Пиксельные преобразования

По отношению к оцифрованному изображению могут быть выполнены операции, предполагающие изменение характеристик отдельных пикселей или изображения в целом. Такие операции разбиваются на два класса:

· поэлементные (точечные) операции – изменение яркости отдельных пикселей в зависимости от их исходного значения;

· геометрические операции – изменение значений яркости пикселей, связанное с их пространственным положением.

1. Поэлементные операции

Поэлементные операции описываются выражением: , где P – функция преобразования яркости пиксела, - уровень яркости пиксела с координатами . В этом случае окрестность имеет размер 1х1, т.е. состоит из одного центрального пиксела. Значение яркости пиксела в выходном изображении зависит только от значения яркости соответствующего пиксела во входном изображении, что применительно к монохромным изображениям предполагает градационное преобразование.

Например, операция выполняет пороговое преобразование всего изображения. Пикселы с уровнем яркости менее величины t принимают нулевое значение (становятся черными), а пикселы с уровнем яркости не менее величины t принимают максимальное значение (становятся белыми).

Операция формирует изображение с перевернутой шкалой яркости, т.е. негативное изображение, и, в отличие от предыдущей операции, является обратимой.

Операция расширяет узкий диапазон яркости 0…64 до почти максимального, одновременно назначая уровень максимально яркого (белого) пикселям с исходным значением, не попадающим в этот диапазон. Такое преобразование применимо для улучшения качества темных изображений с малой контрастностью.

На рис.1 показаны три основных типа преобразования – линейное, степенное и логарифмическое.

Логарифмическое преобразование выполняется по закону: , где c – константа, и отражает узкий диапазон малых значений исходного изображения в широкий диапазон выходного. Таким образом, увеличивается контрастность темных фрагментов с одновременным уменьшением контрастности ярких. Обратное логарифмическое преобразование предполагает противоположные процессы.

Степенное преобразование (гамма - преобразование) изменяет изображение согласно закону: , где коэффициент гамма назначается согласно требованиям к изображению и может принимать положительные значения больше или меньше единицы.

Рис.1 Основные законы преобразования изображений

Аналогичные операции могут предусматривать установку порога преобразования с целью выделения важного диапазона яркости (рис.2).

Рис.2 Изменение контрастности изображений с указанием порога

Однородные поэлементная операции выполняются аналитически или с помощью таблиц преобразования. Во втором случае предварительно формируется специальная таблица, в которой каждому выходному значению яркости из рабочего диапазона сопоставляется возможное входное значение.

Например, изображение формируется на ПЗС-матрице размером 1024х1024 при 14-битовой шкале яркости. Следовательно, значения яркости изображения расположены в диапазоне от 0 до 16383, тогда как рабочий диапазон оцифрованного изображения представляется 8 битами яркости, т.е. значениями от 0 до 255. Для преобразования входного изображения применяется операция , непосредственное использование которой предполагает конвертирование целого 14-битового числа в число с плавающей запятой, вычисление логарифма, умножение на коэффициент и конвертирование в 8-битовое целое число. Для изображения размером 1024х1024 эти операции должны быть повторены более миллиона раз. В случае использования таблицы преобразований, длина которой для данного примера равна 16384 строки, вычисление поэлементной операции сводится к замещению уровня яркости элементом в таблице с индексом, соответствующим уровню яркости:

2. Геометрические операции

Геометрические операции изменяют пространственные взаимосвязи между пикселями изображения и приводят к преобразованиям, на­зываемым преобразованиями резинового холста, поскольку их можно представить как процесс распечатки изображения на холсте из ре­зины с последующим растягиванием этого холста в соответствии с опре­деленными правилами. Геометричес­кие операции предполагают выполнение двух основных действий:

· пространственное преобразование - изменение расположения пикселей изображения;

· интерполяция значений яркости - присвое­ние значений яркости пикселам изображения, подвергнутого прост­ранственному преобразованию.

Прямое отображение – увеличение изображений. Пространственное преобразо­вание изображения в изображение может быть записано в следующем виде: , , где функции r и s определяют операции изменения формы исходного изображения.

Такой способ преобразования называется прямым отображением.

Например, ес­ли и , то размеры исходного изображения увеличиваются в два и в три раза по соответствующему направлению (рис.3б). При этом решаются две задачи: создание новой матрицы пикселей и присвоение этим пикселям определенных зна­чений яркости.

