Вычислите диаметр земной тени на расстоянии 500 тысяч км от Земли?

Ключи.

Олимпиада по астрономии и физике космоса

(муниципальный тур)

Класс

Вычислите угловые размеры Земли и ее суточный параллакс при наблюдениях с Луны.

Угловой размер планеты – угол, под которым мы наблюдаем ее диск. Средний угловой радиус Земли ρ – tgρ=R_З/r_Л=6378/3.84•10⁵=1.66•10^-2, откуда ρ=57', а угловой диаметр Земли - 1°54' (3 балла). Если учесть эксцентриситет орбиты Луны, r_Л = 362000-405000км, а угловой диаметр будет меняться от 2°01' до 1°48' (3 балла).

Суточный параллакс, если его применить к наблюдениям на Луне – смещение видимого положения Земли при изменении положения наблюдателя на радиус Луны. Отсюда, sinp = R_Л/r_Л =1738/3.84•10⁵ =0.0045, р=15.5' (2 балла). (от 14.7' до 16.8').

На какой высоте кульминирует Солнце 22 июня на Северном полюсе?

Поскольку 22 июня ≡ день летнего солнцестояния (так во всех учебниках…) склонение Солнца равно наклонению эклиптики, т.е. δ = ε = 23º 26' (2 балла). Высота Солнца h = 90-φ+δ = 23º 26' (2 балла). В действительности, с учетом годичного движения Солнца, максимальная его высота над горизонтом наступает в момент (а не день!) летнего солнцестояния (для полюса!). Однако момент солнцестояния не обязательно наступает 22 июня (например, в 2010 году - 21 июня 11^h 27^m всемирного времени) (1 балл). С учетом рефракции ρ = 1' · tg(90-h) = 2.3', h = 23º 28' (2 балла). Следует отметить, что для полюса само понятие кульминации как пересечения светилом небесного меридиана становится некорректным (1 балл).

3. ИСЗ на низкой круговой орбите пролетает над городом с координатами 56°с.ш. и 49° в.д. Определите координаты места, над которым он будет пролетать через 1 оборот вокруг Земли?

Положение плоскости орбиты любого тела а пространстве, если на него не действуют возмущения (например, третье тело), не изменяется. Поэтому спутник через один оборот окажется над точкой с той же широтой (1 балл). Остается вычислить, на какой угол повернулась Земля за время, равное периоду обращения спутника. Низкая орбита предполагает высоту порядка 100-500 км, а первая космическая скорость – 7.9 км/c (2 балла):

T = 2π (R+h)/V ≈ 1.5 часа (1 балл)

Δλ = (360/24)1.5 ≈ 22º (2 балл)

Так как Земля вращается против часовой стрелки, если смотреть с севера, то долгота искомой точки равна 27º (1 балл).

Примечание: поскольку вращение Земли рассматривается относительно звезд, а не Солнца, правильнее определять ее угловую скорость, используя звездный период обращения. Однако в пределах точности данных в задаче (± 1º) этот факт можно не учитывать.(1балла)

На предложенном фрагменте звездной карты отметьте все знакомые вам созвездия и звезды (надписанную карту вложите в олимпиадную работу).

Каждое созвездие – 1 балл, Полярная – 1 балл, все остальные звезды – по 0.5 балла. В сумме не более 5 баллов.

Звездная карта к задаче 5

5. Выведите условие для наблюдения светила на широте φ в верхней кульминации, если она наблюдается к северу от зенита.

По определению высота светила не может быть более 90°, поэтому для случая верхней кульминации к северу от зенита она будет отсчитываться от точки севера для северного полушария. Таким образом, hв.к.=90+φ-δ (4 балла ). Эта формула применима для всех широт исключая полюса. Формально она годится и для полюсов - hв.к.=|δ|, только в этих случаях понятие кульминации теряет смысл.

Вычислите диаметр земной тени на расстоянии 500 тысяч км от Земли?

На рисунке а – большая полуось земной орбиты, L = 500 000км (правильный рисунок – 2 балла). Найдем r, затем угол О/2:

R_C/(a+r) = R_З/r, r = 1 398 000км, tg O/2 = R_З/r = 0.00456,

откуда радиус земной тени R на расстоянии L:

R = (r-L) tg O/2 = 4090 км.(3 балла)

(Угол можно найти проще: tg O/2 = (R_C - R_З)/а).

Справочные данные:

массы Солнца - 2•10³⁰ кг, Земли - 6•10²⁴ кг, Марса – 6.4•10²³кг;

радиусы Солнца – 6.96•10⁵ км, Земли – 6378 км, Марса – 3397 км;

периоды обращения Земли – 1 год, Марса – 1.88 года;

1 астр. единица (среднее расстояние от Земли до Солнца) – 149.6 млн. км;

скорость света 3•10⁸ м/с;

наклонение эклиптики к экватору - 23º26'.