Методичка
Санкт-Петербург, 2003 г.
Оглавление
Стр.
§1. Числовые ряды
1˚. Основные понятия …………………………………………………… 3
2˚. Общие свойства числовых рядов …………………………………… 4
3˚. Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами ……… 6
4˚. Признаки сходимости произвольных рядов ……………………….. 12
5˚. Абсолютно сходящиеся ряды ………………………………………. 17
6˚. Степенные ряды ……………………………………………………… 22
§2. Функциональные последовательности и ряды
1˚. Последовательности функций ……………………………………… 25
2˚. Равномерно сходящиеся последовательности функций ………….. 26
3˚. Функциональные ряды ……………………………………………… 28
4˚. Равномерно сходящиеся функциональные ряды …………………. 29
§3. Ряды Тейлора
1˚. Вещественные степенные ряды …………………………………… 32
2˚. Коэффициенты Тейлора. Ряд Тейлора. …………………………. 35
§4. Ряды Фурье
1˚. Абсолютно интегрируемые функции …………………………….. 39
В математике рядом называют бесконечную сумму, т.е. сумму, множество слагаемых которой бесконечно. Эта формулировка не является корректным определением понятия, но все же она создает достаточно верное общее представление о нем. Если каждое слагаемое такой суммы есть число, вещественное или комплексное, ее называют числовым рядом; если же слагаемые представляют собой функции, то ее называют функциональным рядом.
Числовые ряды.
1º. Основные понятия.
Пусть {z k} - некоторая последовательность чисел, вообще говоря, комплексных. Рассмотрим последовательность {S n}, где S 1 = z 1 , а при любом натуральном n > 1 S n = z 1 + z 2 + … + z n . Последовательность {S n} может оказаться либо сходящей- ся, либо расходящейся.
Пусть последовательность {S n} сходится, а число S есть ее предел: lim S n = S. Будем говорить в этом случае, что числовой ряд
z 1 + z 2 + … + z k + … (1)
сходится, а число S назовем суммой этого ряда. Члены последовательности {z k} назовем членами ряда (1); S n назовем его n – ой частичной суммой.
Замечание. Хотя число S и называют суммой, на самом деле оно не является суммой в привычном понимании этого термина, согласно которому сумма - это результат сложения некоторого конечного количества слагаемых. Суммой является. например, всякий член последовательности {S n}, начиная с S 2. Но сложить беско- нечное множество членов ряда невозможно, и число S представляет собой результат другого математического действия – предельного перехода, примененного к после- довательности сумм {S n}.
Для обозначения ряда (1) мы обычно будем пользоваться символом 
,а также упрощенным символом 
. В этих символах z k называют общим членом ряда. Если ряд сходится, а S является его суммой,т.е. если lim Sn = S, будем записывать: = S.
В случае, когда последовательность {S n} расходится, будем говорить, что ряд (1) расходится; суммы такой ряд не имеет. Однако, если S n → + ∞ или S n → - ∞, принято говорить. что сумма расходящегося ряда (1) равна + ∞ или - ∞ соответственно.
Пример 1. Пусть q – некоторое комплексное число; положим при вском натуральном k z k = q 
и рассмотрим ряд = 1 + q + q 
+…+ q 
+... (его члены обра- зуют геометрическую прогрессию). И меем: S n = 1 + q + +q + … + q 
= 
. Если |q| < 1, то 
→ 0 и, значит, S n 
; если же |q | > 1, то q 
→ ∞ и, следова- тельно, S n 
. Итак, при |q| < 1 рассматриваемый ряд сходится, его сумма равна
; при |q | > 1 ряд расходится.
Пример 2. Рассмотрим ряд 
. Здесь z k = 
, Sn = = 
= 
ln2 + (ln3 – ln2) + (ln4 – ln3) + … + (ln n – ln(n-1)) + + (ln(n+1) – ln n) = ln (n+1). Очевидно, S n→ +∞. Значит, ряд расходится, его сумма равна + ∞.
