Нахождение пределов по определению





Пример 1. Доказать, что

Доказательство. Возьмем произвольное сколь угодно малое и определим номер такой, чтобы выполнялось неравенство

За возьмем целую часть . Итак, для произвольного найдется номер , что для всех будет выполняться неравенство , следовательно, число 4 является пределом последовательности.

Пример 2. Доказать, что .

Доказательство. Воспользуемся тем, что при рассмотрении предела функции в точке x=1 ее аргумент не принимает значения, равное 1. Имеем

при

Возьмем любое . Тогда:

, если и Отсюда видно, что если взять , то для всех , удовлетворяющих неравенству при , выполняется требуемое неравенство:

Это означает, что

3 Неопределенность

Неопределенности такого вида возникают при вычислении пределов типа: , если

При этом возможны частные случаи:

1) Числитель и знаменатель дроби - многочлены.

Для вычисления предела необходимо разложить числитель и знаменатель на множители и сократить дробь на множитель, порождающий нуль.

Пример 3. Найти

Решение. Разложим на множители числитель и знаменатель дроби:

2) Числитель или знаменатель дроби, или оба содержат иррациональность. Для решения примера необходимо освободиться от иррациональности, умножив числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение, сократить дробь на множитель, порождающий нуль.

Пример 4. Найти

Решение. При числитель и знаменатель стремятся к нулю. Для раскрытия неопределенности умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю по формуле разности кубов. Тогда

получим: =

3) Выражение содержит тригонометрические функции. Для решения примера необходимо путем тригонометрических и алгебраических преобразований свести его к первому замечательному пределу.

Пример 5. Найти

Решение. Подстановкой предельного значения убедимся, что имеем неопределенность . Применяем тригонометрическую формулу , преобразуем полученное выражение, сводим к первому замечательному пределу.

 

Пример 6. Найти

Решение. Сделаем замену , т.е. Ясно, что при

поэтому

4 Неопределенность вида

1) Числитель и знаменатель дроби при - полиномы.

Для раскрытия неопределенности целесообразно числитель и знаменатель разделить на степень с наивысшим показателем, а затем перейти к пределу.

 

Пример 7. Найти

Решение.

 

2) Пример 8. Найти

 

Решение. Поделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень n (выбираем из двух вариантов и ), т.е на

Тогда

 

5 Неопределенность вида

Для раскрытия этой неопределенности необходимо путем преобразования исходного выражения получить неопределенность вида или , т.е свести к предыдущим случаям 3,4

Пример 9. Найти

Решение.

 

6 Неопределенность вида

 

Этот случай нахождения предела функции можно привести к случаю или

путем преобразования функции к виду дроби.

Пример 10. Найти

 

Решение. Рассматривая данную функцию как дробную со знаменателем, равным единице, избавимся от иррациональности в числителе и затем разделим числитель и знаменатель на x:

 

7 Неопределенность вида

Неопределенности такого вида появляются при решении примеров вида:

 

, где , или , где , .

 

Преобразуя выражения, сводим их ко второму замечательному пределу.

 

Пример 11. Найти

Решение. Полагая , получим когда , и

 

,

 

, так как

Комбинированные случаи

Для этих наиболее сложных случаев раскрытия неопределенностей общих рекомендаций нет. В каждом примере свой подход к решению. При достаточно хороших навыках в решении пяти предыдущих случаях, можно воспользоваться, приведенными выше рекомендациями.

Пример 12.

Решение.

Имеем неопределенность вида . Это отчетливо видно, если с помощью свойств логарифма представить предел в виде:

 

=

 

На основании непрерывности логарифмической функции перейдем к пределу под символом логарифма, т.е





Читайте также:
Образцы сочинений-рассуждений по русскому языку: Я думаю, что счастье – это чувство и состояние полного...
Группы красителей для волос: В индустрии красоты колористами все красители для волос принято разделять на четыре группы...
Гражданская лирика А. С. Пушкина: Пушкин начал писать стихи очень рано вскоре после...

Рекомендуемые страницы:



Вам нужно быстро и легко написать вашу работу? Тогда вам сюда...

Поиск по сайту

©2015-2021 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-12-07 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту:

Мы поможем в написании ваших работ! Мы поможем в написании ваших работ! Мы поможем в написании ваших работ!
Обратная связь
0.09 с.