ЗАДАЧА 4. Вычислить неопределенные интегралы а) – в)

ЗАДАЧА 3. Исследовать функцию и построить график

 

Исследовать функцию и построить её график.

►Исследуем данную функцию.

1. Областью определения функции является множество .

2. Ордината точки графика .

3. Точки пересечения графика данной функции с осями координат:

4. Легко находим, что

 

.

 

Находим наклонные асимптоты:

 

 

Таким образом, существует единственная наклонная асимптота

 

5. Исследуем функцию на возрастание, убывание, ло­кальный экстремум:'

 

y= 2(х + 3)(x-4)-(x + 3)² _ 2x² – 2x - 24 – х² - 6х - 9 =
(х-4)² (x-4)²

= .

 

Из у' = 0 следует х^г — 8х — 33 = 0, откуда = 11, х₂₌— 3. В интервале (—∞; — 3) y'> 0, следовательно, функция возрастает в этом интервале; в (—3; 4) y'<0, т. е. функция убывает. Поэтому функция в точке х = —3 имеет локальный максимум: у(—3) = 0. В интервале (4; 11)

у' < 0, следовательно, функция убывает на этом интер­вале; в (11; +∞) у'>0, т. е. функции возрастает. В точке = 11 имеем локальный минимум: y(ll) =28.

6. Исследуем график функции на выпуклость, вогнутость и определим точки перегиба. Для этого найдем

 

=

= = .

 

Очевидно, что в интервале (—∞; 4) y"< 0, и в этом интервале кривая выпукла; в (4; +∞)

у" > 0, т. е. в этом интервале кривая вогнута. Так как при х = 4 функция не определена, то точка перегиба отсутствует.

7. График функции изображен на рис. 0.17

ЗАДАЧА 4. Вычислить неопределенные интегралы а) – в)

 

а)

 

1.

 

► ◄

 

2.

 

►

◄

 

3.

 

►

.◄

 

4.

►

.◄

б) .

Решение. Решение данной задачи на формуле интегрирования по частям:

 

В этой формуле принимаем за

По формуле находим производственную второго сомножителя :

 

 

Подставляя найденные в формулу интегрирования по частям получаем:

 

 

в) )

 

Решение. Так как корнями знаменателя является , то по формуле , знаменатель раскладываются на множители

 

.

 

Подставим дробь в виде следующей суммы:

 

,

 

и найдем коэффициенты А и В. Приведем дроби в правой равенства части к общему знаменателю:

 

 

Приравняв числители, получим

 

(2) .

 

Подставив в последнее равенство , находим, что

 

 

Подставляя в равенство (2), находим, что

 

 

Таким образом, .

 

Итак,

 

Здесь мы воспользуемся формулой (1)

 

ЗАДАЧА 5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками функций . Изобразите эту фигуру на координатной плоскости.

Решение. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Вычисляем производную функции и находим координаты вершины параболы С:

 

 

 

 

 

Рис. к задаче 5

 

Найдем точки пересечения графиков функции: .

 

 

Заметим, что Графиком функции является прямая, которую можно построить по двум точкам .

Пусть площадь фигуры , ограниченной графиками функций. Так как

 

 

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Дифференциальное уравнение вида

 

(3)

 

где - заданные функции называются дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

Для решения уравнения такого вида необходимо сделать следующее:

1). Разделить переменные, т. е. Преобразовать уравнение к виду

 

(4) .

 

2). Проинтегрировать обе части уравнения (4)

 

 

 

(5)

где первообразная функции первообразная функции произвольная постоянная.

3). Разрешить, если это возможно, уравнение (5) относительно y (и найти область определения решения):

4). Добавить к решению (5) все функции вида (горизонтальные прямые), где число

один из корней уравнения

Описанный метод решения можно схематично представить в виде формулы:

 

 

ЗАДАЧА 6. Найти общее решение дифференциального уравнения Построить графики двух частных решений этого уравнения.

