Формализм систем массового обслуживания

В случайные моменты времени на n каналов (или «приборов») поступают заявки на обслуживание. Обслуживание одним прибором одной заявки из случайного потока продолжается случайное время, и в какие-то периоды времени на входе в систему скапливается излишне большое число заявок, которые либо становятся в очередь, либо покидают систему необслуженными - в зависимости от предписанной дисциплины. В другие периоды система работает с недогрузкой либо вообще простаивает.

Если потоки (заявок и обслуживания) простейшие, процесс марковский. Методы теории массового обслуживания базируются на уравнениях стационарного режима непрерывных марковских цепей.

Для систем обслуживания «с отказами» (когда при занятости всех каналов обслуживания поступающая заявка получает отказ и покидает систему необслуженной) с 1917 года (с момента опубликования работ Эрланга на английском) во всём мире используется громоздкая формула Эрланга первого рода (в зарубежной литературе – формула Erlang B). На основе метода динамики средних получено более простое соотношение для необходимого числа каналов обслуживания при заданной максимальной вероятности отказа в обслуживании заявки из-за занятости каналов [5]:

n = (Nρ + K√Nρ) / (1+ ρ), (2.6)

где ρ = λ/μ -- удельная приведённая интенсивность обслуживания,

λ -- удельная интенсивность поступления заявок на обслуживание,

μ -- интенсивность обслуживания заявки,

К=2, 58 для вероятности отказа 0,01.

Например, источник заявок содержит N объектов, которым в случайные моменты времени потребуется обслуживаниею. Средний интервал времени поступления заявок на обслуживание Т, среднее время обслуживая t.Интенсивность Λ поступления заявок Λ=1/Т, интенсивность потока обслуживании μ=1/t. Система может находиться в одном из состояний S₀, S₁, S₂, …, S_k,по числу заявок, находящихся в СМО: S₀ — канал свободен; S₁ — канал занят (обслуживает заявку), очереди нет, S₂ — канал занят, одна заявка стоит в очереди;... S_k — канал занят, (k—1)заявок стоят в очереди и т.д. Граф состояний СМО:

Рис. 1. Граф состояний

При ρ<1, т.е. когда среднее число приходящих заявок меньше среднего числа обслуженных заявок в единицу времени, и среднее число заявок под обслуживанием равно вероятности того, что канал занят: и , т.е. .
Среднее время пребывания заявки в системе равно среднему числу заявок, деленному на интенсивность потока заявок [13], откуда.
L_об = Λ Т = Т/t.

Последнее соотношение соответствует найденной полвека назад формуле Литтла, которая получена из следующих соображений. В установившемся режиме число покидающих систему (уже обслуженных заявок) равно числу поступающих,Оба потока имеют одну и ту же интенсивностьΛ,н среднее количество Nзаявок в системе есть произведению средней скорости Λ прибытия заявок на среднее время Т пребывания в системе, N = ΛТ. По смыслу, N – сумма заявок на обслуживании L_об и в очереди L_оч . Вероятность

попадания поступающей заявки именно в очередь L_оч / N = L_оч /(L_оч +L_об).

Пример. На позиции боевого дежурства – группировка N ракет, готовых к пуску.

С интервалом в среднем Т возникает необходимость в техническом обслуживании. Бригада – единственная, среднее время обслуживая t. При занятости бригады требующая обсжуживания ракета ожидает освобожденния бригады (стоит в очереди). Показатель эффективности – число N_гот ракет, готовых к пуску. По последней формуле N_гот = Т/t.