Основные формулы комбинаторики
Вопросы для контроля
1. Что называют перестановками? По какой формуле вычисляют число перестановок из п
различных элементов?
2. Что называют размещениями? По какой формуле вычисляют число размещений из п различных
элементов по т элементов?
3. Что называют сочетаниями? По какой формуле вычисляют число сочетаний из п элементов по т
элементов?
4. Каким равенством связаны числа перестановок, размещений и сочетаний?
5. По какой формуле вычисляется число перестановок из п элементов, если некоторые элементы
повторяются?
6. Какой формулой определяется число размещений по т элементов с повторениями из п
элементов?
7. Какой формулой определяется число сочетаний с повторениями из п элементов по т элементов?
Задачи.
1.46 Имеется 6 сортов шоколадных конфет, 4 сорта карамели и 3 вида шоколада. Сколько можно
сделать различных подарков, содержащих один сорт шоколадных конфет, один сорт карамели и один
вид шоколада?
1.47 Имеется 5 книг по теории вероятностей, 6 книг по математической логике и 10 книг по
программированию. Сколькими способами можно выбрать книгу по математике?
1.48 В студенческой группе 5 человек занимаются баскетболом, 4 - волейболом и 2 - плаванием,
а) Сколькими способами можно выбрать одного студента так, чтобы он занимался баскетболом или
плаванием? б) Сколькими способами можно составить группу из трех человек, чтобы в нее вошли
баскетболист, волейболист и пловец?
1.49 Сколько различных полных обедов можно составить, если в меню имеется 2 первых, 3
вторых и 3 третьих блюда?
1.50 Сколько различных трехбуквенных «слов» можно составить из букв слова билет!
1.51 Сколько различных трехзначных чисел, меньших 500, можно составить из цифр 2, 4, 5, 6, 8
при условии: а) цифры в числе не должны повторяться; б) цифры в числе могут повторяться.
1.52 Сколько можно составить двузначных или трехзначных чисел из нечетных цифр при
условии, что ни одна цифра не повторяется?
1.53 У англичан принято давать детям несколько имен. Сколькими способами можно назвать
ребенка, если общее число имен равно 300, а ребенку дают не более трех разных имен?
1.54 Даны натуральные числа от 1 до 30. Сколькими способами можно выбрать три числа так,
чтобы их сумма была четной?
1.55 На железнодорожной станции имеются шесть светофоров. Сколько может быть дано
различных комбинаций их сигналов, если каждый светофор имеет три состояния: «красный», «желтый»
и «зеленый»?
1.56 а) Сколько четырехзначных чисел можно образовать из цифр 1, 3, 5, 7, 9, если каждая из
этих цифр может повторяться? б) Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 2, 4, 5, 6, 7, 8,
9, если цифры в числах не повторяются?
1.57 Сколькими способами можно распределить 6 различных книг между двумя студентами?
1.58 а) Сколько различных пятизначных чисел можно составить при помощи цифр 1, 2, 3? б)
Сколько различных семизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 2, 1, 2? в) Сколько
различных четырехзначных чисел, делящихся на 4, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, если в записи
числа каждая цифра может встречаться несколько раз?
1.59 Сколько «слов», каждое из которых состоит из семи различных букв, можно составить из
букв слова экзамен!
1.60 Сколько словарей надо издать, чтобы можно было выполнять переводы с любого из четырех
языков: русского, английского, французского, немецкого на любой другой из этих языков?
1.61 Сколькими способами 6 студентов могут зайти друг за другом на экзамен?
1.62 В группе 20 студентов. От группы надо выбрать двух представителей на конференцию.
Сколькими способами это можно сделать?
1.63 В студенческой группе 2 человека занимаются хоккеем, 5 человек занимаются баскетболом,
6 студентов занимаются волейболом и 6 - плаванием. Сколькими способами можно составить группу, в
которую бы вошли хоккеист, три баскетболиста, четыре волейболиста и три пловца?
1.64 Сколькими способами можно выбрать из слова монитор две согласных и две гласных
буквы?
1.65 Сколькими способами можно выбрать из слова комбинаторика пять согласных и четыре
гласных буквы?
