Задание 2 для ВСК1 (макс. балл 35) - сдача на 13 неделе.)

Лабораторная работа 1. Расчет параметров парной линейной регрессии

Задание №1 для ВСК 1 (макс. балл 35) - сдача на 5 неделе.

Выполнить соответствующий вариант согласно расчетам, приведенным в типовой задаче. (номер варианта и исходные данные в файле "Инд. задания для лаб.1-2" Все расчеты выполняются в EXCEL)

Пример 1. Ферма занимается выращиванием пушного зверька. На основе содержательного анализа установили, что на ферме все технологические нормативы по содержанию и кормлению соблюдаются. Тогда масса зверька в основном зависит от его возраста.

Определим количественную зависимость массы пушного зверька У (кг) от его возраста Х (в месяцах) (таблица 3).

Таблица 3 - Исходные данные

Хi-возраст, месяц
Yi-масса, кг	1.3	2.5	3.9	5.2	6.3	7.5		10.8	12,8

 

Задание:

1 Установить тесноту связи

2 Построить уравнение парной регрессии у от х.

3 Определите параметрыуравнения регрессии.

4 Проверить адекватность уравнения регрессии

5 Оценить статистическую значимость параметров регрессии

6 Определить доверительный интервал параметров регрессии

7 Выполнить прогноз у при прогнозном значении х.

8 Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал.

Решение. Для удобства решения задачи все расчеты выполним в табличном процессоре EXCEL и представим в следующей форме.

9 Для установления тесноты связи находим значение коэффициента корреляции r, для этого используем итоговые значении граф 8, 9 и 10.

Тогда

 

 

связь очень тесная, положительная. Коэффициент корреляции близок к 1. Определим коэффициент детерминации (r) ²= (0.99) ²=0,98. Вариация результата у на 98% объясняется вариацией фактора х, а 2% приходятся на неучтенные факторы. Если между выбранными факторами имеется тесная связь, то можно построить уравнение регрессии.

парная линейная регрессия интервал

 

Таблица 4 - Расчеты парной регрессии

№	Хi	Yi	Xi-Xcp	Yi-Ycp	(Xi-Xcp) (Yi-Ycp)	(Xi-Xcp) 2	(Yi-Ycp) 2	Xi2	Xi*Yi	Y*	Ai	(Y-Y*) 2
		1,3	-4	-5,289	21,15555556		27,97235			1,0289	0, 2085	0,0735
		2,5	-3	-4,089	12,26666667		16,71901		2,5	2,4189	0,0324	0,0066
		3,9	-2	-2,689	5,377777778		7,230123		7,8	3,8089	0,0234	0,0083
		5,2	-1	-1,389	1,388888889		1,929012		15,6	5, 1989	0,0002	1E-06
		6,3		-0,289			0,083457		25,2	6,5889	0,0459	0,0835
		7,5		0,9111	0,911111111		0,830123		37,5	7,9789	0,0639	0,2293
				2,4111	4,822222222		5,813457			9,3689	0,041	0,1361
		10,8		4,2111	12,63333333		17,73346		75,6	10,759	0,0038	0,0017
		12,8		6,2111	24,84444444		38,5779		102,4	12,149	0,0509	0,4239
∑		59,3			83,4		116,8889		320,6	59,3	0,4699	0,9629
cредн		6,5889
Параметр		а=	1,0289	в=	1,39	Аср=	5,2215	R=	0.9959	R2=	0.9818

 

R2=

0,9917624

F=

842,7577

tr=29,03029

 

 

10 Для определение вида функции построим график зависимости у от х (рис. 3). Из рисунка видно, что точки располагаются вдоль прямой линии. Значит, выбираем линейную функцию, уравнение регрессии имеет вид у=а+в*х.

Рисунок 3 - График парной регрессии

 

2 Для определения параметров а и в используем формулу (6).

 

(6)

 

Используя итоговые расчеты 2-5 граф таблицы, получим систему уравнений

 

а+36в=59,3

а+204в=320,6

 

отсюда а=1,028, в=1,39, тогда уравнение регрессии у=1,028+1,39х. С увеличением возраста зверка на 1 кг, масса увеличивается в среднем на 1,39 кг.

Лабораторная работа 2. Продолжение лабораторной работы №1, т. е исходные данные из примера 1

 

Задание 2 для ВСК1 (макс. балл 35) - сдача на 13 неделе.)