Пример 3. Пусть z k = 
, S n = 
1 – 1 + … …+ (-1) 
. При четных n эта сумма равна нулю, а при нечетных – единице; значит, последовательность {S n} частичных сумм ряда не имеет предела, ни конечного, ни бесконечного. Ряд расходится.
2˚. Общие свойства числовых рядов
1.. (Необходимое условие сходимости) Если ряд .сходится, то его общий член стремится к нулю: z k → 0.
► Пусть S n = . Обозначим сумму ряда через S: S n → S. При всяком n ≥2, очевидно, z n = S n - S n -1. Перейдем в этом равенстве к пределу; так как последовательности 
имеют один и тот же предел S, получим: z n → 0. ◄
Замечание. Обратное утверждение (если z k → 0, то сходится) неверно. Действительно, для гармонического ряда имеем z k → 0, однако ряд расходится. Можно указать еще и на ряд , рассмотренный выше (см. пример 2): его общий член,очевидно, стремится к нулю, но ряд расходится.
2. (Достаточное условие расходимости) Если общий член ряда не стремится к нулю, то ряд расходится.
► Действительно, если общий член ряда не стремится к нулю, ряд не может оказаться сходящимся, так как общий член сходящегося ряда обязательно стремится к нулю. ◄
Пример 4. Выше (см. пример 1) мы показали, что ряд 
сходится, если |q| < 1 и расходится, если |q| > 1. Рассмотрим случай |q| = 1. Имеем: 
при всяком натуральном k, поэтому последовательность 
заведомо не стремится к нулю; значит. при любом комплексном q, |q| = 1, рассматриваемый ряд расходится.
3. (Умножение числа на ряд) Пусть заданы ряд и некоторое отличное от нуля число λ, вообще говоря, комплексное. Произведением числа λ на ряд называют ряд 
, где wk = λzk. Справаедливы утверждения: 1) ряды и 
либо оба сходятся, либо оба расходятся; 2) если = S, то = λ S.
► Пусть n - некоторое натуральное число. Обозначим: 
. Очевидно, 
.Отсюда и из теоремы об арифметических действиях со сходящимися последовательностями ([3], п. 3.5) вытекает: 1) последовательности частичных сумм 
либо обе сходятся, либо обе расходятся; 2) если 
◄
4. (Сложение рядав) Ряд 
называют суммой рядов 
и 
. Справедливы утверждения: 1) пусть ряды 
сходятся, причем 
; тогда сходится и , причем = 
; 2) если один из рядов 
сходится, а другой расходится, то ряд расходится.
► Обозначим: 
Очевидно, 
. Из теоремы об арифметических действиях со сходящимися последовательностями следует: 1) если последовательности частичных сумм 
сходятся, 
то сходится и их сумма - последовательность 
, причем Sn → →S’+S”; 2) если одна из последовательностей сходится, а другая расходится, то не может быть сходящейся последовательностью, значит, ряд расходится. ◄
Замечание. Если оба ряда расходятся, то их сумма, т.е. ряд может оказаться как сходящимся, так и расходящимся рядом. Например, положим 
Тогда ряды расходятся (см. пример 4), а ряд сходится, так как каждый его член равен нулю.
5. Пусть задан ряд , а m - некоторое натуральное число. Ряд 
, где wl = = zm+l , т.е. ряд zm+1+zm+2+ …+ zm+l + … = 
, называют остатком ряда . Справедливо утверждение: ряд и его остаток либо оба сходятся, либо оба расходятся.
► Для всякого натурального n введем обозначения: 
.Очевид- но, при любом натуральном p 
т.е. 
где А = = 
. Ввиду такой связи между последовательностями частичных сумм 
очевидно, что если сходится одна из них, то сходится и другая; если одна из них расходится, то другая не может быть сходящейся. ◄
6. Пусть 
и 
- последовательности вещественных чисел. Обозначим: zk = xk + i yk, Sn= 
. Если ряды , 
сходятся, то их суммы обозначаем через S, 
и 
соответственно. Справедливы
утверждения: 1 ) ряд сходится тогда и только тогда, когда сходятся оба ряда ; 2 ) если сходится, то S = + i .