Решение. 1). Преобразуем уравнение к виду

 

 

Равенство (у² + х²) = С показывает, что С > 0. Положим С = ∙ R² ,где R > 0 — другая произвольная постоянная. Тогда

у² + х² = R².

 

3). Разрешим, предыдущее уравнение относительно у и найдём область определения решения:

Рис. к задаче 6.

 

 

 

D(у) = >0. Графики решений — дуги концентрических окружностей произвольного радиуса с центром в на­чале координат (см. рис.).

4). В данном случае, уравнение не имеет решений. Поэтому решений вида

y = а нет.

 

	Ответ:

 

Линейные дифференциальные уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Уравнение вида

 

(7) у" + by' + су=0,

 

где b и с — некоторые числа, называется линейным однородным диф­ференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффи­циентами. Общее решение этого уравнения в зависимости от знака дискриминанта

характеристического уравнения

 

. (8) k² + bk + c = 0

 

имеют следующий вид:

A) если D > 0, где k =α, к=β — два различных действительных корня (α≠β) характеристического уравнения (8);

Б) , если D = О,

где α— единственный корень характеристического уравнения;

B) если D < О,

где

Общее решение линейного неоднородного дифференциаль­ного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

 

(9)

 

является суммой некоторого его частного решения и общего решения

. однородного уравнения (7), т. е.

 

 

Многочлен называют характеристическим мно­гочленом дифференциального уравнения (7).

В тех случаях, когда представляет собой многочлен, функцию

,частное решение удаётся найти подбором с помощью следующей таблицы.

1. :

корни характеристического многочлена	частное решение

2. если

 

первая часть	частное решение

 

3.

 

 

Задача 7. Найти частное решение дифференциального урав­нения удовлетворяющее началь­ным условиям у (0) = 1, у'(0) = 2.

Решение. 1). Характеристического уравнение:

Так как D = — 16, используем формулу В):

Общее решение однородного уравнения:

 

 

2). Так как правая часть многочлен второй степени, частное решение неоднородного уравнения бу­дем искать в виде многочлена 2-ой степени с неопределёнными коэффициентами:

 

 

Подставляя у = в данное в задаче уравнение, получаем:

 

 

 

 

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, нахо­дим:

Отсюда поэтому общее решение неоднородного уравнения имеет вид

3). Находим частное решение, удовлетворяющее начальным условиям, данным в задаче:

	Ответ:

 

 

Напомним, что число n! (читается «эн-факториал»)- это произведение всех натуральных чисел от единицы до :

 

!=

 

При вычислениях с факториалами представляется важным следующее соображение:

 

 

 

и т.д.

 

Признак Даламбера. Если существует предел

То числовой ряд сходится при и расходится при

ЗАДАЧА 8. Исследовать сходимость ряда

 

Решение: .

 

 

Вычисляем предел

 

Таблицы и формулы.

 

1. Производные основных элементарных функций

1). Производная константы равна нулю:

2). где а — любое не равное нулю действительное число. В частности,

 

 

3). Показательная и логарифмическая функции.

 

 

4) Тригонометрические функции

 

 

5) Обратные тригонометрические функции

 

2. Производные некоторых сложных функций:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

 

3.Правила дифференцирования:

 

 

Константы можно выносить за знак производной:

 

 

Производная суммы равна сумме производных:

 

 

 

 

 

 

Пусть сложная функция, и

 

Тогда:

 

9. Интегрирование, также как и операция дифференцирования, операция вычисления пределов, является линейной; то есть, константы можно выносить за знак интеграла, и интеграл суммы функций равен сумме интегралов. Линейность операции интегрирования можно выразить формулой:

 

10. Таблица основных неопределенных интегралов:

 

 

 

11). при

11. Замена переменных (метод подстановки):

Если Эта формула позволяет интегрировать произведения, одним из сомножителей которых служит сложная функция

 

12. Интегрирование по частям:

13. Интегрирование простейших дробей:

 

 

 

 

14. Если F(x)- первообразная, вычисляемая как неопределенный интеграл с С=0.