Окружение tabular задает таблицу. Окружению необходимо задать обязательный аргумент – преамбулу таблицы. Преамбула, помещается в фигурных скобках после \begin{tabular} и представляет собой последовательность букв, описывающих структуру колонок таблицы. В колонках типа p мы задаем ширину каждой колонки. Между \begin{tabular} (с преамбулой) и командой \end{tabular} располагается текст таблицы. В нем команда \\ разделяет строки таблицы, а знак & разделяет колонки таблицы внутри одной строки.
Горизонтальные отрезки задаются с помощью команды \hline. Для прерывания строки в рамках одной ячейки таблицы можно использовать команду \newline.
AMS – LaTeX
Название AMS – LaTeX используется для обозначения набора связанных файлов. В основном они могут быть описаны как расширения LaTeXа для повышения качества математических документов.
Пакет в LaTeX-терминологии – это расширение, которое можно подключить командой \usepackage. Пакет amsmath – наиболее примечательный пакет, т.к. он сам подключает пакеты amstext (определяет команду \text для набора фрагмента текста внутри выключенных формул), amsbsy и amspon и обеспечивает сразу множество возможностей для набора математики.
Пакет amsmath обеспечивает множество дополнительных структур для выключенных уравнений. Окружение equation подходит для единичного уравнения с автоматически присвоенным номером. Окружение equation* – то же, что и equation, но без автоматической нумерации.
Выполнение задания
Ниже приведен листинг программы:
\documentclass{article}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{geometry} % пакет для установки полей
\geometry{top=2cm} % отступ сверху
\geometry{bottom=2cm} % отступ снизу
\geometry{left=3cm} % отступ справа
\geometry{right=1.5cm} % отступ слева
\usepackage[russian]{babel}
\begin{document}
Как доказывается в кинетической теории совершенных газов, величина $\sigma$, равная отношению
\begin{equation*}
\sigma = \frac{\mu\,c_p}{\lambda}
\quad \text{(5)}
\end{equation*}
($c_p${}\,- коэффициент теплоемкости газа при постоянном давлении){}, почти не зависит от температуры среды, а зависит лишь от физических свойств (атомности) газа. Теоретически величина $\sigma$ может быть выражена через известное отношение $k=\frac{c_p}{c_v}$ теплоемкостей при постоянном движении и постоянном объеме по формуле:
\begin{equation*}
\sigma = \frac{4k}{9k-5}
\quad \text{(6)}
\end{equation*}
В табл. 12 помещены некоторые цифры, показывающие, насколько верна формула (6){}, и дающие представление о величине $\sigma$ для различных газов.
\begin{center}
\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad Таблица 12
\end{center}
\begin{center}
\begin{tabular}{|p {4cm}|p {2cm}|p {2cm}|p {2.3cm}|}
\hline
\rule{0pt}{20pt}
\quad \quad Название газа & \quad \; $k=\frac{c_p}{c_v}$ & \quad \; $\frac{4k}{9k-5}$ & $\sigma${}(эксперимент) \newline \\
\hline
\rule{-3pt}{20pt}
Гелий\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;. &\quad\; 1,659 &\quad\; 0,668 &\quad\quad 0,691 \\
Азот\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;. &\quad\; 1,408 &\quad\; 0,734 &\quad\quad 0,739 \\
Водород\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;. &\quad\; 1,408 &\quad\; 0,734 &\quad\quad 0,717 \\
Окись углерода\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;. &\quad\; 1,403 &\quad\; 0,736 &\quad\quad 0,765 \\
Кислород\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;. &\quad\; 1,398 &\quad\; 0,737 &\quad\quad 0,731 \\
Окись азота\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;. &\quad\; 1,380 &\quad\; 0,742 &\quad\quad 0,738 \\
Хлор\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;. &\quad\; 1,340 &\quad\; 0,761 &\quad\quad 0,743 \newline \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
Для многоатомных газов при приближении $k$ к единице $\sigma${}, как это видно из формулы (6){}, также приближается к единице. Для {\it воздуха} $\sigma$ представляет слабую функцию температуры и равно $\sigma = 0,72$ при $0^{\circ}${}; при высоких температурах $\sigma$ несколько возрастает ($\sigma = 0,727$ при $1000^{\circ}$){}. У несовершенных газов $\sigma$ может сильно зависеть от температуры, так, например, у сухого насыщенного пара при $1$ {\it ата} и изменения температуры от $100$ до $300^{\circ}$ коэффициент $\sigma$ увеличивается вдвое. Перегретый пар, приближающийся по своим свойствам к идеальному газу, имеет значение $\sigma = 0,9$ (при температурах порядка $250-300^{\circ}$){}.
