Тема урока: Рациональные уравнения.

Цели урока:

Образовательная: систематизировать и обобщить известные из основной школы сведения о рациональных выражениях; показать способы решения рациональных уравнений;

Развивающая: расширить и углубить изучение различных видов рациональных уравнений разнообразными методами.

Воспитывающая: показать значимость изучаемой темы в разделе математика.

 

Ход урока:

I. Повторение.

Алгебра возникла из решения практических задач с помощью уравнений. Цели алгебры оставались неизменными на протяжении тысячелетий- решались уравнения: сначала линейные, потом квадратные, а там и уравнения еще больших степеней. Но форма, в которой излагались алгебраические результаты, менялись до неузнаваемости.

Уравнение- это самая распространенная форма математической задачи. Учение об уравнениях является главным содержанием школьного курса алгебры. Для решения уравнений нужно уметь производить действия над одночленами, многочленами алгебраическими дробями, уметь производить разложение на множители, раскрывать скобки и т. д. Нужно привести свои знания в порядок. Мы начнем повторение с понятия «рациональные выражения». Сообщение ученика о рациональных выражениях известных из основной школы. Таким образом, учение об уравнениях невозможно без учения о законах действий.

 

II. Основная часть.

Главное в понятии уравнения – это постановка вопроса о его решении. Уравнение, левая и правая части которого есть рациональные выражения относительно х, называют рациональным уравнением с неизвестным х.

Например, уравнения 5х⁶ - 9х⁵ + 4х - Зх + 1 = 0, являются рациональными.

Корнем (или решением) уравнения с неизвестным х называют число, при подстановке которого в уравнение вмес­то х получается верное числовое равенство.

Решить уравнение — значит найти все его корни или показать, что их нет. При решении рациональных уравнений приходится умножать и делить обе части уравнения на не равное нулю число, переносить члены уравнения из одной части в другую, применять правила сложения и вычитания алгебраических дробей. В результате будет получаться уравнение, равносильное предшествующему, т. е. уравнение, имеющее те же корни, и только их.

Перечислим стандартные уравнения, которые были нами изучены. Ответы учащихся.(линейное уравнение, квадратное уравнение, простейшее степенное уравнение хⁿ=а). Преобразование уравнений к одному из стандартных является основным шагом в решении уравнения. Полностью алгоритмизировать процесс преобразования нельзя, однако полезно запомнить некоторые приемы, общие для всех типов уравнений.

1).Уравнение вида А(х)•В(х) = О, где А(х) и В(х) — многочлены относительно х, называют распадающимся уравнением.

Множество всех корней распадающегося уравнения есть объединение множеств всех корней двух уравнений А(х)=0 и В(х)=0. К уравнениям вида А(х)=0 применяется метод разложения на множители. Суть этого метода: нужно решить уравнение А(х)=0, где А(х)=А₁(х)А₂(х)А₃(х). Уравнение А(х)=0 заменяют совокупностью простых уравнений: А₁(х)=0,А₂(х)=0,А₃(х)=0. Находят корни уравнений этой совокупности и делают проверку. Метод разложения на множители используется в основном для рациональных и тригонометрических уравнений.

 

ПРИМЕР 1.

Решим уравнение (х² - 5х + 6) (х² + х - 2) = 0.

Уравнение распадается на два уравнения.

х² - 5х + 6 = 0 х₁ = 2 и х₂ = 3

х² + х - 2 = 0. х₃ = -2 и х₄ = 1

Значит, уравнение исходное имеет корни х₁= 2, х₂ = 3, х₃= -2, х₄ =1.

Ответ. -2; 1; 2; 3.

 

ПРИМЕР. Решим уравнение х³-7х+6=0.

х³-х-6х+6=0

х(х²-1)-6(х-1)=0

х(х-1)(х+1)-6(х-1)=0

(х-1)(х(х+1)-6)=0

(х-1)(х²+х-6)=0

х-1=0, х₁=1; х²+х-6=0, х₂=2,х₃=-3.

Ответ:1;2;-3.

 

2).Уравнение вида , где А(х) и В(х) — многочлены относительно х.

 

ПРИМЕР 2.

Решим уравнение

Сначала решим уравнение

х² + 4х - 21 = 0. х₁ = 3 и х₂ = -7

Подставив эти числа в знаменатель левой части исходного уравнения, получим

х₁ ²- х₁ -6 = 9-3-6 = 0,

х₂ ²- х₂ - 6 = 49 + 7 - 6 = 50 ≠0.

Это показывает, что число х₁ = 3 не является корнем исходного уравнения, а число х₂ =- 7 — корень этого уравнения.

Ответ. -7.

 

3).Уравнение вида

где А(х), В(х), С(х) и D(х) — многочлены относительно х, обычно решают по следующему правилу.

Решают уравнение А(х)•D(х) - С(х)·В(х) = 0 и отбирают из его корней те, которые не обращают в нуль знаменатель уравнения.

 

ПРИМЕР 3.

Решим уравнение

Решим уравнение

х² - 5х + 6 - (2х + 3) (х - 3) = 0.

х² + 2х - 15 = 0

х₁ = -5 и х₂ = 3.

Число х₁ не обращает в нуль знаменатель х - 3, а число х₂ обращает. Следовательно, уравнение имеет единственный корень = -5.

Ответ. -5.

 

Найти корни рационального уравнения часто помогает замена неизвестного. Умение удачно ввести новую переменную- важный элемент математической культуры. Удачный выбор новой переменной делает структуру уравнения более прозрачной.

 

ПРИМЕР 4.

Решим уравнение х⁸ + 4х⁶ -10х⁴ + 4х²+ 1 = 0.

Число х₀ = 0 не является корнем уравнения, поэтому уравнение равносильно уравнению

х⁴ + 4х² - 10 + + =0

Обозначим t = ,тогда х⁴ + =t²-2,

получаем t ² + 4t - 12 = 0, х₁ = 2 и х₂= -6.

Следовательно, корни уравнения найдем, объединив все корни двух уравнений: =2, и =-6,

Первое уравнение имеет два корня -1 и 1, а второе уравнение не имеет действительных корней, поэтому уравнение имеет только два корня: -1 и 1. Ответ. -1; 1.

 

4). Симметрические уравнения.

Многочлен от нескольких переменных называют симметрическим многочленом, если его вид не изменяется при любой перестановке этих переменных.

Например, многочлены х + у, а² + b² - 1, zt и 5а³ + 6ab + 5b³ — симметрические многочлены от двух переменных, а многочлены х + у + г, а³+ b³ + с³, — симметрические многочлены от трех переменных.

В то же время многочлены х - у, а² –b² и а³ + аb – b³ — не симметрические многочлены.

Уравнение ax⁴+bx³+cx²+bx+a=0, где а R/ ,b R, с R называется симметрическим уравнением четвертой степени. Чтобы решить это уравнение необходимо:

1).Поделить обе части уравнения на х² и сгруппировать полученные выражения: .

2).Введение переменной уравнение приводится к квадратному.

 

Пример.

Решите уравнение х⁴+5х³+4х²-5х+1=0.

Число 0 не является корнем уравнения. Поделим обе части уравнения на х²≠0.

.

.

Ответ. .

Сегодня мы подвели итоги изучения темы рациональные уравнения. Мы поговорили об общих идеях, общих методах, на которых основана вся школьная линия уравнений.

Выделили методы решения уравнений:

1) метод разложения на множители;

2) метод введения новых переменных.