► Заметим: Sn = S 
+ i S 
. Утверждения 1 ) и 2 ) вытекают непосредственно из свойств последовательностей комплексных чисел. ◄
3º. Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами.
Ряды находят разнообразные применения в прикладной математике. Имея дело с числовым рядом,прежде всего следует выяснить, сходится ли этот ряд. Выяснить это часто удается с помощью свойств, описанных в предыдущем пункте (например, если общий член не стремится к нулю, то ряд расходится). Если указанных средств оказалось недостаточно, обращаются к признакам сходимости и расходимости рядов, наиболее употребительные из которых составляют содержание этого и следующего пунктов.
В этом пункте мы рассматриваем числовые ряды 
члены которых неотрица- тельны: a k ≥ 0. Обозначим через Sn частичную сумму такого ряда.: S n = 
.Так как a k ≥ 0, то S n ≤ S n +1, т.е. {S n } - монотонная неубывающая последовательность. Если эта последовательность ограничена сверху, она сходится, в противном случае она стремится к + ∞ ([3], п.3.6). Таким образом, справедлива следующая теорема.
Теорема 1. (Критерий сходимости ряда с неотрицательными членами) Для того, чтобы ряд a k ≥ 0, сходился, необходимо и достаточно, чтобы последо- вательность его частичных сумм {S n } была ограничена сверху.
Пусть f - некоторая функция, определенная на промежутке [ 1, +∞). Обозначим: a k= f (k), где k 
, и рассмотрим числовой ряд 
. Будем говорить, что f явля- ется производящей функцией для числового ряда . Например, f (x) = 
явля- ется производящей функцией для гармонического ряда 
, так как при всех натуральных k f (k) = 
. Если производящая функция неотрицательна на [1, +∞), то - ряд с неотрицатеьными членами.
Теорема 2. (Интегральный признак Коши) Пусть производящая функция f чис- лового ряда непрерывна и неотрицательна на промежутке [1;+∞) и, кроме то- го, является на этом промежутке монотонной невозрастающей функцией. Для того, чтобы ряд 
был сходящимся, необходимо и достаточно, чтобы сходился несоб- ственный интеграл 
.
► Напомним: по определению = 
, где F (x) = 
; интеграл сходится, если предел конечен, и расходится в противном случае, т.е. если этот предел равен ∞ или не существует ([4], п. 2.1). По условию теоремы f (x) неотрицательна на [1, +∞), поэтому F (x) есть монотонная неубывающая на [ 1,∞) функция; следовательно, конечен тогда и только тогда, когда F (x) ограничена на [ 1, +∞) сверху. Отметим еще, что если сходится, то F (x) ≤ при всех х 
1.
Пусть k – натуральное число. Так как f (x) - невозрастающая функция, то 
т.е. 
при 
Проинтегрировав последние неравенства, получим: 
, т.е. 
. Отсюда: 
, т.е.
N Sn – an ≥ 
≥ Sn – a1 (1)
Необходимость. Пусть сходится, а S – его сумма: lim Sn = S, где 
. Так как 
, то {Sn} – неубывающая последовательность, и при всяком на- туральном n Sn ≤ Sn+1 ≤ S. Из (1) имеем: N ≤ Sn – an, и так как Sn ≤ S, то при всех натуральных n справедливо F(n) ≤ S. Отсюда вытекает: функция F огра- ничена на [1;+∞) cверху числом S; следовательно (см. выше), интеграл схо- дится.