При приближенных расчетах удобно, как далее будет показано, принимать для газов $\sigma = 1${}, иногда $\sigma = 0,75${}.
Совершенно иначе обстоит дело с величиной $\sigma$ для {\it жидкостей}{}; в этом случае $\sigma$ имеет совсем другой порядок величин и, кроме того, сильно зависит от температуры. Так, например, для воды $\sigma$ быстро убывает от значения $13,7$ при $0^{\circ}$ до $1,75$ при $100^{\circ}${}, трансформаторное масло имеет $\sigma = 220$ при $40^{\circ}$ и $\sigma = 100$ при $80^{\circ}${}. Отсюда следует, что при изучении движения вязких жидкостей в неизотермических условиях приходится считаться с сильным влиянием температуры на величину $\sigma${}; при движении совершенных газов этим влиянием можно пренебрегать.
\\
\\
\\
\\
\\
\\
\\
\\
\\
\\
\\
\\
\begin{center}
\section*{\S\,77. Общие уравнения движения вязкой жидкости. Динамические уравнения и уравнение баланса энергии. Граничные условия движения жидкости с трением и теплопроводностью}
\end{center}
Вернемся к выведенным еще в главе II уравнениям динамики сплошной среды (29), которые именовались "уравнениями в напряжениях"{}, и заменим в них напряжения по формулам (12) настоящей главы. Тогда получим основную динамическую систему уравнений движения вязкого газа:
\begin{equation*}
\left. \begin{aligned}
\rho\frac{du}{dt} =\rho F_{x}\,-\,\frac{\partial p}{\partial x}\,+\,2\frac{\partial}{\partial x}\biggl (\mu \frac{\partial u}{\partial x}\biggr)\,+\frac{\partial}{\partial y}\biggl [\mu\biggl(\frac{\partial u}{\partial y}\,+\frac{\partial v}{\partial x}\biggr)\biggr]+\frac{\partial}{\partial z}\biggl [\mu\biggl (\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial x}\biggr) \biggr]-\frac23\,\frac{\partial}{\partial x}\biggl (\mu\, div\,V\biggr),\\
\rho\frac{dv}{dt}=\rho F_{y}\,-\,\frac{\partial p}{\partial y}\,+\frac{\partial}{\partial x}\biggl [\mu \biggl (\frac{\partial u}{\partial y}\,+\frac{\partial v}{\partial x}\biggr)\biggr]+\,2\frac{\partial}{\partial y}\biggl(\mu\frac{\partial v}{\partial y}\biggr)+\frac{\partial}{\partial z}\biggl[\mu\biggl(\frac{\partial v}{\partial z}\,+\frac{\partial w}{\partial y}\biggr)\biggr]-\frac23\,\frac{\partial}{\partial y}\biggl (\mu\, div\,V\biggr),\\
\rho\frac{dw}{dt}=\rho F_{z}\,-\frac{\partial p}{\partial z}\,+\frac{\partial}{\partial x}\biggl [\mu \biggl (\frac{\partial u}{\partial z}\,+\frac{\partial w}{\partial x}\biggr)\biggr]+\frac{\partial}{\partial y}\biggl [\mu\biggl (\frac{\partial v}{\partial z}\,+\frac{\partial w}{\partial y}\biggr)\biggr]+\,2\frac{\partial}{\partial z}\biggl(\mu\frac{\partial w}{\partial z}\biggr)-\frac23\,\frac{\partial}{\partial z}\biggl (\mu\, div\,V\biggr).
