Непрерывного распределений заряда.

По принципу суперпозиции для напряженности поля совокупности дискретных источников имеем:

где каждое

Подставив, получаем:

Для непрерывного распределения аналогично:

где V - область пространства, где расположены заряды (ненулевая плотность заряда), или всё пространство, - радиус-вектор точки, для которой считаем , - радиус-вектор источника, пробегающий все точки области V при интегрировании, dV - элемент объема. Можно подставить x,y,z вместо , вместо , вместо dV.

 

 

№13. Как определяется потенциал электрического поля.

Потенциалом электрического поля в точке M называют работу, которую совершает поле про перемещении единичного положительного заряда из этой точки в точку O, где договорились считать потенциал равным нулю:

В силу потенциальности электростатического поля, значение этого интеграла не зависит от выбора траектории интегрирования. Выбор точки O произволен и диктуется соображениями удобства. Обычно за нуль принимают потенциал бесконечно удалённой точки.

 

№14. Запишите формулы для потенциала электрического поля дискретного и непрерывного распределений заряда

Из принципе суперпозиции следует, что свойство потенциальности справедливо для электрического поля любой системы или конфигурации неподвижных зарядов. Тогда потенциал системы зарядов определяется:

Дискретное распределение зарядов

Непрерывное распределение зарядов

а) Если имеется объемная плотность заряда , то потенциал равен интегралу по объему, где имеются заряды

б) Если имеется поверхностная плотность заряда , то потенциал выражается через интеграл по поверхности

№15. Запишите формулу, показывающую локальную связь между потенциалом и напряженностью электрического поля.

E = - grad(φ)

 

№16. Приведите примеры эквипотенциальных поверхностей.

Точки пространства, в которых потенциал принимает одно и то же значение, образуют некоторую поверхность. Такие поверхности называются эквипотенциальными.

Например, в случае точечного заряда эквипотенциальными поверхностями являются поверхности концентрических сфер с центром в точке расположения заряда.

 

Для однородного поля такого как, например поле между обкладками электрического конденсатора поверхности равного потенциала будут иметь форму плоскостей. Эти плоскости расположены параллельно друг другу на одинаковом расстоянии. Правда на краях обкладок картина поля исказится вследствие краевого эффекта. Но мы представим себе, что обкладки бесконечно длинные.

№17. Что такое электрический диполь. Чему равны потенциал и напряженность поля электрического диполя.

Электрический диполь – совокупность двух равных по величине разноименных точечных зарядов, расположенных на расстоянии друг от друга, малом по сравнению с расстоянием до рассматриваемой точки поля. Потенциал , где – дипольный момент, - угол между и направлением на точку наблюдения A, - расстояние от элемента диполя до A (длина радиус-вектора из диполя в A). Напряженность

№18. Электрический дипольный момент нейтральной системы зарядов

1) Эл. дипольный момент – вектор p=q*l, где l –вектор, проведённый от отрицательного заряда к положительному, q - абсолютная величина зарядов

2) Эл. диполный момент нейтр. системы точечных зарядов – вектор P = Σ q_i*r_{i ,} суммирование от 1 до N, где N – число зарядов системы, q_i- их заряды, r_i – их радиус векторы

· для эл. нейтр. системы величина этой суммы не зависит от выбора начала координат

№19. Чему равна циркуляция вектора напряженности электростатического поля. Приведите доказательство для системы точечных зарядов.

Циркуляцией вектора напряженности называется работа, которую совершают электрические силы при перемещении единичного положительного заряда по замкнутому пути L:

Так как работа сил электростатического поля по замкнутому контуру равна нулю (работа сил потенциального поля), следовательно циркуляция напряженности электростатического поля по замкнутому контуру равна нулю.

Доказательство для системы точечных зарядов:

Если в электростатическом поле точечного заряда Q из точки 1 в точку 2 вдоль произвольной траектории перемещается другой точечный заряд Q ₀, то сила, приложенная к заряду, совершает работу. Работа силы F на элементарном перемеще­нии d l равна:

Т. к. , то

Работа при перемещении заряда из точки 1 в точку 2:

не зависит от траектории перемещения, а определяется только положениями начальной 1 и конечной 2 точек. Следовательно, электростатическое поле точечного заряда является потенциальным, а электростатические силы — консервативными.

