Тема 11. Производная функции
Таблица производных
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
Пример 1. Найдите производную функции 
Решение. 
Пример 2. Найдите производную функции 
Решение. 
Производная сложной функции
Пусть задана сложная функция 
, т.е. такая, что её можно представить в виде 
или 
. В выражении 
переменная u называется промежуточным аргументом.
Теорема. Если функция 
имеет в некоторой точке x производную 
, а функция имеет при соответствующем значении u производную 
, то сложная функция в указанной точке x также имеет производную, которая равна 
, где вместо u должно быть подставлено выражение .
Таким образом,
,
т.е. производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу u на производную промежуточного аргумента по x.
Пример 3. Дана функция 
. Найдите 
.
Решение. Введем промежуточный аргумент u: 
Тогда 
. По правилу дифференцирования сложной функции получаем:
Задачи.
1. Найдите производную функции 
1) 
2) 
3) 
4) 
2. Найдите значение производной функции 
в точке 
.
1) -4 2) 0 3) 6 4) 4
3. Значение производной функции 
в точке 
равно
1) 2/49
2) -1
3) 2
4) -9/49
5) -1/49
6) 1
7) -2/49
8) -4/49
9) 1/49
10) 0
11) 17/49
12) 5/49
4. Значение производной функции 
в точке 
равно
1) 2/3
2) -1
3) 1
4) 1/3
5) -1/3
6) 2
7) -2
8) 0
9) 5
10) -9
11) -4
12) -8
5. Значение производной функции 
в точке равно
1) -2
2) -1/3
3) 0
4) 1/3
5) 1
6) 1/2
7) -1
8) 2
9) 5
10) -9
11) 8
12) -8
6. Значение производной функции 
в точке равно
1) 1
2) 2
3) ½
4) 0
5) -2
6) -4
7) 1/3
8) -1
7. Значение производной функции 
в точке равно
1) 1
2) -1
3) 2
4) -2
5) 3
6) -3
7) 1,5
8) -1,5
9) 6
10) -6
11) 0,5
12) -0,5
8. Вычислите производные следующих функций:
1) 
;
2) 
3) 
4) 
;
5) 
;
6) 
7) 
8) 
9) 
10) 
11) 
12) 
13) 
14) 
Тема 12. Геометрический и физический смысл производной. Уравнение касательной
Пусть заданы две прямые в виде с угловым коэффициентом 
и 
, где 
- угловые коэффициенты данных прямых; 
- углы, образованные прямыми с положительным направлением оси Ox.
Тогда тангенс угла 
между двумя прямыми, отсчитанного против часовой стрелки от прямой до прямой вычисляется по формуле:
.
Из формулы следуют условия параллельности и перпендикулярности двух прямых:
1) прямые параллельны, т.е. 
; таким образом, если прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны.
2) прямые перпендикулярны, т.е. 
.
Геометрический смысл производной: Если кривая задана уравнением , то 
, где 
- угол, образованный касательной к кривой в точке с абсциссой 
с положительным направлением оси Ox.
Пример 1. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции 
в его точке с абсциссой 
Решение. Найдём производную 
. Тогда угловой коэффициент касательной равен 
.
Ответ: 3.
Уравнение касательной к графику функции в точке 
имеет вид:
.
Нормалью к кривой называется прямая, перпендикулярная к касательной и проходящая через точку касания.
Уравнение нормали к графику функции в точке имеет вид:
.
Пример 2. Составьте уравнение касательной к графику функции 
в точке его пересечения с осью ординат.
Решение. Уравнение касательной записывается в виде:
,
где - точка касания. Абсцисса 
, а ордината 
.
Найдём производную заданной функции в точке :
; 
.
Искомое уравнение касательной имеет вид:
, или 
.
Ответ: .
Механический смысл производной: Если при прямолинейном движении точки задан закон движения 
, то скорость движения в момент 
есть производная пути по времени 
.
Пример 3. Материальная точка движется прямолинейно по закону 
. Через сколько времени после начала движения точка остановится? Найдите путь, пройденный точкой до остановки.
Решение. В момент остановки скорость точки равна нулю. Находим 
. Решаем уравнение 
, т.е. 
. Таким образом, после начала движения точка остановится через 
с. Путь, пройденный точкой до остановки, составит 
м.
Ответ: 2; 80.
Задачи.
1. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции 
в его точке с абсциссой 
1) 1
2) -5
3) -1
4) 5
5) 2
6) 3
7) 0
8) -2
2. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции 
в его точке с абсциссой 
1) 1
2) -5
3) -1
4) 5
5) 2
6) 3
7) -3
8) -2
3. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции 
в его точке с абсциссой 
1) 1
2) -4
3) -1
4) 4
5) 2
6) 7
7) 0
8) -2
4. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции 
в его точке с абсциссой 
1) 10
2) –14
3) -1
4) 3
5) 14
6) -10
7) -3
8) 1
5. Если касательная к графику функции 
, проведенная в точке с абсциссой , параллельна прямой 
, то равно
1) -12
2) 15
3) 13
4) 16
5) 5
6) 12
7) 14
8) -5
6. Составьте уравнение касательной к линии 
в точке 
.
7. Составьте уравнение касательной к линии 
в точке с абсциссой 
.
8. Тело удаляется от поверхности Земли в вертикальном направлении по закону 
(t - время движения в секундах, h - расстояние в метрах от поверхности Земли до тела). Через сколько секунд скорость тела будет равна 2 м/с?
9. Материальная точка движется по оси OX по закону 
(x - координата в метрах, t - время в секундах). Через сколько секунд после начала движения точка остановится?
1) 1
2) 2
3) 3
4) 4