\end{aligned} \right\}
\quad \text{(14)}
\end{equation*}
Стоящие в левой части системы проекции ускорения должны быть известным уже образом разложены на локальные и конвективные части. Основная сложность системы (14){}, кроме нелинейности конвективных членов, заключается еще в том, что коэффициент вязкости $\mu$ является функцией {температуры \it Т}{}, а распределение температур, в свою очередь, как это уже известно из динамики идеального газа, зависит от поля давлений и скоростей.
Система (14) может быть записана в компактной векторной форме, если в основное уравнение динамики сплошной среды (36) гл. II подставить выражение тензора напряжений в форме (11){}. Тогда, вспоминая ({}\S\,17 гл. II{}){}, что ($\varphi$ - скалярная функция)
Div\,($\varphi$\,$\varepsilon$)=grad\,$\varphi$,
будем иметь:
\begin{equation*}
\rho\frac{dv}{dt}=\rho F\,+\,2Div\,(\mu\,\dot{S})-grad \biggl (p+\frac23\,\mu\, div\,V\biggr).
\quad \text{(15)}
\end{equation*}
Система уравнений (14) значительно упрощается в случае изотермического движения несжимаемой жидкости. Вынося в первом уравнении системы $\mu$ за знак производной, получим:
$$ \rho\frac{du}{dt}=\rho F_{x}\,-\,\frac{\partial p}{\partial x}\,+\mu \biggl (\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}\biggr) +\mu \frac{\partial}{\partial x}\biggl (\frac{\partial u}{\partial x}\,+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}\biggr), $$
или замечая, что в силу уравнения несжимаемости последняя скобка в правой части обращается в нуль:
$$ \rho\frac{du}{dt}=\rho F_{x}\,-\,\frac{\partial p}{\partial x}\,+\mu\,\nabla^{2}u. $$
Преобразовав аналогичным образом остальные два уравнения, будем иметь следующую систему уравнений изотермического движения несжимаемой жидкости:
\begin{equation*}
\left. \begin{aligned}
\rho\frac{du}{dt}=\rho F_{x}\,-\,\frac{\partial p}{\partial x}\,+\mu\,\nabla^{2}u,\\
\rho\frac{dv}{dt}=\rho F_{y}\,-\,\frac{\partial p}{\partial y}\,+\mu\,\nabla^{2}v,\\
\rho\frac{dw}{dt}=\rho F_{z}\,-\,\frac{\partial p}{\partial z}\,+\mu\,\nabla^{2}w,\\
\end{aligned} \right\}
\quad \text{($14\,^\prime$)}
\end{equation*}
или в векторном виде:
\begin{equation*}
\rho\frac{dV}{dt}=\rho F\,-\,grad p\,+\mu\,\nabla^{2}V,
\quad \text{(16)}
\end{equation*}
где под символом $\nabla^{2}V$ понимается вектор с проекциями
$$\nabla^{2}u,\,\nabla^{2}v,\,\nabla^{2}w.$$
Используя легко проверяемое непосредственным дифференцированием векторное соотношение
$$ \nabla^{2}V=grad\,div\,V-rot\,rot\,V, $$
которое в случае несжимаемой жидкости ($div\,V=0$) переписывается в виде:
$$ \nabla^{2}V=-rot\,rot\,V, $$
будем иметь так5ую векторную форму того же уравнения (16){}:
\begin{equation*}
\rho\frac{dV}{dt}=\rho F\,-\,grad\,p\,-\mu\,rot\,rot\,V.
\quad \text{($16\,^\prime$)}
\end{equation*}
К выведенным динамическим уравнениям присоединяется уравнение сохранения массы (или уравнение неразрывности) (21) гл. II
$$\frac{d\rho}{dt}\,+\rho\,div\,V=\frac{d\rho}{dt}+\,div\,(\rho \,V).$$
не зависящее, очевидно, от того, принимается ли в расчет вязкость или нет.
\end{document}
Список литературы
1. Издательская система LaTeX 2ε: учеб. пос. / Московский А.В., Московская Ю.В. – Тула: Изд-во ТулГу, 2008. – 172 с.