№20. Чему равен ротор вектора напряженности электростатического поля. Приведите доказательство для системы точечных зарядов.

 

 

 

№21. Запишите уравнения Пуассона и Лапласа для потенциала электростатического поля.

Векторы индукции и напряжённости электрического поля связаны следующим соотношением:

где ε – диэлектрическая проницаемость вещества.

Свойство потенциальности поля позволяет ввести потенциал :

откуда следует:

Используя дифференциальную форму теоремы Гаусса

где – объёмная плотность свободного заряда, получим:

№22. Свободные и связанные заряды в веществе

При рассмотрении электростатического поля в случае наличия в нем диэлектриков нудно различать два рода электрических зарядов: свободные и связанные. Под свободными зарядами понимают, во-первых, все электрические заряды, которые под влиянием электрического поля могут перемещаться на макроскопические расстояния (электроны в металлах и вакууме, ионы в газах и электролитах и т.п.), и, во-вторых, заряды, нанесенные извне на поверхность диэлектриков и нарушающие их нейтральность). Заряды же, входящие в состав нейтральных молекул диэлектриков, равно как и ионы, закрепленные в твердых диэлектриках вблизи определенных положений равновесия, мы будем называть зарядами связанными.

№23. Чему равны напряженность и потенциал электрического поля, а также плотность свободных зарядов внутри однородного проводника. Приведите доказательства утверждений.

, иначе заряды в проводнике перемещались бы под действием сколь угодно малого поля, а это уже электрический ток.

Это означает, что потенциал внутри проводника должен быть постоянным. ()

На поверхности проводника напряженность поля должна быть направлена перпендикулярно (иначе вдоль поверхности потечет ток).

В заряженном проводнике избыточные заряды располагаются на его поверхности вследствие кулоновского отталкивания. Одноименные заряды отталкиваются и стремятся расположиться как можно дальше друг от друга.

Вне проводника в непосредственной близости к нему напряженность направлена по нормали к поверхности , а значит . Теорема Гаусса для вектора (над поверхностью проводника может быть диэлектрик)

где ; тогда . Так как , получаем , откуда:

Напряженность электрического поля вблизи поверхности проводника пропорциональна поверхностной плотности заряда .

№24. Какова связь напряженности электрического поля у поверхности однородного проводника с поверхностной плотностью свободных зарядов.

Напряжённость у поверхности проводника определяется поверхностной плотностью зарядов

.

 

№25. Плоский конденсатор и его электроемкость.

Две плоские пластины площадью S, расположенные на расстоянии друг от друга и разделённые диэлектриком, толщина которого мала по сравнению с размерами обкладок, образуют плоский конденсатор. Ёмкость

№26. Как рассчитать емкость батареи конденсаторов

1) Паралл. соединение конденсаторов: С=С₁ + С₂ + С₃ + … + С_N

(док-во: U=U₁=U₂=U₃; q_i=C_iU; q=q₁+q₂+q₃; q=CU=U(C₁+C₂+C₃) ⇒C=C₁+C₂+C₃)

2) Послед. соединение проводников: 1/С=1/С₁ + 1/С₂ + 1/С₃ + … + 1/ С_N

(док-во: U=U₁+U₂+U₃; q=q₁=q₂=q₃; U_i=q/C_i; U=q/C=q/C₁+q/C₂+q/C₃ ⇒1/C=1/C₁+1/C₂+1/C₃)

№27. Дайте определение вектора электрической поляризации.

Вектор поляризации – дипольный момент единицы объема диэлектрика, возникающий при его поляризации.

№28. Что такое электрическая индукция поля.

Электри́ческая инду́кция (электри́ческое смеще́ние) — векторная величина, равная сумме вектора напряжённости электрического поля и вектора поляризации.

В СИ: .

 

№29. Сформулируйте теорему Гаусса для электрической индукции в интегральной и дифференциальной формах.

В электростатическом поле поток вектора индукции через любую замкнутую поверхность равен сумме свободных зарядов, заключённых внутри этой поверхности:

или в дифференциальной форме:

где – объёмная плотность заряда.

№30. Запишите граничные условия для вектора индукции электрического поля. Откуда они следуют?

