Метод корневого годографа.

Корневой годограф – геометрическое место точек корней характеристического уравнения замкнутой системы при изменении какого-либо параметра системы (чаще всего 0 £ к £ ¥).

Пусть задана передаточная функция разомкнутой системы

(6)

где s_i - нули передаточной функции разомкнутой системы;

p_i - полюса передаточной функции разомкнутой системы;

p_k - полюса передаточной функции замкнутой системы.

Задача состоит в том, чтобы, зная расположение нулей и полюсов передаточной функции разомкнутой системы, найти корни передаточной функции замкнутой системы как функции параметра системы. Это и есть корневой годограф.

Если полюс p_k (рис. 8) является корнем характеристического уравнения (т.е. точка принадлежит корневому годографу), то он обращает его в нуль, при этом выполняется условие модуля и аргумента:

Для упрощения процедуры построения корневого годографа необходимо использовать правила, позволяющие приближенно определить расположение ветвей корневого годографа.

Рассмотрим основные свойства корневого годографа.

1. Число ветвей корневого годографа равно – n.

2. Ветви корневого годографа расположены симметрично вещественной оси и нигде не пересекаются.

3. Ветви корневого годографа начинаются в полюсах передаточной функции разомкнутой системы, заканчиваются в нулях, а т. к. n³m, то остальные n – m ветвей уходят в бесконечность.

4. Ветви корневого годографа уходят в бесконечность вдоль асимптот.

Точка пересечения асимптот определяется как центр тяжести координат нулей и полюсов

(7)

Угол наклона асимптот определяется по формуле

где к = 1,2,…,¥. (8)

Например: угол наклона асимптот при различном их количестве имеет вид (рис. 9а-г)

при n-m = 1; при n-m = 2;

при n-m = 3; при n-m = 4;

Определим расположение ветвей корневого годографа в области двух полюсов, расположенных на вещественной оси (см. рис. 10).

p²+ap+b=0, (9)

Если в- увеличивается, то значение подкоренного выражения уменьшается и корни сближаются. Если значение подкоренного выражения равно нулю, корни сольются. Если значение подкоренного выражения меньше нуля, корни станут комплексными.

Расположение ветвей корневого годографа в области двух нулей на вещественной оси приведено на рис. 12б.

Полюса движутся навстречу друг к другу, сливаются и далее расходятся к нулям.

Рис. 10

Рассмотрим примеры.

Пример 3. Построить корневой годограф системы с передаточной функцией

Решение:

1. Определяем количество полюсов, нулей и их разность:

n = 3; m = 0; n-m = 3.

2. Определяем значение полюсов и нулей:

p₁= -1; p₂= -2 p₃= -3.

3. Определяем точку пересечения асимптот

4. Определяем угол наклона асимптот

5. Строим примерный график (рис. 13а). Если задать s₀, то можно определить, при каком коэффициенте усиления система достигнет границы устойчивости и заданной степени устойчивости. При этом можно определить критический коэффициент усиления.

Пример 4. Построить корневой годограф системы, передаточная функция которой имеет вид

Решение:

1. Определяем количество полюсов, нулей и их разность:

n = 6; m = 3; n – m = 3.

2. Определяем значение полюсов и нулей:

p₁= -1; p_2,3= -2±j2; p₄= -3; p_5,6= -4±j2.

s₁= -2; s₂= -4; s₃= -5;

3. Определяем точку пересечения асимптот

4. Определяем угол наклона асимптот

Ветви корневого годографа пересекают мнимую ось при критическом коэффициенте усиления.

Список используемой литературы.

1. Автоматизированное проектирование систем автоматического управления. / Под ред. В.В. Солодовникова. – М.: Машиностроение, 1990. -332 с.

2. Вероятностные методы в вычислительной технике. Под ред. А.Н. Лебедева и Е.А. Чернявского – М.: Высш. Шк., 1986. -312 с.

3. Попов Е.П. Теория нелинейных систем. М.: Наука, 1979. – 255 с.

4. Справочник по теории автоматического управления. /Под ред. А.А. Красовского – М.: Наука, 1987. – 712 с.

5. Справочник по теории автоматического управления. /Под ред. А.А. Красовского – М.: Наука, 1987. -712 с.

6. Цыпкин Я.З. Теория линейных импульсных систем. М.: Наука, 1977. – 270 с.