Достаточность. Пусть интеграл сходится. Так как F (x) ≤ , то из (1) имеем: при всех натуральных n: ≥ F(n) = ≥ Sn – a1 . Отсюда: N Sn ≤ + а1, т.е. последовательность {S n } ограничена сверху; значит (см. теорему 1), ряд сходится. ◄
Пример 6. Пусть λ – некоторое вещественное число.Рассмотрим ряд 
. Этот ряд называют обобщенным гармоническим рядом (в частном случае λ =1 получим гармонический ряд, см. пример 4). Если λ ≤ 0, то 
не стремится к нулю; значит (см. достаточное условие расходимости, 2˚), при λ ≤ 0 обобщенный гармонический ряд расходится. Пусть λ > 0. Функция f (x) = 
, очевидно, является производящей функцией для ряда .Очевидно также, что она положительна и убывает на [1;+∞). Таким образом, выполнены все требования интегрального признака Коши.
При 0 < λ < 1 имеем: 
. Интеграл от производящей функции расходится, значит, расходится и ряд при 0 < λ < 1. При λ = 1 имеем: 
; следовательно, ряд 
расходится (этот результат был полу- чен в примере 4, 2˚, другим способом). При λ > 1 имеем: 
. Ин- теграл от производящей функции сходится, значит, сходится и ряд при λ > 1.
Резюмируем результаты проведенного выше исследования обобщенного гармони- ческого ряда: ряд расходится при λ ≤ 1 и сходится при λ > 1.
Следующие теоремы дают достаточные условия сходимости или расходимости ряда с неотрицательными членами.
Теорема 3. (Первый признак сравнения) Пусть { ak } и{ bk } - две последователь- ности неотрицательных чисел, причем 
. Тогда:
1) если 
сходится, то сходится и ряд 
;
2) если ряд расходится, то расходится и ряд .
► Обозначим: 
1) Очевидно, 
Пусть сходится, а 
- его сумма: 
. Так как последовательность частичных сумм неубывающая, то 
≤ . Значит, при всех натуральных n 
≤ , т.е. последовательность { 
} ограничена сверху числом , и поэтому она сходится.
3) Пусть расходится; тогда 
Так как 
, то и 
→ +∞, т.е. ряд расходится. ◄
Пример 7. Рассмотрим ряд 
. При всяком натуральном k k! ≥ 
Следо- вательно, при всех натуральных k 
Ряд 
сходится (пример 1, q = = ½), значит,сходится и рассматриваемый ряд.
Теорема 3. (Второй признак сравнения) Пусть { ak } – последовательность не- отрицательных чисел, а { bk } – последовательность положительных чисел. Пусть, да- лее, 
где q - либо неотрицательное число, либо символ +∞. Тогда:
1) если 0 < q < + ∞, то ряды и ведут себя одинаково – либо оба схо- дятся, либо оба расходятся;
2) если q = 0, а ряд сходится, то сходится и ряд ;
2) если q = + ∞, а ряд расходится, то расходится и ряд .
► 1) Достаточно показать, что из сходимости вытекает сходимость , а из расходимости следует расходимость .
Зададим ε, удовлетворяющее неравенствам 0 < ε < q. Найдется натуральное kε, такое, что при всех k > kε справедливо неравенство 
, т.е.
(2)
Пусть сходится. Тогда сходится и его остаток 
. Из неравенств
(см.(2)) и первого признака сравнения вытекает сходимость ряда 
(заметим, что q – ε > 0). Этот ряд представляет собой остаток ряда 
, который, следовательно, является сходящимся. Значит (см. свойство 4, п. 2º), сходится.
Пусть расходится. Чтобы вывести отсюда расходимость ряда , следует
воспользоваться неравенствами 
, справедливыми при k > kε (см. (2)). Рассуждения аналогичны изложенным выше.
2) Пусть сходится. Зададим некоторое ε > 0. Так как 
найдется натуральное kε, такое, что при всех k > kε справедливо неравенство 
, т.е. 
Так как сходится, то сходится и его остаток 
. По свойству 4, п. 2º, сходится ряд 
. Отсюда и из первого признака сравнения вытекает сходимость ряда 
, который представляет собой остаток ряда . Значит, сходится.