Выполнить соответствующий вариант согласно расчетам, приведенным в типовой задаче. (номер варианта и исходные данные в файле "Инд. задания для лаб1-2" Все расчеты выполняются в EXCEL)

. Адекватность уравнения регрессии проверяется через вычисления значений А_ср, t_r и F. Найдем величину средней аппроксимации, для этого используем графу 13

 

А_ср = (åА_i) / n = 46,99/9 =5,22

 

Полученное значение А_ср остается на допустимом уровне, так как не превышает 8-10%. Оценку статистической значимости модели регрессии проведем с помощью критерия Фишера F_фак и t - статистик Стьюдента.

 

= 0.98/ (1-0.98) *7 = 0.98/0.02 *7=

= 842,7577 F_табл=5,12<F_факт=343,

 

гипотеза о случайности факторов отклоняется. Критерий t-Стьюдента вычисляем по формуле =29,03, значит t_табл= 2,26 < t_факт=18,5. Фактическое значение t_r-критерия Стьюдента коэффициента корреляции определяется как = , здесь

 

= =0,053

 

Соотношение t_табл=2,26<t_факт=18,67 означает, что тесная связь между у и х неслучайная. Масса зверка неслучайна зависит от возраста, если все другие факторы остается постоянным, то есть также будет соблюдаться все технологические нормативы.

Отсюда уравнение регрессии является адекватным, т. е полученное уравнение достоверно описывает количественную зависимость факторов у и х.

5. Оценку статистической значимости параметров регрессии проведем по формулам:

 

t_b=b/m_b. t_а=a/m_a.

 

Случайные ошибки параметров линейной регрессии определяются по формулам:

 

, t_a = /m_a,

, t_b = /m_b.

 

Для вычисления m²_a используем 4, 9 и 14 графы таблицы 3

m²_a= (0,96*204) / (9*7*60) =195,84/3780= 0.052, отсюда m_a= 0,227

 m²_b= 0,96/ (7* 60) = 0,96/420=0,0023, отсюда m_b =0.04788 

Теперь находим t_a= 1,028/0.227=4,53, t_b=1.39/0.048= 29,03, Полученные статистические оценки параметров уравнения регрессии позволяют утверждать что, они статистически значимы и отражают устойчивую зависимость массы зверка от его возраста.

6. Доверительный интервал параметров регрессии вычисляется по формулам

 

а ±t_кр*m_а и b ±t_кр*m_b

 

Для этого определяем предельную ошибку D для каждого параметра

 

D_а =t_табл m_a= 2.26*0.227=0.513, D_b =t_табл m_b=2.26*0.048=0.108.

 

Формулы для расчета доверительных интервалов имеют следующий вид:

 

g_а = а± D_а =1,028± 0,513, g_аmin = a - D_а =1,028 - 0.513=0.515 

g_аmax =a+ D_а =1,028+0.513=1.541,

 

Тогда параметр а будет в интервале 0.515<a<1.541.

Параметр в вычисляем также

g_в = в± D_в =1,39 ±,18,g_вmin = в - 

D_в =1,39-0,108=1,282, g_вmax =в+ D_в =1,39+0,108=1,498.

 

Тогда параметр в будет в интервале 1,282<в<1.498.

Если в границы доверительного интервала попадает ноль, т.е. нижняя граница отрицательна, а верхняя положительна, то оцениваемый параметр принимается нулевым, так как он не может одновременно принимать и положительное, и отрицательное значения.

. Выполнить прогноз У при прогнозном значении Х

После этого полученное уравнение регрессии можно использовать для прогноза. Прогнозное значение У_прог определяется путем подстановки в уравнение регрессии У=1,028+1,39*х соответствующего (прогнозное) значения Х_прог.

Сбор данных осуществлен по периодам времени, то прогнозное значение х будет следующий период. Например, Х_прог=10, то У_прог=1,028+1,39*10= 14,93, это означает, что через месяц масса зверка будет в среднем 14,93 кг. Через два месяца в среднем будет У_прог=1,028+1,39*11= 16,32 кг.

8. Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал.

Средняя стандартная ошибка прогноза за 10 период вычисляется по формулам:

 

m² (Y_прог) = {å (у-у*) ²/ (n-m-1) } {1+ 1/n + (x_прог-х_ср) ²/ å ( x-x_ср) ²}=

= (0,96/7) * (1+1/9+36/60) = 0,137*1,711=0,234, отсюда m (y_прог) = 0,484

 

и строим доверительный интервал прогноза

g_у =у_пр± D_пр= у_пр± t_табл m_y,

g_уmin= у_пр t_табл m_y =14.93-2.26*0.484=13.84

g_уmax= у_пр t_табл m_y=14.93+2.26*0.484=16.02.

 

Таким образом У_прогн будет в интервале [13,84; 16,02].

Регрессионный анализ на компьютере с помощью ППП Excel выполняется очень легко и быстро. Рассмотрим работу пакета для проведения регрессионного анализа. Для этого выполним следующие шаги:

1 Формируем таблицу исходных данных в среде Excel;

2 В главном меню выберите последовательно пункты

Сервис/Анализ данных/Корреляция/ОК;

3 Заполните диалоговое окно ввода данных и параметров вывода.

Входной интервал; выделите все столбцы, содержащие значения Х и У; В1; С10;

Выходной интервал; выделите область пустой ячейки для вывода результатов, например Д2; ОК.

Еxcel представит таблицу коэффициентов парной корреляции между У и Х.

 

Таблица 5 - Результаты решения задачи с помощью инструмента Корреляция

№	х	y
		1,30			х	y
		2,50		х
		3,90		y	0,9959
		5, 20
		6,30
		7,50
		9,00
		10,80
		12,80

 

Таблица 5. показывает коэффициент корреляции между у и х r_yx=0,9959.

4 Для вычисления параметров уравнения регрессии используем инструмент анализа данных Регрессия.

Алгоритм действий следующий: Сервис/Анализ данных/Регрессия/ОК;

Входной интервал У; выделите столбец содержащие значения У (столбец С1: С10;

Входной интервал Х; выделите столбец содержащие значения Х (столбец В1: В10;

Выходной интервал: выделите область пустых ячеек для вывода результатов, например В12;

Остатки; установите флажок;

Excel представит решение в виде таблиц 5-7.

Таблица 6 называется регрессионной статистики. В таблице представлено:

Коэффициент корреляции R=0.9959;

Квадрат коэффициента корреляции R²=0.9918;

Стандартная ошибка - S= 0.3709;

 

Таблица 7-Регрессионная статистика

SUMMARY OUTPUT
Regression Statistics
Multiple R	0,9959
R Square	0,9918
Adjusted R Square	0,9906
Standard Error	0,3709
Observations

Таблица 7 - Дисперсионный анализ представляет:

df =1 - число степени свободы;

SS - сумма квадратов разностей:

Сумма квадратов регрессии с числом степеней свободы 1 SS₁=115,926.

Сумма квадратов остатков с числом степей свободы п-2 - SS₂ =0,963.

Cумма квадратов общая с числом степеней свободы п-1 - SS=116,889

MS - оценка дисперсий:

дисперсия регрессии - d²_факт=SS ₁/1=115,926;

дисперсия остаточная d²_ост = SS ₂/ (n-2) =0.138;

 

F - критерий Фишера: F= 842,758.

Таблица 7-Дисперсионный анализ

ANOVA
	df	SS	MS	F	Significance F
Regression		115,926	115,926	842,758	0,000
Residual		0,963	0,138
Total		116,889

 

Таблица 8 - Параметры уравнения регрессии

В ней представлено:

Графа 2 показывает значения коэффициентов а и в:

а=1,028, в=1,39.

Графа 3 - Стандартная ошибка; m_a = 0,228 и m_b=0,0479;

Графа 4 - t - статистика; t_a =4,5135, t_b=29,0303.

Графа 5-6-Доверительные интервалы. Интервальные оценки g_аmin=0,4899, g_аmax= 1.5679. g_вmin= 1.2768, g_вmax= 1.5032для параметров регрессии с доверительной вероятностью р=0,95.

 

Таблица 8

	Coefficients	Standard Error	t Stat	P-value	Lower 95%	Upper 95%
Intercept	1,0289	0,2280	4,5135	0,0028	0,4899	1,5679
х	1,3900	0,0479	29,0303	0,0000	1,2768	1,5032

По результатам запишем уравнение регрессии.

 

У=1,0289+1,39*х,

 

Доверительные интервалы параметров регрессии

 

<a<1.5679, 1,2768<b<1.5032.

 

При расчетах двумя способами имеются погрешности, они связаны с округлением десятичных знаков до двух. Использование специального пакета ЕХСЕL обеспечивает точность вычисление.