Уравнение, неравенство, система обладают свойством алгебраической симметрии, если они не меняют своего вида при замене местами или изменения знака переменных.
Если уравнение (неравенство, система) с параметром обладает свойством алгебраической симметрии, то часто требуется определить при каких значениях параметра уравнение (неравенство, система) имеет единственное решение.
Например, уравнение 
где 
чётная функция, а – параметр, обладает свойством алгебраической симметрии, так как при изменении знака переменной оно не меняют своего вида. Если решением уравнения является 
, то и 
одновременно является решением этого уравнения. Рассматриваемое уравнение может иметь единственное решение, только в случае, если 
Необходимым условием существованием единственного решения рассматриваемого уравнения является выполнения условия 
Например, система с параметром а 
обладает свойством алгебраической симметрии, если система не меняется при замене у на х и х на у (график каждого уравнения имеет ось симметрии 
). Тогда вместе с решением 
система имеет решение 
Рассматриваемая система может иметь единственное решение, только в случае, если 
Тогда необходимым условием существованием единственного решения рассматриваемой системы является выполнения условия 
Если уравнение (неравенство, система) с параметром а обладает свойством алгебраической симметрии, то нахождение единственного решения состоит из двух этапов:
1) Необходимое условие. Используя свойство алгебраической симметрии, находятся значения параметра, при которых уравнение (неравенство, система) может иметь единственное решение.
2) Достаточное условие. Решается уравнение (неравенство, система) при параметрах, найденных в пункте 1). Параметры, при которых рассматриваемое уравнение (неравенство, система) имеет единственное решение, удовлетворяют условию задачи.
31. При каких значениях параметра а,имеет нечётное число корней уравнение 
?
Решение. Так как функция 
= 
чётная, то уравнение (1) имеет нечётное число корней тогда и только тогда, когда одним из корней является 
.
Корнем исходного уравнения является , если
Итак, 
удовлетворяют условию задачи.
Ответ. .
32. При каких значениях параметра а,имеет единственное решение уравнение 
?
Решение. 1. Имеем
Так как функция 
чётная, то исходное уравнение имеет нечётное число решений тогда и только тогда, когда одним из корней уравнения является .
Корнем уравнения (1) является , если
2. Определим, сколько решений имеет исходное уравнение, если 
.
а) Если 
то исходное уравнение принимает вид
.
Итак, если то исходное уравнение имеет три корня.
а) Если 
то исходное уравнение принимает вид:
Итак, если то исходное уравнение имеет один корень.
Ответ. 
.
33. Найдите все значения параметра а,при которых имеет единственное решение уравнение 
.
Решение. 1. Легко проверить, если 
то уравнение (1) не имеет решений.
2. Пусть 
Пусть 
.
Так как 
, то функция 
чётная.
1) Уравнение (1) может иметь нечётное число решений, если корнем уравнения является .
Корнем уравнения (1) является , если
2) Определим, сколько решений имеет уравнение (1), если 
Если 
то уравнение (1) принимает вид
Очевидно, 
Оценим правую часть уравнения (2).
Так как функция 
если 
возрастает и эта функция нечтная, то
Так как левая часть уравнения (2) не меньше 
, а правая – не больше , то уравнение (2) равносильно системе
Итак, если 
то исходное уравнение имеет один корень.
Ответ. 
.
34. Найдите все значения параметра а, при которых имеет единственное решение уравнение 
Решение. 1. Левая часть уравнения (1) – чётная функция. Если решением уравнения (1) является , то и одновременно является решением этого уравнения. Поэтому уравнение (1) может иметь единственное решение, если решением уравнения является .
2. Решением уравнения (1) является , если
Так как последняя система не имеет решений, то ни при каких значениях параметра а уравнение (1) не имеет единственного решения.
Ответ. Не имеет единственного решения.
35. Найдите все значения параметра а, при которых имеет единственное решение неравенство
.
Решение. 1. Обе части неравенства (1) – чётные функции. Если решением неравенства (1) является , то и одновременно является решением этого неравенства. Поэтому неравенство может иметь единственное решение, если решением неравенства является .
2. Решением неравенства (1) является , если
1) Определим, сколько решений имеет неравенство (1), если 
Отметим: если 
то 
Имеем 
Так как последнее неравенство выполняется при любом значении х,
то 
не удовлетворяют условию задачи.
2) Если 
то неравенство (1) принимает вид
Итак, если то неравенство (1) имеет одно решение.
Ответ. 
.
36. Найдите все значения параметра а, при которых имеет единственное решение система 
Решение. 1. Из второго уравнения системы следует, что 
и 
. Очевидно, точки 
и 
одновременно удовлетворяют первому и второму уравнениям системы. Откуда следует, что система (1) имеет нечётное число решений тогда и только тогда, когда среди решений находится решение 
. Если решение системы (1), то из
системы (1) следует, что 
Из полученной системы следует: решением системы (1) является точка 
, если 
, или точка 
, если 
.