3) Пусть расходится. Так как 
найдется натуральное k1 такое, что
при всех k > k1 справедливо 
Остаток 
расходящегося ря- да расходится. По первому признаку сравнения из 
вытекает расходи- мость ряда 
, который представляет собой остаток ряда . Значит, расходится. ◄
Замечание. Доказанная теорема производит сравнение двух рядов по “скорости” убывания их общих членов. Если общие члены рядов и являются беско- нечно малыми одинакового порядка (
, q ≠ 0, +∞), то ряды ведут себя одинаково; в частности, ряды ведут себя одинаково, когда их общие члены эквива- лентны (случай q = 1). Если общий член ряда является бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с общим членом сходящегося ряда (ak = =o (bk)), то также сходится; если общий член ak убывает “медленнее“ общего члена расходящегося ряда , то ряд также расходится.
Чтобы эффективно применять признаки сравнения, нужно располагать набором рядов, относительно которых уже известно, сходятся они или расходятся, и чем больше различных рядов в этом наборе, тем больше шансов найти среди них такой, сравнение с которым позволит выяснить, сходится ли интересующий нас ряд. Мы уже можем включить в этот набор различные ряды вида 
, где a и q положи- тельные числа – такой ряд сходится, если 0 < q < 1, и расходится, если q ≥ 1 (cм.при- меры 1 и 5). В этот набор можем включить также обобщенный гармонический ряд при всевозможных вещественных λ (пример 6). Вообще, каждый ряд, сходи- мость которого исследована, пополняет указанный набор рядов.
На второй признак сравнения опирается метод выделения главной части в иследо- вании рядов на сходимость. Пусть f (x) есть производящая функция ряда : ak = = f (k). Пусть, далее, С 
, где С > 0 и λ > 0, - главная часть f (x) при х → +∞, т.е. f (x) ~ С , х → +∞. Из второго признака сравнения следует, что ряд ведет себя так же, как ряд : он расходится, если λ ≤ 1, и сходится, если λ > 1.
Пример 8. Исследуем на сходимость ряд 
. Запишем его произ- водящую функцию: 
. Выделим ее главную часть при х→ +∞:
~ 
= 
~ , х→ +∞.
Итак, С = 1, λ = 1, поэтому рассматриваемый ряд ведет себя так же, как гармониче- ский ряд 
, т.е. расходится.
Теорема 4. (Признак Даламбера) Пусть { a k} – последовательность положитель- ных чисел, и пусть 
, где q – либо неотрицательное число, либо + ∞. Тогда: 1) если 0≤ q < 1, то ряд сходится;
2) если q > 1 или q =+ ∞, то ряд расходится.
► 1) Пусть р – некоторое число, удовлетворяющее неравенствам q < p < 1. По теореме о стабилизации знака неравенства ([3], п. 3.3) найдется натуральное kр такое, что при всех k > kр справедливо 
, т.е. а k+1 < p a k. Отсюда при k = kp+1 получим 
при k = kp+2 получим 
, при k= kp+3 будет 
и т.д. Вообще, при всяком натуральном m справедливо неравен- ство 
. Рассмотрим два ряда: 
и 
. Для их общих членов справедливо неравенство , причем ряд с бóльшим общим членом сходит- ся, ибо его члены образуют геометрическую прогрессию, знаменатель р которой меньше единицы. По первому признаку сравнения сходится ряд 
, который представляет собой остаток ряда ; значит, этот последний ряд сходится.
2) И в случае q > 1, и в случае q = + ∞ найдется натуральное k0 такое, что при всех k > k0 справедливо 
, т.е. начиная с номера k0 члены последовательности { ak } возрастают, поэтому эта последовотельность не стремится к нулю. В силу достаточного условия расходимости ряд расходится. ◄
Замечание. В случае q = 1 признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости ряда: если 
, ряд может оказаться сходящимся, но может окзаться и расходящимся.
Пример 9. Применим признак Даламбера к ряду 
: a k = 
,
.
