Двумерное уравнение Лапласа.

Применение метода Фурье для уравнения Лапласа рассмотрим на конкретных примерах.

Задача 1. Внутренняя задача Дирихле для прямоугольника:

в области найти такое решение уравнения Лапласа

которое на контуре принимает заданные значения:

Решение. Ищем решение tв виде

Здесь функция есть решение задачи (с однородностью по )

(1)

Функция – решение задачи (с однородностью по )

(2)

А) Решение задачи (1) ищем в виде

После подстановки в уравнение и разделения переменных получаем

Для функции получили знакомую задачу Штурма-Лиувилля: найти нетривиальные решения краевой задачи

и значения , при которых эти решения существуют. Для этой задачи

Функции , соответствующие собственным значениям , определяются из уравнения

Однородное краевое условие приводит к соотношению

откуда находим Тогда

Заменим и введем новую постоянную . Получим

.

Теперь можем записать функции :

.

Здесь обозначено .

Осталось составить ряд

(3)

и подобрать коэффициенты так, чтобы удовлетворялось неоднородное краевое условие . Получаем соотношение

.

Значит, – это коэффициенты разложения функции в ряд Фурье по синусам на . Вычислим

Получаем .

 

И в решении (3) остается только одно слагаемое

.

 

Б) Решение задачи (2) также ищем методом Фурье в виде

.

Но здесь задачу Штурма – Лиувилля надо получить для функции (однородность краевых условий по ). Поэтому после подстановки в уравнение, разделяя переменные, запишем

.

Решением задачи

являются собственные функции ; собственные значения суть Для определения функций получаем уравнение

Однородное условие приводит к соотношению

.

Тогда

После введения новой постоянной можем записать

.

Значит , .

Составим ряд

(4)

Определим коэффициенты из краевого условия :

то есть

Значит, .

Остается сложить найденные функции и .:

. ●

 

Задача 2. Внутренняя задача Дирихле для кругового сектора:

найти гармоническую функцию внутри сектора

,

удовлетворяющую на границе условиям

.

Решение. Перейдем к полярным координатам и запишем оператор Лапласа в новой системе координат:

.

Функция есть решение задачи

,

Нетривиальное решение уравнения Лапласа ищем в виде .

После подстановки в уравнение и разделения переменных получаем

.

Для уравнения запишем общее решение:

.

Из условий на прямолинейных границах сектора следует, что . Тогда , , –собственные значения и – собственные функции.

Заметим, что при получаем в силу условий .

 

Для функции получаем уравнение Эйлера

Разыскиваем решение этого уравнения в виде . Тогда , и в результате приходим к характеристическому уравнению

Корни этого уравнения . Значит, при линейно независимые частные решения суть и , а общее решение записывается в виде

.

В силу ограниченности решения при следует положить . Поэтому функции имеют вид

.

Здесь .

Дальше действуем по стандартной схеме. Составляем ряд

Коэффициенты подбираем так, чтобы удовлетворить условию :

.

Осталось разложить функцию в ряд Фурье по синусам на :

.

Ответ: . ●

 

Задача 3. Найти функцию, удовлетворяющую уравнению в круге при условии (внутренняя задача Дирихле).

Решение. Перейдем к полярным координатам в уравнении и краевых условиях:

.

Ищем решение в виде . После подстановки в уравнение и разделения переменных получаем для функции уравнение

.

общее решение которого

.

Заметим, что в отличие от предыдущей задачи область здесь не сектор, где угол . Поэтому роль граничных условий по аргументу играет периодичность функции . Действительно, увеличение аргумента на возвращает точку в исходное положение; значит, все функции от , которые мы рассматриваем, должны быть периодическим по с периодом . Таким образом, должно быть . Это возможно только при . Отрицательные можем не рассматривать, так как знак влияет только на знак постоянной . Итак, – собственные числа и .– собственные функции.

При получим уравнение , решением которого является линейная функция . Условие выполняется, если . Значит, собственному значению соответствует собственная функция .

Для определения функций получаем уравнение Эйлера

.

Разыскивая решение этого уравнения в виде , приходим к характеристическому уравнению , корни которого . Значит, при линейно независимые частные решения суть и . Второе из этих решений мы должны отбросить, так как при оно обращается в бесконечность в центре круга . При получаем кратные корни , соответствующие линейно независимые решения суть и . Логарифм отбрасываем из-за его неограниченности в нуле. Значит, общее решение уравнения Эйлера можно записать в виде

Замечание. Если бы требовалось решить внешнюю задачу Дирихле (найти функцию, гармоническую вне круга, по известному ее значению на границе), то требование ограниченности решения на бесконечности привело бы к отбрасыванию частных решений и .

 

Получили функцию в виде

,

Составляем ряд

. (*)

Коэффициенты определим из условия на границе круга :

Полагаем :

.

Слева – разложение функции в полный ряд Фурье на , справа – несколько слагаемых из такого ряда.

Сравниваем коэффициенты Фурье:

свободный член:

Отличны от нуля только коэффициенты .

Значит, из всего ряда (*) остаётся три слагаемых:

.

Можно вернуться к переменным :

●

 

Задача 4. Найти гармоническую в кольце функцию, удовлетворяющую на границе условиям .

Решение. Ищем решение уравнения в области в виде . Как показано в задаче 3, для функции получаем

.

Для определения функций получаем уравнение Эйлера

.

При линейно независимые частные решения суть и , а общее решение уравнения имеет вид

.

При линейно независимые решения суть и , а общее решение

.

Заметим, что все эти решения ограничены в заданной области.

Составляем ряд

. (**)

Подберем коэффициенты так, чтобы удовлетворить граничным условиям.

Полагаем :

.

Сравнивая коэффициенты, получаем соотношения:

Свободный член:

При получаем

Ряд Фурье правой части содержит единственное слагаемое Сравнивая коэффициенты, получим еще несколько соотношений:

 

Свободный член:

Для коэффициентов имеем однородную систему с отличным от нуля определителем:

Коэффициенты находим из системы:

 

 

Наконец, для получаем

Из бесконечного ряда (**) остается только слагаемое, соответствующее :

Можно преобразовать разность:

Ответ: ●

Задача 5. Найти функцию , которая удовлетворяет внутри кольца неоднородному уравнению

,

а на границе принимает значения .

Решение. Ищем решение в виде

,

где слагаемое должно удовлетворять граничным условиям. Полагаем

Коэффициенты определяем из системы

Значит, .

Функция удовлетворяет однородным граничным условиям и неоднородному уравнению , то есть

 

Представим правую часть в виде суммы

Линейность уравнения позволяет и решение искать в виде суммы

в соответствии со слагаемыми в правой части уравнения. При этом можем считать, что каждая из функций равна нулю на границе, т.е. при .

1. Для правой части ищем решение в виде .

Так как , то функция есть решение уравнения Эйлера

Общее решение однородного уравнения . Частное решение находим по виду правой части: . Тогда

.

Общее решение неоднородного уравнения:

.

Значит,

Условия приводят к системе для определения :

Получили функцию

2. Для правой части решение .

Так как , то приходим к уравнению

Общее решение однородного уравнения , частное решение . Очевидно, , тогда .

Далее

Получили функцию .

3. Для правой части ищем решение в виде .

Решая уравнение , находим частное решение , получаем , а затем и функцию

Остается сложить функции . ●