Транспортная задача.
Цель работы – приобретение навыков построения математических моделей транспортных задач ЛП и решения их в Microsoft Excel.
Основные сведения
Основные понятия
Транспортная задача (ТЗ) – это распределительная задача (РЗ), в которой работы и ресурсы измеряются в одних и тех же единицах. В таких задачах ресурсы могут быть разделены между работами, и отдельные работы могут быть выполнены с помощью различных комбинаций ресурсов. Примером типичной транспортной задачи является распределение (транспортировка) продукции, находящейся на складах, по предприятиям-потребителям.
Стандартная ТЗ определяется как задача разработки наиболее экономичного плана перевозки продукции одного вида из нескольких пунктов отправления в пункты назначения. При этом величина транспортных расходов прямо пропорциональна объему перевозимой продукции и задается с помощью тарифов на перевозку единицы продукции.
Исходные параметры модели ТЗ
a. n – количество пунктов отправления, m – количество пунктов назначения.
b. ai – запас продукции в пункте отправления Аi (i =1, n)[ед. тов.].
c. bj – спрос на продукцию в пункте назначения Bj (j =1, m) [ед.тов.].
d. cij – тариф (стоимость) перевозки единицы продукции из пункта отправления Аi в пункт назначения Bj [руб./ед.тов.].
Искомые параметры модели ТЗ
1. xij – количество продукции, перевозимой из пункта отправления Аi в пункт назначения Bj [ед. тов.].
2. L (X)– транспортные расходы на перевозку всей продукции [руб.].
Этапы построения модели
1. Определение переменных.
2. Проверка сбалансированности задачи.
3. Построение сбалансированной транспортной матрицы.
4. Задание ЦФ (целевая функция).
5. Задание ограничений.
Транспортная модель
| (1.1) |
Целевая функция представляет собой транспортные расходы на осуществление всех перевозок в целом. Первая группа ограничений указывает, что запас продукции в любом пункте отправления должен быть равен суммарному объему перевозок продукции из этого пункта. Вторая группа ограничений указывает, что суммарные перевозки продукции в некоторый пункт потребления должны полностью удовлетворить спрос на продукцию в этом пункте. Наглядной формой представления модели ТЗ является транспортная матрица (табл.1.1).
Таблица 1.1
Общий вид транспортной матрицы
| Пункты отправления, Ai | Пункты потребления, Bj | Запасы, ед. прод. | |||
| B 1 | B 2 | … | Bm | ||
| A 1 | c 11,[руб./ед. прод.] | c 12 | … | c 1 m | a 1 |
| A 2 | c 21 | c 22 | … | c 2 m | a 2 |
| … | … | … | … | … | … |
| Aj | cn 1 | cn 2 | … | cnm | an |
| Потребность ед. прод. | b 1 | b 2 | … | bm | 
|
Из модели (1.1) следует, что сумма запасов продукции во всех пунктах отправления должна равняться суммарной потребности во всех пунктах потребления, т.е.
| (1.2) |
Если (1.2) выполняется, то ТЗ называется сбалансированной (закрытой), в противном случае – несбалансированной (открытой). В случае, когда суммарные запасы превышают суммарные потребности, необходим дополнительный фиктивный (реально не существующий) пункт потребления, который будет формально потреблять существующий излишек запасов, т.е.
 |
Если суммарные потребности превышают суммарные запасы, то необходим дополнительный фиктивный пункт отправления, формально восполняющий существующий недостаток продукции в пунктах отправления:
Для фиктивных перевозок вводятся фиктивные тарифы cф, величина которых обычно приравнивается к нулю cф =0. Но в некоторых ситуациях величину фиктивного тарифа можно интерпретировать как штраф, которым облагается каждая единица недопоставленной продукции. В этом случае величина cф может быть любым положительным числом.
Введение фиктивного потребителя или отправителя повлечет необходимость формального задания фиктивных тарифов cijф (реально не существующих) для фиктивных перевозок. Поскольку нас интересует определение наиболее выгодных реальных перевозок, то необходимо предусмотреть, чтобы при решении задачи (при нахождении опорных планов) фиктивные перевозки не рассматривались до тех пор, пока не будут определены все реальные перевозки. Для этого надо фиктивные перевозки сделать невыгодными, то есть дорогими, чтобы при поиске решения задачи их рассматривали в самую последнюю очередь. Таким образом, величина фиктивных тарифов должна превышать максимальный из реальных тарифов, используемых в модели, то есть
cijф > max cij (i =1, n; j =1, m)
На практике возможны ситуации, когда в определенных направлениях перевозки продукции невозможны, например, по причине ремонта транспортных магистралей. Такие ситуации моделируются с помощью введения так называемых запрещающих тарифов cijз. Запрещающие тарифы должны сделать невозможными, то есть совершенно невыгодными, перевозки в соответствующих направлениях. Для этого величина запрещающих тарифов должна превышать максимальный из реальных тарифов, используемых в модели:
cijз > max cij (i =1, n; j =1, m)
Пример построения ТЗ
Пусть необходимо организовать оптимальные по транспортным расходам перевозки муки с двух складов в три хлебопекарни. Ежемесячные запасы муки на складах равны 79,515 и 92,925 т, а ежемесячные потребности хлебопекарен составляют 68,5, 29,5 и 117,4 т соответственно. Мука на складах хранится и транспортируется в мешках по 45 кг. Транспортные расходы (руб./т) по доставке муки представлены в табл.1.2. Между первым складом и второй хлебопекарней заключен договор о гарантированной поставке 4,5 т муки ежемесячно. В связи с ремонтными работами временно невозможна перевозка из второго склада в третью хлебопекарню.
Таблица 1.2
Транспортные расходы по доставке муки (руб./т)
| Склады | Хлебопекарни | ||
| Х 1 | Х 2 | Х 3 | |
| С 1 | |||
| С 2 |
ТЗ представляет собой задачу ЛП, которую можно решать симплекс-методом, что и происходит при решении таких задач в Excel. В то же время существует более эффективный вычислительный метод – метод потенциалов, в случае применения которого используется специфическая структура условий ТЗ (1.1) и, по существу, воспроизводятся шаги симплекс-алгоритма. Исходя из этого, в лабораторной работе необходимо построить модель задачи вида (1.1), пригодную для ее решения методом потенциалов.
Определение переменных
Обозначим через xij [меш.] количество мешков с мукой, которые будут перевезены с i -го склада в j -ю хлебопекарню.
Проверка сбалансированности задачи
Прежде чем проверять сбалансированность задачи, надо исключить объем гарантированной поставки из дальнейшего рассмотрения. Для этого вычтем 4,5 т из следующих величин:
ñ из запаса первого склада a 1=79,515-4,5=75,015 т/мес.;
ñ из потребности в муке второй хлебопекарни b 2=29,5-4,5=25,000 т/мес.
 |
Согласно условию задачи мука хранится и перевозится в мешках по 45 кг, то есть единицами измерения переменных xij являются мешки муки. Но запасы муки на складах и потребности в ней магазинов заданы в тоннах. Поэтому для проверки баланса и дальнейшего решения задачи приведем эти величины к одной единице измерения – мешкам. Например, запас муки на первом складе равен 75,015 т/мес., или,
а потребность первой хлебопекарни составляет 68 т/мес., или
 |
Округление при расчете потребностей надо проводить в большую сторону, иначе потребность в муке не будет удовлетворена полностью.