1.66 Имеется пять карандашей и три ручки. Сколькими способами можно составить два набора по 4 предмета, если в каждом наборе должно быть хотя бы по одной ручке?
1.67 Сколькими способами можно расставить на книжной полке 2 книги по теории
вероятностей, 5 книг по математической статистике и 3 книги по теории игр?
1.68 Найдите число различных перестановок в словах статистика, колокол, комбинаторика,
водород, абракадабра.
1.69 У мамы 2 яблока, 3 груши и 4 апельсина. Каждый день она выдает сыну по одному плоду.
Сколькими способами это может быть сделано?
1.70 Сколько чисел, меньших чем миллион, можно написать с помощью цифр 5 и 9?
1.71 С первого и второго курсов факультета информатики, насчитывающих по 100 студентов,
надо выделить по одному представителю для участия в конференции. Сколькими способами может
быть сделан этот выбор?
1.72 В корзине лежит 20 яблок и 24 груши. Сколькими способами можно выбрать одно яблоко иодну грушу?
Нужно выбрать 1 яблоко, где их 20 из 44, и 1 грушу, где их 24 из 44
20*24=480
1.73 Из 12 роз, 9 гвоздик и 10 лилий надо выбрать по одному цветку каждого вида и составить
букет. Сколькими способами может быть сделан этот выбор?
12*9*10=1080
1.74 Сколькими способами можно выбрать четыре различные краски из имеющихся семи, если
порядок расположения красок не играет роли?
1.75 Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый флаг, если имеетсяматериал 5 различных цветов?
5*4*3=60
1.76 Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый флаг, если имеетсяматериал 5 различных цветов и известно, что одна из полос должна быть красной?
3*(5^2)=75
1.77 Из состава студентов первого курса института, насчитывающего 52 человека, надо избрать
группу в 5 человек для участия в конференции. Сколькими способами может быть сделан этот выбор?
1.78 В цветочном магазине продаются цветы 7 сортов, а) Сколькими способами можно составитьбукет из 9 цветов? б) Сколькими способами можно составить букет из 5 цветов? в) Сколькимиспособами можно составить букет из 5 различных цветов?
a) 7^9
б) 7^5
в)5!
1.79 В олимпиаде по математике участвуют 18 студентов первого курса. Борьба идет за первое,
второе и третье места. Сколькими способами призовые места могут быть распределены междустудентами?
A=18!/15!=16*17*18=4896
1.80 В колоде 36 карт. Раздаются 3 карты. Сколько может быть случаев появления одного туза
среди розданных карт?
C=33!/(2!31!)*4=2112
1.81 В колоде 36 карт. Раздаются 6 карт. Сколько может быть случаев появления одного туза и
двух дам среди розданных карт?
C=32!/(5!27!)*4=4*28*29*30*31*32/120=28*29*3*31*32/4=604128
C=C 2 из 4 * C 4 из 32=6*32!/4!28!=6*29*30*31*32/24=215760
1.82 В цветочном магазине продаются 8 белых и 6 красных роз. Найти число способов выборапяти роз" для букета, если: а) они могут быть любого цвета; б) три из них должны быть белыми, а две -красными; в) они должны быть одного цвета.
А) С 5 из 14 = 14!/5!9!= 11*13*14=2002
Б)C 3 из 8 &C 2 из 6 – (8!/3!5!)*(6!/2!4!)=6*7*8/(2*3)*5*6*2 =6*7*8*5*2=3360
В) C5 из 6 &C 5 из 8 – (6!/5!)*(8!/5!3!) = 6*6*7*8/2*3 =6*7*8 = 336
1.83 Курс «Теория вероятностей и математическая статистика» охватывает 10 разделов теориивероятностей и 8 разделов математической статистики. Экзамен по курсу состоит максимум из пятивопросов, по одному из каждого раздела. Три вопроса включают теорию вероятностей и два -математическую статистику. Сколькими способами можно выбрать разделыдля экзамена?
10*9*8*8*7=62640
1.84 Из студенческой группы, в которой 10 юношей и 10 девушек нужно выбрать 10 человек, а) Каково число способов выбора десяти человек? б) Каково число способов, при которых выбирается больше юношей, чем девушек? в) Каково число способов выбора десяти человек, если по крайней мере 8 из них должны быть юношами?