Значит, ряд сходится.
Теорема 5. (Радикальный признак Коши) Пусть { a k} – последовательность неот- рицательных чисел, и пусть 
, где q – либо неотрицательное число, либо +∞. Тогда: 1) если 0 ≤ q < 1, то ряд сходится, 2) если q > 1 или q = + ∞, то ряд расходится.
► 1) Пусть р – некоторое число, удовлетворяющее неравенствам q < р < 1. Най- дется натуральное kр такое, что при всех k > kр справедливо 
, т.е. a k< 
. По первому признаку сравнения отсюда следует, что ряд 
(остаток ряда ) схо- дится, так как его члены меньше соответствующих членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Поскольку сходится остаток, то сходится и сам ряд.
2) И в случае q > 1, и в случае q =+ ∞ найдется натуральное k0 такое, что при всех k > k0 справедливо 
; значит, при указанных k 
Значит, последо- вательность { ak } не может стремиться к нулю; поэтому ряд расходится. ◄
Замечание. При q = 1 радикальный признак Коши не не дает ответа на вопрос о сходимости ряда: в этом случае ряд может оказаться сходящимся, но может и расходиться.
Пример 10. Применим радикальный признак Коши к ряду 
: 
= 
Следовательно, ряд расходится.
4°. Признаки сходимости произвольных рядов
Здесь мы рассматриваем ряды, члены которых могут быть любыми вещественны- ми или мнимыми числами
Теорема 6. (Критерий сходимости Коши) Для того, чтобы числовой ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы для всякого положительного ε можно было указать натуральное n ε такое,что при всех натуральных n > n ε и любых натуральных р справедливо неравенство 
.
► Сходимость числового ряда означает сходимость последовательности {S n} его частичных сумм. Напомним формулировку критерия Коши сходимости последовательности: для того, чтобы последовательность {S n} сходилась, необходимо и достаточно, чтобы
.
Не ограничивая общности можно считать, что m > n, т.е. что m = n + p, где р - некоторое натуральное число. Если n > n ε, то подавно n + p > n ε , поэтому напи- санную выше строчку можно заменить следующей, ей равносильной:
.
Заметим: 
; Таким образом, из критерия Коши для последовательности {S n} вытекает: ряд сходится тогда и только тогда, когда
,
что и требовалось доказать. ◄
Приведем пример применения критерия Коши.
Пример 11.Ряд 
называют гармоническим рядом. Покажем, что это расходящийся ряд. Пусть n - некоторое натуральное число; а p = n +2. Рассмотрим 
В этой сумме n +2 слагаемых, причем 
- наименьшее из них; поэтому 
Здесь n - любое натуральное число. Зададим ε, удовлетворяющее неравенствам 0 < ε < ½. Тогда при всяком натуральном n и p = n +2 будет выполнено 
, а это означает, что для такого ε нельзя указать n ε, которое удовлетвори- ло бы требованию критерия сходимости Коши. Значит, ряд расходится. ◄.
Критерий Коши редко удаётся применить для исследования конкретного числового ряда, так как трудно проверить выполнение его условия. Чаще обращаются к достаточным признакам сходимости и расходимости ряда. Например: если общий член ряда не стремится к нулю, ряд расходится. Ниже приведены теоремы, пред- ставляющие собой достаточные признаки сходимости.
Начнем с частного, но весьма важного для приложений случая – с рядов, которые принято называть знакочередующимися.
Пусть { a k} – последовательность положительных чисел. Положим zk = (-1) 
, и рассмотрим ряд , т.е. ряд 
. Ряды такой структуры и называют зна- кочередующимися.
Теорема 7. (Признак Лейбница) Пусть последовательность { a k} строго убывает и стремится к нулю. Тогда ряд сходится; а его сумма S удовлетворяет неравенствам 0 < S ≤ a 1.
► Пусть n – некоторое четное число: n = 2l, l 
N. В сумме S2l сгруппируем слагаемые: S2l =