Можно сосчитать поток вектора индукции электрического поля , воспользовавшись теоремой Гаусса (посчитать поток вектора через площадь основания цилиндрической поверхности, охватывающей границу диэлектриков). Тогда получим такие граничные условия (для нормальных составляющих):

Если на границе двух диэлектриков нет сторонних зарядов, то есть , то нормальная составляющая вектора электрической индукции непрерывна:

№31. Материальные уравнения для электрического поля, диэлектрические восприимчивость и проницаемость.

P = χε0E, где χ — диэлектрическая восприимчивость, а ε0 – эпсилон нулевое.

P – вектор поляризации

D = εε0E, где ε – диэлектрическая проницаемость.

B = µµ0H, где µ-магнитная проницаемость среды.

Материальные уравнения – уравнения, устанавливающие связь между

B(вектор магнитной индукции) и H(вектор напряженности магнитного поля), D(вектор индукции электрического поля) и Е.

№32. Взаимная энергия системы точечных зарядов, собственная энергия заряда.

Назовем взаимной энергией U системы n точечных зарядов, образующих данную конфигурацию, работу кулоновых сил по удалению всех зарядов друг от друга на бесконечность.

Собственная энергия заряда — это энергия взаимодействия различных элементов заряда между собой. Собственная энергия точечного заряда бесконечна. Энергия взаимодействия дискретных зарядов — это полная энергия поля за вычетом собственной энергии зарядов. Она положительна, когда их собственная энергия (всегда положительная) меньше полной энергии поля, и отрицательна — когда больше полной.

№33. Энергия системы непрерывно распределенных зарядов (формула).

№34. Запишите формулы для энергии электростатического поля и ее объемной плотности

1) Объемная плотность энергии эл. поля:

w_E=dW/dV; w_E=ED/2= εε₀E² - E и D – векторы, V – весь объем, занимаемый полем;

2) Энергия эл. поля:

W=(1/2)* ⇒ W=(1.2)* Σ Q_i*ϕ_i - суммирование от 1 до N, где N – количество заряженных проводящих тел, E и D – векторы, Q_i- заряд i-го проводника, ϕi – его потенциал

№35. Чему равны сила и момент сил, действующие на точечный диполь в электрическом поле.

Электрический диполь с дипольным моментом во внешнем электростатическом поле .

Сила, действующая на диполь:

Момент сил, действующих на диполь:

№36. Дайте определения силы электрического тока и плотности тока. Какова связь между ними.

 

 

№37. Запишите уравнение непрерывности в интегральной и дифференциальной формах.

Рассмотрим внутри проводника с током какую-либо замкнутую поверхность S, тогда из определения плотности тока следует, что положительный заряд, уходящий в единицу времени через всю поверхность S наружу, есть

Согласно одному из основных законов электричества, электрические заряды сохраняются, поэтому если есть изменение за единицу времени положительного заряда, заключенного

внутри замкнутой поверхности S, то

Применяя формулу Остроградского-Гаусса получаем

где – объёмная плотность заряда, а интегрирование ведётся по объёму, заключённому поверхность S.

№38. Условие стационарности тока. Закон Ома для участка цепи и его дифференциальная форма

Условие стационарности тока: поток плотности тока через замкнутую поверхность равен нулю

Закон Ома для участка цепи: сила тока в участке цепи прямо пропорциональна напряжению и обратно пропорциональна электрическому сопротивлению данного участка цепи

Дифференциальная форма:

где – вектор плотности тока, - удельная проводимость, - вектор напряженности электрического поля

№39. Сопротивление и удельное сопротивление проводника. Проводимость и удельная проводимость проводника.

Электрическое сопротивление — физическая величина, характеризующая свойства проводника препятствовать прохождению электрического тока и равная отношению напряжения на концах проводника к силе тока, протекающего по нему.

Физический смысл удельного сопротивления в СИ: сопротивление однородного куска проводника длиной 1 м и площадью поперечного сечения 1 м².

Электрическая проводимость (электропроводность, проводимость) — способность тела проводить электрический ток, а также физическая величина, характеризующая эту способность и обратная электрическому сопротивлению

Удельной проводимостью (удельной электропроводностью) называют меру способности вещества проводить электрический ток. Согласно закону Ома в линейном изотропном веществе удельная проводимость является коэффициентом пропорциональности между плотностью возникающего тока и величиной электрического поля в среде: J = σE (J и E - вектора), где J – вектор плотности тока, Е – вектор напряженности электрического поля.

