Векторное произведение векторов

Векторным произведением вектора а на вектор b называется вектор, обозначаемый символом [а b] и определяемый следующими тремя условиями:

1) модуль вектора [a b] равен [a] [b] sin φ, где φ — угол между век­торами а и b;

2) вектор [ab] перпендикулярен к каждому из векторов а и b;

3) направление вектора [ab] соответствует «правилу правой руки». Это означает, что если векторы а, b и [аb] приведены к общему началу, то век­тор [аb] должен быть направлен так, как направлен средний палец правой руки,.большой палец которой направлен по первому сомножителю (т. е. по вектору а), а указательный — по второму (т. е. по вектору b).

Векторное произведение зависит от порядка сомножителей, именно:

[аb] = —[bа].

Модуль векторного произведения [ab] равен площади S параллелограмма, построенного на векторах а и b:

[ [аb]] = S.

Само векторное произведение может быть выражено формулой

[ab] = Se,

где е — орт векторного произведения.

Векторное произведение [ab] обращается в нуль тогда и только тогда, когда векторы а и b коллинеарны. В частности [аа] = 0.

Если система координатных осей правая и векторы а и b заданы в этой системе своими координатами:

А = {X _1:; Y₁ ; Z₁}, b ={X _2:; Y₂ ; Z₂},

то векторное произведение вектора а на вектор b определяется формулой

[ ab ] =

839. Векторы а и b образуют угол φ = . Зная, что | а | = 6, | b | = 5, вычислить

|[аb] |.

840. Даны: |а| = 10, |b| = 2 и a b=12. Вычислить |[аb] |.

841. Даны: |а| = 3, |b| = 26 и |[ab]| = 72. Вычислить аb.

842. Векторы а и b взаимно перпендикулярны. Зная, что |а|— = 3, |b|= 4, вычислить:

1) |[(a + b) (a- b)]|; 2) | [(3a—b)(a—2b)]|.

843. Векторы а и b образуют угол φ = . Зная, что |а| = 1, |b| = 2, вычислить:

1 ) [a b]²; 2) [(2а + b)(а + 2b)]²; 3) [(а + 3b)(3а — b)}²;

844. Какому условию должны удовлетворять векторы а, b, чтобы векторы а+ b и

a — b были коллинеарны?

845. Доказать тождество [a b]² + (a b)² = a² b².

846. Доказать, что

[a b]² ≤ а²b²;

в каком случае здесь будет знак равенства?

847. Даны произвольные векторы: р, q, r, п. Доказать, что век­торы

а = [рп], b = [qn], c = [rn]

компланарны (т. е., будучи приведены к общему началу, распола­гаются в одной плоскости).

848. Векторы а, b и с удовлетворяют условию

а + b + с = 0.

Доказать, что

[ab] = [bc] = [ca].

849. Векторы а, b, с и d связаны соотношениями

[ab] = [cd]; [ac]= [bd].

Доказать коллинеарность векторов а — d и b — с.

850. Даны векторы

а = {3; — 1; — 2} и b = {1;2;—1}.

Найти координаты векторных произведений:

1) [ab]; 2) [(2a + b)b]; 3) [(2a —b)(2a + b)].

851. Даны точки А(2; — 1; 2), B(1;2; — 1) и C(3; 2; 1). Найти коор­динаты векторных произведений 1) [ ]; 2) [( — 2 ) ].

852. Сила f ={3; 2; —4} приложена к точке А(2; —1; 1). Определить момент этой силы относительно начала координат*).

853. Сила P={2; —4; 5} приложена к точке М ₀(4; —2; 3). Определить момент этой силы относительно точки А(3; 2; —1).

854. Сила Q={ 3; 4; —2} приложена к точке С(2; — 1; —2). Определить величину и направляющие косинусы момента этой силы относительно начала координат.

855. Сила P = { 2; 2; 9 } приложена к точке А (4; 2; — 3). Опре­делить величину и направляющие косинусы момента этой силы отно­сительно точки С (2; 4; 0).

856. Даны три силы М = { 2; — 1; — 3 }, N — {3; 2; — 1} и Р = { — 4; 1; 3}, приложенные к точке С (— 1; 4; —2). Определить величину и направляющие косинусы момента равнодействующей этих сил относительно точки А (2; 3; —1).

857. Даны точки А (1; 2; 0), В (3; 0; — 3) и С (5; 2; 6). Вычи­слить площадь треугольника ABC.

858. Даны вершины треугольника А (1; —1; 2), В (5; —6; 2) и С (1; 3; —1). Вычислить длину его высоты, опущенной из вер­шины В на сторону АС.

859. Вычислить синус угла, образованного векторами а = {2; —2; 1} и b = {2; 3; 6}.

860. Вектор х, перпендикулярный к векторам а = { 4; — 2; — 3 } и a = {0; 1; 3}, образует с осью Оу тупой угол. Зная, что | х | = 26, найти его координаты.

861. Вектор т, перпендикулярный к оси Oz и к вектору a = {8; —15; 3}, образует острый угол с осью Ох. Зная, что | m | = 51, найти его координаты.

862. Найти вектор х, зная, что он перпендикулярен к векторам a = {2; —3; 1) и b = {1; — 2; 3} и удовлетворяет условию:

x(i + 2j— 7 k)=10.

86З. Доказать тождество

(l²₁ +m ²₁ + n ²₁ ) (l²₂ +m ²₂ + n ²₂ )- (l₁l₂ +m₁m₂ + n₁n₂ )²=

= (m₁n₂ + m₂n₁ )²+ (l₂ n₁ -l ₂ n₁ )² + (l₁m₂ - l₂m₁)²

У к а з а н и е. Воспользоваться тождеством задачи 845. 864. Даны векторы;

a = {2;— 3; 1}, b = {—3;1;2} и c = {1;2;3}.

Вычислить [[ab] с] и [a [bc]}.

___________________________

*) Если вектор f изображает силу, приложенную к какой—нибудь точке М, а вектор а идёт из некоторой точки О в точку М, то вектор [af] пред­ставляет собой момент силы f относительно точки О.