω)

0 u(ω)

ω -∞

 

 

Рис.10.3.

 

Наличие двух уходящих в бесконечность ветвей годографа при и делает АФХ незамкнутой и вносит в связи с этим неопределенность в области нулевой частоты.

Для возможности применения критерия Найквиста и в этом случае нужно кривую замкнуть, устранив тем самым неопределенность при

Для этого следует обойти нулевые корни характеристического уравнения, (нулевые полюсы передаточной функции), деформируя мнимую ось плоскости корней полуокружностью малого радиуса ρ (рис.10.4 а,б).

       
   

 


ρ ρ

 

a) б)

Рис.10.4.

Если обход осуществлять справа (против часовой стрелки), то нулевой корень следует отнести к левой полуплоскости. Если обход осуществлять слева (по часовой стрелке),

то нулевой корень относится к правой полуплоскости.

Если нулевой полюс обходить полуокружностью радиуса (рис. 10.4), то годограф АФХ разомкнутой системы дополняется полуокружностью бесконечно большого радиуса R и кривая АФХ замыкается.

Обходу нулевого полюса против часовой стрелки соответствует дополнение АФХ разомкнутой системы полуокружностью бесконечно большого радиуса R также против часовой стрелки.

Обходу нулевого полюса по часовой стрелке соответствует дополнение АФХ разомкнутой системы полуокружностью бесконечно большого радиуса R по часовой стрелке.

Если ограничиться только рассмотрением положительного диапазона частот (0 ), не учитывая зеркального отображения для отрицательных частот, то каждому нулевому полюсу при обходе его четвертью окружности радиусом будет соответствовать дополнение четвертью окружности радиуса , т.е. дугой бесконечно большого радиуса.

Исходя из вышеизложенного, можно сформулировать следующие критерии устойчивости Найквиста для астатических систем:

 

1. Если передаточная функция разомкнутой системы имеет полюсов на мнимой оси или в начале координат и не имеет полюсов в правой полуплоскости, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФХ разомкнутой системы с ее дополнением дугой бесконечно большого радиуса против часовой стрелки не охватывала точку (-1;j0) при движении вдоль нее по часовой стрелке.

2. Если передаточная функция разомкнутой системы имеет полюсов на мнимой оси или в начале координат и m полюсов в правой полуплоскости, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФХ разомкнутой системы с ее дополнением дугой бесконечно большого радиуса по часовой стрелке охватывала точку (-1;j0) раз при движении вдоль нее против часовой стрелки.

 

10.4. Влияние параметров АСР на ее устойчивость

 

Критерии устойчивости позволяют при известных параметрах АСР делать заключение о ее устойчивости. С их помощью можно также проследить влияние отдельных параметров на устойчивость, оценить степень устойчивости и тем самым оценить интенсивность затухания переходных процессов в АСР.

Существенное влияние на качество АСР оказывает ее коэффициент передачи. В статических АСР коэффициент передачи определяет величину статической ошибки. Чем больше коэффициент передачи, тем меньше статическая ошибка.

Следовательно, с точки зрения статической точности регулирования нужно увеличивать коэффициент передачи.

Однако, по мере роста его при прочих равных условиях ухудшается устойчивость системы. Если АФХ разомкнутой системы при единичном коэффициенте передачи (рис. 10.5) , то при АФХ разомкнутой системы .

jV(ω)

Akpkp)

-1 ω=∞ ω=0


ωkp 0 u(ω)

Wpc1(jω)

 

Рис.10.5.

По мере увеличения коэффициента передачи модули АФХ увеличиваются, АФХ разомкнутой системы располагается все ближе и ближе к критической точке (-1;j0).

При некотором значении коэффициента передачи АФХ разомкнутой системы пройдет через точку (-1;j0) и АСР выйдет на границу устойчивости. Значение коэффициента передачи разомкнутой АСР, при котором замкнутая система находится на границе устойчивости, при прочих равных условиях, называют критическим или предельным.

Из рисунка 10.5. имеем:

где значение модуля АФХ разомкнутой системы при критической частоте, причем под критической частотой понимают частоту, при которой АФХ разомкнутой системы при единичном коэффициенте передачи пересекает отрицательную вещественную полуось.

АСР, состоящую из устойчивых звеньев, в замкнутом состоянии всегда можно сделать устойчивой надлежащим подбором параметров системы, например, ее коэффициента передачи.