2. Определим, сколько решений имеет система (1), если 
.
а) Если 
, то система (1) принимает вид
Замечание. Целые корни уравнения 
с целыми коэффициентами являются делителями свободного члена.
Рассмотрим первое уравнение системы (2). Очевидно, одним из корней этого уравнения является 
.
Делителями свободного члена уравнения 
(2) являются: 
Проверкой убеждаемся, что корнем уравнения (2) является 
.
Итак, первое уравнение системы (1) имеет не менее двух корней, которые удовлетворяют условию . Система (2) имеет не менее трёх решений: 
Это означает, что 
не удовлетворяет условию задачи.
б) Если , то исходная система принимает вид
Из первого уравнения системы (3) следует, что 
. А так как , то 
Легко проверить, что системе (3) удовлетворяет только точка . Тогда 
удовлетворяет условию задачи.
Ответ. .
37. Найдите все значениях параметра а, при которых имеет единственное решение система 
Решение. 1. Так как 
то 
Исходная система перепишется в виде
Легко проверить: если 
решение системы (1), то и 
решение системы (1). Тогда система (1) может иметь единственное решение, если решением системы является 
2. Если 
решение системы (1), то система принимает вид
3. Определим, число решений системы (1), если 
1) Если 
то система (1) принимает вид
Рассмотрим первое уравнение системы (2).
Левая часть уравнения не меньше двух (если 
то 
) и равна двум, если 
Правая часть уравнения не больше двух, если 
(действительно, имеем 
) и равна двум, если 
. Итак, решением первого уравнения системы (2), при условии, что , является пара 
, или пара 
Но пара не удовлетворяет второму уравнению системы (2), а тогда исходная система, если имеет единственное решение – это пара
2) Если 
то система (1) принимает вид
Квадратное уравнение 
имеет два корня: 
, которые удовлетворяют условию . Система (3) имеет два решения: 
Условию задачи 
не удовлетворяет.
3) Если 
то система (1) принимает вид
Квадратное уравнение 
имеет два корня: 
, которые удовлетворяют условию . Система (3) имеет два решения: 
Условию задачи 
не удовлетворяет.
Ответ. 
38. Найдите все значениях параметра а, при которых имеет единственное решение система
Решение. Так как система не меняется при замене у на х и х на у, то вместе с решением система имеет решение Тогда необходимым условием существованием единственного решения системы является выполнения условия
Если 
то первое неравенство системы (1) принимает вид
Последнее квадратное неравенство имеет единственное решение, если равен нулю дискриминант этого неравенства, то есть, если
Если 
, то система (1) может иметь единственное решение.
Если , то система (1) принимает вид
Решением следствия исходной системы является одна пара 
Поэтому система (1) имеет не более одного решения и, если эта система имеет решение, то этим решением является пара Проверкой убеждаемся, если , то решением исходной системы является пара
Ответ. .
39. Найдите все значения параметра а, при которых имеет два решение система
Решение. Если решение системы, то и 
также решение системы. Так как система не меняется при замене у на х и х на у, то вместе с каждым решением система имеет решение
Итак, если решение системы, то решениями являются 
Система (2) может иметь два решения, если совпадают какие-либо два решения.
1) Если
Тогда необходимым условием существования двух решений системы (1) является выполнения условия
Если то первое уравнение системы (1) принимает вид
Итак, если 
, то система (1) может иметь два решения.
Определим, число решений системы (1), если .
Если , то система (1) принимает вид
Последняя система имеет два решения 
Итак, удовлетворяет условию задачи.
2) Если 
Тогда необходимым условием существованием двух решений системы (1) является выполнения условия 
Если 
то система (1) принимает вид
Последняя система, а значит и система (1), не имеет решений.
3) Имеем 
Ни при каких значениях параметра а пара 
не является решением системы (1).
4) Если 
(как 1)).
5) Если 
(как 3)).
6) Если 
(как 2)).
Ответ. .
40. Найдите все значения параметра а, при которых имеет единственное решение система 
Решение. Отметим: 
1. Легко проверить, если 
решение системы, то и 
(система не меняется при замене у на х и х на у).
Система (1) может иметь единственное решение, если
Если то систем (1) принимает вид
Из второго уравнения системы (2) находим, что 
Из третьего уравнения системы (2) следует: 
Тогда
Так как 
то 
Так как 
то из первого уравнения системы (2) находим: что 
Система (2) имеет единственное решение, если имеет единственное решение уравнение 
, то есть, если 
тогда 
Итак, тройка 
является решение системы (2), если 
2. Если 
, то система (1) принимает вид
Из третьего уравнения системы (3) следует, что 
. Тогда из первого уравнения системы (3) имеем
Проверкой убеждаемся, что тройка является решением системы (3). Это решение единственное. Итак, если , то исходная система имеет единственное решение.
Ответ. .