№40. Как рассчитать сопротивление батареи проводников?(формулы, рисунки).

Последовательное соединение резисторов

если резисторы R1 и R2 соединены последовательно, их общее сопротивление высчитывается по формуле:

R = R1 + R2.

Это справедливо и для большего количества соединённых последовательно резисторов:

R = R1 + R2 + R3 + R4 +... + Rn.

Параллельное соединение резисторов

Расчет параллельного сопротивления двух параллельно соединённых резисторов R1 и R2 производится по следующей формуле:

1/R = 1/R1 + 1/R2 +….

№41. Закон Джоуля-Ленца и его дифференциальная форма.

Мощность тепла, выделяемого в единице объема среды при протекании электрического тока, пропорциональна произведению плотности электрического тока на величину напряженности электрического тока Количество теплоты, выделяемое в единицу времени на рассматриваемом участке цепи, пропорционально произведению квадрата силы тока на этом участке и сопротивлением участка. Дифференциальная форма: , где - мощность выделения тепла в единицу объема, - плотность электрического тока, - напряженность электрического тока, - проводимость среды.

№42. Правила Кирхгофа

1-ое правило: алгебраическая сумма всех токов, втекающих в любой узел, равна нулю;

2-ое правило: для любого контура сумма падений напряжения на его элементах равна сумме ЭДС, действующих в этом контуре;

 

(Узел – точка цепи, где сходятся 3 и более проводов;

Ветвь – участок цепи между двумя узлами;

Контур – замкнутый участок цепи)

Применение правил:

1) Если в цепи N узлов, то 1-ое правило позволяет написать N-1 ЛНЗ уравнение ⇒ при составлении уравнений один узел (любой) следует исключить;

2) При составлении уравнений по 2-му правилу следует выбирать независимые контуры:

· 1-ый контур выбрать произвольно и пометить одну из ветвей, которая не должна входить входить в последующие контуры;

· и т. д., пока в цепи нельзя будет провести более ни одного контура;

3) из п.1) и п.2) получим столько уравнений, сколько в цепи неизвестных токов;

4) Правило знаков:

· для каждой ветви выбирается (произвольно) положит. направление тока ветви, которое в процессе решения задачи больше не изменится;

· при составлении уравнений для узлов токи, которые направлены к этому узлу, брать со знаком +, иначе со знаком -;

· в уравнениях для контуров – обход всех его участков в одном направлении; при обходе падение напряжения на элементе брать со знаком +, если этот элемент проходится в направлении, совпадающем с ранее выбранным направлением тока в ветви:

· ЭДС источника считается положительным, если источник проходится от минуса к плюсу;

Элементы цепи: (L – коэфф. самоиндукции, L_1,2- коэфф. взаимной индукции обмоток)

Резистор: U_R=IR; Индуктивность: U_L=L dI/dt; Конденсатор: U_C=(1/C) ;

Индуктивно связанные катушки ЭДС: ξ_1,2 = L_1,2 dI/dt

№43. Закон сохранения энергии для цепей постоянного тока, содержащих э.д.с.(??)

Работа, совершаемая в цепи при прохождении тока, равна работе сторонних э.д.с.

 

№44. Что такое линейный и объемный элементы тока.

№45. Запишите закон взаимодействия элементов тока – закон Ампера.

Совокупная сила d , действующая со стороны магнитного поля на элемент d проводника, определяется соотношением:

где I – сила тока в проводнике, – индукция магнитного поля в точке расположения рассматриваемого элемента проводника, а направление вектора d совпадает с направлением тока.

 

№46. Не противоречит ли закон Ампера третьему закону Ньютона

Нет

(Подсказка: сила, действующая на выделенный участок второго проводника, равна

 

 Легко убедится, что такая же по модулю сила действует на участок такой же длины первого проводника. В этом можно убедиться, просто взглянув внимательно на полученный результат (3) − силы токов входят в эту формулу симметрично. Таким образом, силы взаимодействия между проводниками удовлетворяют третьему закону Ньютона.)