Рис.3 Исходное и увеличенное 2х3 изображение

Точное математическое формирование значений новых пикселей приводит к ситуации, при которой в выходном изображении присутствуют пикселы, в которые не отобразился ни один из пикселов исходного изображения (рис.4).

Для решения этой проблемы применяются методы интерполяции. Один из них называется дублирование пикселей и применяется при увеличении изображения в целое число раз. Вначале тиражируется каждый столбец, формируя изображение с увеличенным горизонтальным размером. Затем тиражируется каждая строка. Назначение одинаковой яркости каждому пикселю в тиражируемой группе предо­пределено тем фактом, что все они соответствуют одному и тому же элементу исходного изображения (рис.5).

Рис.4 Матрица для увеличенного изображения с неопределенными пикселами

а) Результат тиражирования столбцов

б) Изображение после тиражирования столбцов и строк

Рис.5 Увеличение изображения по методу дублирования пикселей

При интерполяции по ближайшему соседу вначале на ис­ходное изображение накладывается координатная сетка, шаг которой меньше одного пикселя (рис.6). Значение яркости любому элементу новой матрицы присваивается по значению яркости ближайшего к нему пиксела исход­ного изображения. Метод интерполяции по ближайшему соседу позволяет сформировать значения новых пикселей при увеличении изображения также и в нецелое число раз.

Увеличение с дублированием пикселей и с интер­поляцией по ближайшему соседу выполняется быстро, но может приводить к заметной ступен­чатости, особенно при большой кратности увеличения (рис.7).

а) Увеличение 2х3	б) Увеличение 1.5х1.5

Рис.6 Наложение новой координатной сетки на исходное изображение

по методу интерполяции по ближайшему соседу

Рис.7 Результат увеличения 1.5х1.5 изображения по методу интерполяции

по ближайшему соседу

Бо­лее сложным способом присвоения яркостей элементам увеличен­ного изображения является билинейная интерполяция, в которой исполь­зуются пиксели из четверки соседей. Построенная с помощью метода билинейной интерполяции функция яркости является линейной функцией относительно каждой из своих переменных при любом фиксированном значении другой. Искомое приближение формируется в результате последовательного применения процедур одномерной линейной интерполяции.

Прямое отображение – уменьшение изображений. Изображения уменьшаются аналогич­ными способами, но вместо операции тиражирования строк и столбцов пикселей используются операции удаления строк и столбцов. Например, для уменьшения изображения в два раза удаляются строки и столбцы через один. При уменьшении изображения в нецелое число раз используется сетка с шагом, превышающим шаг расположения исходных пикселей.

Для назначения яркости элементам уменьшенного изображения применяются интерполяция по ближайшему соседу или билинейная интер­поляция. При этом решается задача, связанная с наложением на один и тот же выходной пиксел значений нескольких пикселей исходного изображения. В простом случае процедура рассматривает пикселы как квадраты и подсчитывает долю площади входного пиксела, которая покрывает выходной пиксел, в качестве весового множителя. Каждый выходной пиксел накапливает соответствующие доли входных пикселей, которые учитываются при назначении яркости.

Для интерполяции может использоваться большее число соседей, что приводит к более глад­ким результирующим изображениям. Такой подход используется также при генерации изображений в трехмерной ком­пьютерной графике.

Обратное отображение. При обратном отображении процедура формирования выходного изображения вначале последовательно сканирует пикселы выходного изображения, яркость которых необходимо рассчитать, и согласно функции обратного преобразования изображения в изображение определяет координаты контрольной точки на входном изображении. Затем решается задача интерполяции по пикселам входного изображения для определения величины яркости выходного пиксела.

Как правило, обратное отображение реализуется проще прямого.

3. Аффинное преобразование

Аффинное преобразование является линейным координатным преобразованием: перемещение, вращение (поворот), масштабирование (растяжение, сжатие) и сдвиговое деформирование (рис.8).

Рис.8 Аффинные преобразования

При преобразовании треугольник отображается в треугольник, а прямоугольник – в параллелограмм. Прямые линии остаются прямыми, а параллельные линии – параллельными.

Аффинное преобразование может быть выражено векторным сложением и матричным умножением:

Параметры задают перемещение изображения, а параметры - поворот, масштабирование и сдвиг. Аффинное преобразование записывается также в форме матричного умножения:

Значения элементов матрицы и соответствующие операции показаны в таблице:

Тип	Матрица	Координатные уравнения
Тождество
Масштабирование (растяжение, сжатие)
Поворот
Сдвиг (деформирование)
Перемещение