При этом в достаточной мере могут быть удовлетворены и другие требования к качеству системы. Системы регулирования, которые можно сделать устойчивыми только подбором ее параметров без изменения структуры, называют структурно-устойчивыми системами.

АСР, которые не могут быть сделаны устойчивыми путем только изменения значений параметров системы, называют структурно-неустойчивыми. Для придания устойчивости структурно-неустойчивым АСР необходимо изменять их структуру путем введения корректирующих устройств. Корректирующие устройства могут быть последовательными, параллельными и в виде обратных связей. Последовательные и параллельные корректирующие устройства реализуют дифференцирующими звеньями.

В качестве корректирующих устройств в виде обратной связи применяют жесткие и упругие обратные связи.

1. Идеальная жесткая обратная связь

2. Жесткая обратная связь с инерционностью первого порядка

3. Жесткая обратная связь с инерционностью второго порядка

4. Упругая обратная связь с инерционностью первого порядка

где Ти - постоянная времени звена обратной связи, называемая временем изодрома.


11. ОЦЕНКА КАЧЕСТВА АСР

 

11.1. Прямые показатели качества переходных процессов в замкнутой АСР

 

Работоспособность любой замкнутой АСР определяется ее устойчивостью, что в свою очередь предопределяется структурой системы.

Переходные же процессы зависят не только от структуры системы и ее параметров, но и от характера воздействий, приложенных к ней. В связи с этим для оценки качества регулирования и динамических свойств АСР вводят типовые воздействия, к которым относят единичные скачкообразную и импульсную функции; воздействие, изменяющееся с постоянной скоростью или постоянным ускорением; гармоническое воздействие.

Из приведенных типовых воздействий чаще применяют единичную скачкообразную функции . При этом используют прямые показатели качества

(рис. 11.1):

y y

y1 y3 ∆H

       
 
   
 


y1 y3 ∆H

y2

yyct=y(∞) ∆H 0 t

y2

0 t

tp tp

 


а) статическая АСР б) астатическая АСР

Рис.11.1.

 

- максимальное отклонение регулируемой величины (динамическая ошибка

регулирования) (рис. 11.1. а,б)

- статическая ошибка в установившемся режиме для статических АСР

(рис. 11.1 а)

- перерегулирование

для статических (рис.11.1 а)

и

для астатических АСР (рис.11.1 б).

- зона нечувствительности (рис.11.1 а,б)

- время регулирования (рис.11.1 а,б)

- степень затухания

для колебательных процессов (рис.11.1 а,б)

Степенью затухания называют отношение разности двух соседних одинаково направленных амплитуд колебаний к первой из них.

Следовательно, качество процессов регулирования можно оценить путем решения дифференциального уравнения системы и построения графика переходного процесса.

Однако, решение в аналитическом виде возможно только в случае линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и сопряжено с трудностями определения корней характеристического уравнения.

Вследствие этого широко применяют косвенные оценки качества АСР, к числу которых относят корневые, интегральные и частотные показатели.

 

11.2Корневые показатели качества АСР

 

Корневые показатели определяются расположением корней характеристического уравнения замкнутой системы в комплексной плоскости, при этом ориентируются на корень, наиболее близкий к мнимой оси.

В соответствии с этим различают: степень апериодической и степень колебательной устойчивости. Степенью апериодической устойчивости называют абсолютную величину действительного корня, расположенного наиболее близко к мнимой оси (h, рис. 11.2 а). Степенью колебательной устойчивости называют отношение вещественной части наиболее близкого к мнимой оси комплексного корня к коэффициенту при его мнимой части (m, рис. 11.2 б),

jω jω

ω

       
   
 


η 0 α α 0 α

       
   

 


а) б)

Рис.11.2.

 

т.е. тангенс угла (g), образованного верхней мнимой полуосью комплексной плоскости и прямой, проведенной из начала координат через ближайший к мнимой оси комплексный корень. Степень колебательной устойчивости однозначно определяет величину степени затухания:

 

11.3. Интегральные критерии качества АСР

 

Простейшей линейной интегральной оценкой для апериодических процессов является интеграл

 

где

- значение регулируемой величины (отклонение ее от номинального значения, принимаемого равным нулю) для астатических АСР

(рис. 11.3 а)

и

- отклонение текущего значения регулируемой величины от ее

нового установившегося значения для статических систем

(рис. 11.3 б)

y y



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-12-07 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: