Решение (в условии под числом подразумевается натуральное число)




Выборнов А.Н.

ОБРАЗЕЦ ЗАЧЕТНОГО ТЕСТА

спец. главы математики 3 семестр

с методическими указаниями

 

Вопрос №1:

В урне 9 шаров, из которых 5 белых и 4 черных. Из урны вынимают 4 шара. Найти вероятность того, что среди них будет 2 белых и 2 черных.

 

Решение

Используем общую формулу для задачи:

 

В урне шаров, из которых и белых. Из урны вынимают шаров. Тогда вероятность того, что среди них будет белых и черных, определяется формулой:

 

В рассматриваемом вопросе , , , . Поэтому

 

 

Вопрос №2:

Плотность распределения случайной величины X задана формулой

Вычислить математическое ожидание этой случайной величины.

 

Решение

Сначала необходимо найти константу из условия .

Итак:

Интеграл вычислялся в пределах от (-2) до 0, так как только на этом промежутке функция отлична от нуля.

Теперь мы имеем полное выражение для плотности вероятности случай ной величины Х:

 

Математическое ожидание непрерывной случайной величины определяется формулой: . Вычисляем:

 

 

Вопрос №3:

Плотность распределения случайной величины X задана формулой

Вычислить вероятность попадания случайной величины Xв интервал (-1; 9).

 

Решение

Как и в предыдущей задаче, сначала необходимо найти константу из условия . Так как плотность вероятности постоянна на отрезке , рассматриваемая случайная величина распределена по равномерному закону на отрезке , и константа будет равна .

На рисунке изображен жирными линиями график плотности вероятности величины Х. Вероятность попадания этой величины на интервал (-1; 9) равна площади, заключенной между графиком и осью абсцисс на этом интервале. На картинке – это площадь заштрихованного прямоугольника. Ширина этого прямоугольника равна 2-(-1)=3, а высота, как мы установили вначале, равна . Поэтому его площадь равна

 

 

Вопрос №4:

Случайная величина Х задана дифференциальной функцией распределения

. Найти вероятность того, что случайная величина, распределенная таким образом, окажется в интервале (-¥;4).

 

Решение

Рассматриваемая величина распределена по нормальному закону, для которого плотность вероятности (дифференциальная функция распределения) имеет вид: . Сравнив это выражение с выражением из условия задачи, определяем, что , .

Вероятность попадания нормально распределенной величины на интервал определяется формулой:

В нашем случае:

Мы использовали, что - нечетная функция, и то, что мы полагаем (приближенно) при . Значение найдено нами из таблицы.

Без таблицы вы не сможете правильно выполнить это зачетное задание!

 

 

Вопрос №5:

В квадрат с вершинами (0,0), (0,1), (1,1), (1,0) наудачу брошена точка (x,y). Найдите вероятность того, что координаты этой точки удовлетворяют неравенству y >1- 2 x.

 

Решение

Нарисуем картинку:

На рисунке заштриховано множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству y >1- 2 x.

Искомая вероятность равна отношению площади заштрихованной области к площади всего квадрата. Площадь квадрата очевидно равна 1, а площадь заштрихованной области равна площади квадрата за вычетом площади незаштрихованного треугольника, то есть .

Итак, искомая вероятность равна

 

Вопрос №6:

Вычислить дисперсию дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения:

X -1 -2  
P 0,1 0,3 0,6

 

Решение

Сначала вычислим математическое ожидание случайной величины :

Затем вычислим математическое ожидание случайной величины :

Теперь используем формулу для вычисления дисперсии:

 

Вопрос №7:

Из букв слова КАРМАН, составленного с помощью разрезной азбуки, наудачу последовательно извлекаются 4 буквы и складываются в ряд. Найти вероятность того, что получится слово КРАН.

 

Решение

Используем классическое определение вероятности.

Общее число элементарных исходов равно числу размещений из 6 элементов по 4 позициям: .

Число благоприятствующих исходов равно 2, так как буква А может быть выбрана двумя способами из слова КАРМАН.

Искомая вероятность равна отношению числа благоприятствующих исходов к общему числу исходов

 

 

Вопрос №8:

Наудачу выбрано число, не превосходящее 19. Какова вероятность того, что это число делится на 4?

 

Решение (в условии под числом подразумевается натуральное число)

Используем классическое определение вероятности.

Общее число элементарных исходов равно 19.

Имеется ровно 4 натуральных числа меньших 19 и делящихся на 4, это числа: 4, 8, 12, 16. Значит благоприятных исходов 4.

Поэтому искомая вероятность равна

 

 

Вопрос №9:

Случайная величина Х задана дифференциальной функцией распределения . Найти М(3Х-9)+D(3Х-9).

 

Решение

Рассматриваемая величина распределена по нормальному закону, для которого плотность вероятности (дифференциальная функция распределения) имеет вид: . Сравнив это выражение с выражением из условия задачи, определяем, что , .

Для нормально распределенной величины Х .

Далее используем свойства математического ожидания и дисперсии:

 

Вопрос №10:

 

В результате наблюдений значений случайной величины X получены 300 значений, по ним построена гистограмма частот. К какому типу распределений скорее всего относится закон распределения случайной величины X?

 

Ответы:

а) нормальное распределение

б) показательное распределение

в) равномерное на отрезке распределение

г) распределение «хи-квадрат»

д) другое распределение, отличное от перечисленных типов

 

Вопрос №11:

При увеличении надежности от величины 0,9 к величине 0,99 ширина доверительного интервала для математического ожидания нормально распределенной генеральной совокупности, построенного по одной и той же выборке ____
Ответы:

а) уменьшается

б) увеличивается

в) не меняется

г) умножается на 10

д) делится на 10

 

Вопрос №12:

Результаты наблюдений значений величин X и Y занесены в таблицу. Вычислить оценку коэффициента корреляции между X и Y.

Номер наблюдения          
Значение X          
Значение Y          

 

УКАЗАНИЯ:

Использовать формулу:

, где , .

В рассматриваемом примере: , . .

Вопрос №13:

В однофакторном дисперсионном анализе используется статистика, распределенная (если основная гипотеза верна) __
Ответы:

а) по нормальному закону
б) по закону «хи-квадрат»

в) по равномерному закону

г) по закону Фишера

д) по закону Стьюдента

 

Вопрос №14:

Обычно студент Успевалов приходит на остановку ровно в 8 часов утра и, сев в первый пришедший автобус, идущий в направлении МГУПИ, вовремя прибывает на занятия, которые начинаются ровно в 9 утра. Интервалы движения автобуса составляют в среднем 10 минут, а время в пути автобуса равно 30 минутам. Пусть выполнены все 3 условия, гарантирующие, что поток автобусов является простейшим. Найдите вероятность того, что студент все же опоздает на занятия.

УКАЗАНИЯ:

В задачах этого пункта используется только основная формула описывающая вероятности для потока Пуассона:

.

 

 

Вопрос №15:

Справочное бюро располагает 2 каналами связи. В среднем за 1 час обращается 60 клиентов, а обслуживание одного клиента занимает в среднем 3 минуты. При отсутствии свободного канала заявка получает отказ. Определите вероятность отказа Ротк.

УКАЗАНИЯ:

В задачах этого пункта используются формулы для параметров СМО с отказами.

 

Вопрос №16:

Городской зоопарк в среднем в день посещают 5400 посетителей, причем половина из них входит в зоопарк с 9.00 до 14.00. На обслуживание одного посетителя кассир-контролер тратит в среднем 0,5 минут. Поток посетителей считать пуассоновским. Определить необходимое минимальное число кассиров-контролеров, при котором возможен установившийся режим обслуживания (очередь не будет неограниченно возрастать).

УКАЗАНИЯ:

Нужно рассчитать . Затем использовать требование .

Вопрос №17:

Найти величину максимального потока.

 

 

 

Вопрос №18:

Построить сетевую модель и вычислить длину критического пути.

Обозначение работы
Опорная работа -- --
Длительность работы 2 1 3 4 5 6 4

Вопрос №19:

На должность президента, вице–президента и генерального менеджера АО «Оригинал» претендуют Иванов, Сидоров и Петров. В результате анкетирования акционеров АО, получена усредненная таблица, содержащая оценки (по десятибалльной шкале) соответствия претендентов предполагаемой должности. Определите максимальное суммарное соответствие.

 

  Президент Вице-през. Менеджер
Иванов      
Сидоров      
Петров      

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2019-03-02 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: