МЕТОДЫИ ПРИЁМЫРЕШЕНИЯ
НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ
В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ
г. Новый Уренгой 2016
УДК 372.8:51
ББК 74.262.21
Рецензенты
кафедра теории и методики начального образования (Стерлитамакский филиал БашГУ); доктор педагогических наук, профессор Е.В. Головнева (Стерлитамакский филиал БашГУ)
Научный редактор – декан факультета педагогики и психологии, зав. кафедрой теории и методики начального образования, кандидат педагогических наук, доцент Л.Б. Абдуллина (Стерлитамакский филиал БашГУ)
Методы и приёмы решения нестандартных задач в начальных классах: Монография. – Новый Уренгой, 2016. – 58 с.
В монографии описаны методы и приемы решения задач, практикуемые в начальных классах школы в применении к нестандартным задачам.
Монография адресована учителям и родителям для подготовки детей к участию в математических олимпиадах.
ВВЕДЕНИЕ
При изучении математики в начальных классах работа по решению текстовых задач выполняет образовательную, воспитательную и развивающую функции. Известно, чтобы научить детей решать задачи, надо с ними решать задачи. Наряду с формированием умения решать задачи, младшие школьники через текстовые задачи знакомятся с новыми математическими понятиями и закономерностями, учатся применять их в конкретных социальных и практических ситуациях, анализируя последние, узнают что-то новое, расширяют кругозор, учатся ориентироваться в окружающем их мире. Одна из развивающих сторон обучения решению задач – овладение учениками различными методами и приемами их решения, что создает учащимся потенциальные возможности для успешного решения нестандартных, не встречавшихся в прежнем опыте, задач.
В основе многих методов решения задач (арифметического, алгебраического, геометрического, табличного, смешанного и др.) лежит та или иная модель текста задачи, а решения задачи некоторым методом – прием моделирования: составления модели текстовой задачи с последующим преобразованием этой модели для поиска решения задачи. Решить задачу можно разными способами, применив для этого разные методы, а можно найти несколько способов решения в рамках одного метода.
Учителю начальных классов, чтобы формировать у учащихся умение применять разные методы и приемы для нахождения хотя бы одного способа решения, необходимо владеть соответствующими методическими знаниями и умениями, а также иметь практику в решении нестандартных задач. Это и определило необходимость разработки данной монографии «Методы и приёмы решения нестандартных задач». Пособие адресовано учителям-практикам, хотя оно будет интересно и полезно родителям для индивидуальной работы с детьми и организаторам внеурочных занятий математикой.
ПРИМЕНЕНИЕ СОВРЕМЕННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ
ПРИ ОБУЧЕНИИ МЛАДШИХ
ШКОЛЬНИКОВ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
§ 1. Обучение различным методам и способам
решения задач
Человек в практической деятельности постоянно сталкивается с необходимостью решать возникающие перед ним задачи. Чем более он напрактикован предыдущим жизненным опытом и школьным обучением в решении задач по-разному, тем успешнее справляется с новыми задачами, находя для них свое наиболее рациональное решение. Это по силам личности с достаточно высоким общим и математическим развитием. В формировании желания и способности решать задачи по-разному велико значение школьного математического образования. Последнее должно стать одной из целей обучения решению задач с начальных классов, поэтому при работе над задачами особое внимание следует уделять обучению младших школьников умению применять различные методы и находить разные способы решения задач. «Решение задачи по-разному – мощное средство постижения мира, осознание разнообразия свойств и отношений его элементов. Разные методы и способы решения – средство развития познавательного интереса, умения отстаивать свою точку зрения, способности слышать и понимать других людей». (С.Е. Царева [84, с. 106]).
Уточним основные понятия, которые характеризуют процесс продуктивной работы по обучению решению задач. Основными будем считать понятия «задача», «решение задачи», «способ решения», «метод решения». С.Е. Царева подчеркивает, что «задача» относится к числу широких общенаучных понятий [83, с. 93]. Ту часть задачи, в которой задана информация, принято называть условием задачи, а часть задачи, в которой указывается, что необходимо найти, узнать, построить, доказать, принято называть – требованием задачи, а в начальной школе – вопросом. Л.М. Фридман в книге «Как научиться решать задачи» (с.6) так определяет данное понятие: «Задача представляет собой требование или вопрос, на который надо найти ответ, опираясь и учитывая те условия, которые указываются в задаче». Интересно определение Н.Б. Истоминой: «Задача формулируется в виде текста, в котором находят отражение, количественные отношения между реальными объектами» [28, с. 68].
Н.Б. Истомина, рассматривая задачи с позиции начальной школы, характеризует задачу по внешнему признаку – форме изложения в виде текста с отраженными в нем количественными отношениями. Это задачи на нахождение искомого, что обусловлено возрастными особенностями умственной деятельности младших школьников.
Определение Л.М. Фридмана позволяет отнести к задачам любые учебные задания, в которых можно выделить искомые и данные, условия и требования. Он выделяет: задачи на нахождение искомого, на преобразование и построение, на доказательство и объяснение. Л.М. Фридман указывает, что задачи по отношению к уровню изученной теории подразделяются на стандартные и не стандартные. Отнесение предлагаемой ученикам начальных классов задачи, к той или иной группе зависит от их теоретической подготовленности, проводимой при обучении решению задач по одному из вариантов курсов математики.
По поводу решения задачи он утверждает следующее: «Решить математическую задачу – значит найти такую последовательность общих положений математики, применяя которые к условиям задачи или к следствиям (промежуточным результатам решения), получаем то, что требуется в задаче – ее ответ» [там же, с. 27]. К средствам математики, позволяющим находить решение, он относит определения, аксиомы, теоремы, правила, законы, формулы, а не конкретные операции, которые являются следствиями применения этих средств.
В справочнике для начальной школы детям предлагается понимать решение задачи как «последовательное выполнение арифметических действий над данными в задаче числами и получение с их помощью неизвестного, которое требуется узнать в вопросе» (Начальная школа. Справочник школьника. – М., 1996, с. 51). Это определение неудачно, так как, подразумевая под решением только последовательность арифметических операций, оно ограничивает выбор методов решения задачи, например, исключает геометрический метод, заключающийся в моделировании текста задачи «языком отрезков».
Наиболее удобно в решении проблемы обучения решению задач разными методами и способами определение понятия «решение задачи» Н.Б. Истоминой. Она считает, что его можно представить как:
– результат, т.е. ответ на поставленный в задаче вопрос;
– процесс нахождения этого результата [28, с. 62].
Последний представляется с двух позиций: как способ нахождения результата и как последовательность тех действий, которые входят в тот или иной способ.
Мы будем рассматривать решение задачи как процесс нахождения искомого, заданного условием и требованием задачи. Решить задачу – это значит ответить на ее вопрос так, чтобы ответ соответствовал условию задачи [84, с. 105].
Действия, приводящие к нахождению результата, могут быть качественно различными в зависимости от выбранных для решения математических средств, их последовательность может быть также различной. Поэтому возникает вопрос о различных методах и различных способах решения задачи. В методической литературе нет однозначности в понимании этих терминов. Так, Н.Б. Истомина, выделяя 4 вида способов в зависимости от качественно различных математических средств:
– практический способ, позволяющий не выполнять арифметические действия, а производить практические действия с объектами задачи или их символическими (абстрактными) образами и находить ответ;
– арифметический способ, основанный на выполнении арифметических действий с числами, которые являются известными в условии задачи;
– алгебраический способ, характерный тем, что искомое задачи обозначается переменной и между ней и известными задачи устанавливаются количественные отношения, которые можно записать уравнением;
– графический способ, позволяющий, как и практический, ответить на вопрос задачи, не выполняя арифметических действий, с помощью схематических чертежей-моделей с отражением количественных отношений между данными и искомыми.
При этом она уточняет, что в целях определенности имеет смысл говорить не об арифметическом, алгебраическом, практическом способах решения задачи, а о различных методах ее решения или о различных подходах к ее решению [29, с. 50]. Здесь же Н.Б. Истомина указывает, что можно решить задачу как различными методами, так и разными способами одного и того же метода. Приходится разграничить такие термины, как «решение задачи различными способами (практическим, арифметическим, алгебраическим)» и «решение задачи различными арифметическими (или алгебраическими, или геометрическими) способами». В последнем случае речь идет о возможности установления различных связей между данными и искомыми, а, следовательно, о выборе других действий или другой их последовательности для ответа на вопрос задачи.
Неоднозначное употребление термина «способ решения» затрудняет взаимопонимание между учениками и учителем по отношению к требованию решить задачу разными способами. Указанный недостаток преодолен в классификации С.Е. Царевой. Она называет более общее понятие способа «методом» решения, а частный случай – способом. Таким образом, дети могут различать и объяснять, что задача решена двумя методами (например, арифметическим и алгебраическим) и тремя арифметическими (или другими) способами [86, 87].
С.Е. Царева указывает на то, что разграничения понятий «решение задачи различными методами» и «решение задачи различными способами одного метода» позволяет детям более четко представлять себе процесс работы над задачей, не конкретизируя, какой именно способ решения они выбрали, сравнивать между собой найденные методы и способы решения. Хорошо, если младший школьник понимает то, что метод и способ решения – это разноуровневые категории, что метод включает в себя способы решения. С.Е. Царева выделяет следующие методы решения задач:
– арифметический метод, осуществляемый с помощью выполнения последовательности арифметических действий;
– алгебраический метод, основанный на решении задачи при помощи составления и решения уравнений;
– практический метод, позволяющий прийти к решению путем практического выполнения описываемых в задаче действий с реальными предметами, с их предметными или графическими моделями;
– логический метод, представляющий решение только в виде цепочки логических рассуждений;
– табличный метод, предполагающий занесение содержания задачи в соответствующим образом организованную таблицу и основанный на сравнении величин, на установлении закономерностей в изменении этих величин, на понимании их целостности в данной задаче (в то же время, этот метод всегда сопровождается арифметическим и алгебраическим методом записи решения, что не позволяет говорить о его независимости от других;
– геометрический метод, основанный на решении путем построения геометрических фигур и использовании их свойств для моделирования ситуации задачи и отыскивания ответа на ее вопрос;
– смешанный метод – решение задачи осуществляется с помощью средств, принадлежащих нескольких методам.
В практике начального обучения математике полезно развивать у младших школьников умения догадываться, подбирать ответ задачи. При таком решении задачи можно говорить о решении методом подбора (В.П. Радченко [63] или отбора, перебора Д.В. Клименченко [36]).
Е.И. Касярум [32, с. 31] выделяет еще один метод решения задач, апробированный ею в процессе обучения младших школьников решению задач разными методами и способами. Речь идет о методе предположения ответа задачи. Суть этого метода состоит в следующем. Выдвигается гипотеза: пусть ответ задачи будет таковым. Путем рассуждений и вычислений проверяется, выполняются ли при этом условия задачи. В случае, когда она не удовлетворяет условиям задачи, находят отклонение гипотезы от точного ответа. И, наконец, используя это отклонение, находят искомый ответ задачи: если отклонение отрицательно, т.е. гипотеза меньше ответа, оно прибавляется к гипотезе; если же гипотеза больше ответа, т.е. отклонение положительно, то оно вычитается из гипотезы; если же, наконец, отклонение нулевое (отклонения нет), гипотеза принимается за ответ задачи. Этот метод решения схож с методом перебора. Он идет от предположения ответа к анализу данных. Истоки этих методов можно найти еще в Арифметике Л.Ф. Магницкого [58, с. 81-89].
Методы предположения ответа и подбора редко практикуются в среднем и старшем звеньях школы, хотя в начальных классах применяются достаточно активно. Нередко при решении задач приходится выделять из данного множества возможных значений искомого некоторые, соответствующие условию задачи. Этот процесс многоступенчатый. Используя постепенно условие задачи, выделяют сначала избыточные значения искомых, затем из них по заданным признакам отбирают требуемые в задаче или показывают, что таких нет, т.е. получают решение задачи или доказывают, что его нет. В этом и заключается суть метода, в переборе и проверке чисел для нахождения ответа на вопрос задачи – решения задачи.
Учителя начальных классов не всегда принимают подбор искомого как один из методов решения текстовых задач. Исправляют учеников, не разрешают им решать задачу методом подбора, считая его не математическим, хотя и пользуются методом отбора на этапе проверки правильности решения задачи. Сами же дети активно используют этот метод, ввиду соответствия возрастным возможностям детей. Интуитивно отбирая из натуральных чисел подходящее, они находят ответ задачи.
Из характеристики методов решения следует, что для каждого из них существует определенный набор средств, позволяющих его реализовать. Знакомство с соответствующими методам решения задачи средствами происходит на всех этапах обучения математике или в жизненном опыте детей. Например, для арифметического метода – это арифметические операции; алгебраического метода – выражения с переменной и основные правила математики; практического – манипулирование предметами, их счет, присчитывание и отсчитывание; логического – рассуждения, правила построения рассуждений; табличного – таблица условия задачи, правила работы по таблице; для геометрического – геометрические фигуры, их свойства.
Возникает вопрос: как же растолковать детям, что такое метод и способ по отношению к решению задачи. Опыт показал, что после соответствующей работы ученики могут различать и называть, какими методами решена задача и сколькими способами. Различия между методами, между методом и способом для младших школьников доступно устанавливать по внешним признакам уже записанных решений. Так, арифметический метод и все его способы дети определяют по записи решения и по действиям, алгебраический – по наличию уравнения, графический – по построенному чертежу, схеме, модели, табличный – по таблице, метод перебора (подбора) – по действию перебора чисел и т.д. О решении задачи различными способами дети говорят в том случае, когда ответ задачи получен путем составления разных действий, уравнений, схем.
Итак, при этом общим внешним признаком, основой при обучении детей решению задач разными методами и способами может выступать модель задачи, понимаемая в широком ее смысле как способ математической записи текста и решения задачи. По типу математической модели текста задачи и оформлению ее решения дети различают следующие методы решения: арифметический (определенная последовательность арифметических действий), алгебраический (уравнение и его решение), геометрический (построение чертежа-схемы) и табличный (работы с таблицей). Способ решения задачи они определяют как один из вариантов данного типа модели.
Однако, взяв за основу определения метода и способа решения задачи внешний признак – модель текста задачи, невозможно под общее основание классификации подвести такие методы решения, как: логический, подбора, перебора, отбора, метод предположения ответа задачи, так как в этих случаях явная модель не строится. Последние методы характерны тем, что все они основываются на рассуждениях: логический – на логических умозаключениях, метод перебора – на рассуждениях о каждом из выбранных чисел на основе условия задачи, метод предположения ответа – на формулировании гипотезы и ее обосновании или опровержении. Общее в этих методах – характер рассуждений, на что и обращалось внимание учеников при обучении их различению данных методов решения задачи. Дети заметили, что алгебраический метод основан на особенных, присущих только ему рассуждениях: «Пусть х – это...». То же самое – особый характер рассуждений – присущ и арифметическому, и табличному методам решения задачи.
Таким образом, на основе названных двух признаков: модели задачи и характера рассуждений при поиске решения можно предложить следующую классификацию методов решения задач, наиболее приемлемых для начальной школы:
– арифметический, в основе которого лежит определенная последовательность арифметических действий;
– алгебраический – это составление по тексту задачи такого типа модели, как уравнение с последующим его решением;
– геометрический, основанный на построении схем и чертежей как одного из типов моделей задачи;
– табличный, в основе которого лежит составление таблицы в качестве модели задачи и построение рассуждений в процессе сравнения данных в строках или столбцах таблицы;
– метод подбора, заключающийся в переборе возможных значений искомого с точки зрения его соответствия условию и вопросу задачи;
– практический, включающий практическое представление описанной в задаче жизненной ситуации с помощью реальных предметов, счетного материала и т.д. как ее модели, выполнение практических действий с ними, сопровождаемых рассуждениями;
– метод предположения ответа, основывающийся на формулировании гипотезы, ее опровержении или обосновании;
– логический – построение умозаключений, позволяющих решить задачу;
– смешанный метод – комбинация двух или более выше описанных методов.
Как в начальном, так и в последующем обучении математике чаще всего практикуется именно смешанный метод решения задач. Действительно, почти во всех методах (кроме логического) используются вычисления (основа арифметического метода), а построение схемы (геометрический метод) или составление таблицы зачастую предшествуют решению по действиям или составлению уравнения. Логические рассуждения сопровождают каждый шаг при поиске решения в любом методе, а предположения помогают выйти на идею решения. Поэтому, определяя с учениками метод, которым решена или будет решаться задача, выделяется главное то, что сыграло основную роль, было наиболее интересным при решении задачи, либо обсуждается, в какой последовательности «работали» методы при смешанном их применении.
В то же время, нужно целенаправленно учить младших школьников отличать метод решения задачи и способ от формы записи решения. Детям показывается, что для записи разных способов решения задачи с последующим их сравнением и выделением рационального, удобно использовать одну и ту же форму записи – например, выражением или по действиям. Хотя понятия «способ решения» и «форма записи решения» разные, они часто смешиваются как учителями, так и детьми. Различные формы записи решения практикуются обычно при арифметическом методе решения задач:
– решение по действиям без пояснений, когда каждый этап решения записывается одним действием, последнее из них представляет собой ответ на вопрос задачи, причем смысл записанных вычислений ученики разъясняют устно;
– решение по действиям с пояснением – каждый этап решения представляет собой отдельное действие, смысл которого трактуется словесно и записывается;
– решение по действиям с вопросами – каждому действию предшествует вопрос, ответом на который является само действие, т.е. записывается план решения задачи.
Запись решения выражением, которое представляет собой математически записанные количественные отношения между данными задачи, а его значение является ответом на вопрос задачи, зачастую выполняется на основе решения по действиям как обобщение, как компактная форма записи решения. Некоторые учителя относят запись решения задачи по действиям к одному способу решения, а запись решения задачи этим же способом, но выражением – к другому. В этом случае можно говорить только о различных формах записи решения задачи одним способом. В то же время речь идет и о разных методах решения, так как запись решения последовательностью арифметических действий относится к арифметическому методу решения, а запись выражением – к алгебраическому. Утверждать, что задача решена различными способами можно только в том случае, если решения отличаются связями между данными и искомыми, положенными в основу решений.
Учителю следует иметь в виду, что каждый метод решения является более удобным для одного вида задач и менее удобным для другого вида. Эту особенность нужно учитывать при планировании работы над задачей по решению ее различными методами и способами.
Параллельно с освоением знаний о задачах и процессе решения задач необходима специальная работа по ознакомлению учащихся с методами решения и с приемами, помогающими понять задачу; с приемами, которые помогают составить план решения задачи, выполнить намеченный план, проверить правильность решения.
В связи со сказанным выше возникает вопрос о том, как формировать у учащихся умение решать задачи разными методами и несколькими способами. Варианты ответов на данный вопрос неоднократно публиковались на страницах журнала «Начальная школа» (Н.Б. Истомина [30], Д.В. Клименченко [34], С.Е. Царева [86, 87 и др.], однако в практике работы над задачами как в начальных, так и в последующих классах зачастую производят решение одним способом, объясняя это экономией времени на уроке или отсутствием в учебниках математики требования решить задачу по-разному. Это одна из причин недостаточного владения учителями методикой обучения учащихся решению задач разными способами.
Обучение каждому методу решения С.Е. Царева [84,
с. 106] рекомендует проводить по следующей схеме:
– накопление учащимися практического опыта применения данного метода по указанию учителя и с его помощью;
– осознание метода, соответствующей цепочки действий и операций как «инструмент» для осуществления решения, осознание полезности применения метода при решении задач;
– организация «целостного акта учебной деятельности» учащихся по освоению метода (от принятия каждым ребенком учебной цели: научиться решать задачи с помощью уравнения или с помощью действий с предметами до получения каждым ребенком ответа на им же поставленные вопросы: «Научился ли я решать задачи с помощью уравнения?», «Научился ли я решать задачи с помощью действий с предметами?»);
– накопление опыта решения задач с помощью изученного метода и осознание границ его применения, особенностей применения к решению задач определенных видов».
Остановимся сначала кратко на методике поиска хотя бы одного способа решения. Особенно удачно это показано Л.М. Фридманом на схеме процесса решения задачи, отражающей этапы мыслительной деятельности ребенка над любой математической задачей (Как научиться решать задачу. – М., 1989 г.).
Рис. 1
Приведем комментарии автора к схеме, отражающие поиск как одного, так и разных способов решения задачи.
1. Анализ текста задачи. Это многоцелевая работа: во-первых, перед тем как приступить к решению задачи, ученик должен усвоить условия задачи, понять ее вопрос; во-вторых, в процессе анализа текста ученик должен выделить условие и требование задачи; в-третьих, из условия задачи необходимо выделить все данные, которые можно «перевести» на язык математики.
2. Схематическая запись текста задачи, ее моделирование осуществляется в виде рисунка, чертежа, таблицы. Такая интерпретация условия задачи помогает детям осмыслить математическую структуру задачи.
3. Поиск способа решения задачи – сложная интеллектуальная деятельность. По существу поиск решения задачи начинается уже при анализе текста задачи и не заканчивается даже тогда, когда ответ получен и проверен. Методика обучения учащихся поиску решения задачи ориентируется на формирование у детей общих умений вести поиск решения аналитическим, синтетическим или аналитико-синтетическим путем. В основе аналитического пути лежит логический прием – анализ, состоящий в расчленении исследуемого объекта на составные элементы в исследовании каждого из них в отдельности. В задаче исследуемый объект описывается в требовании. Однократно или многократно расчленяя объект, приходят к составляющим, которые даны в условии задачи. Аналитический путь состоит в последовательном многократном использовании анализа, реализация которого представляет собой путь «от вопроса – к данным». Синтетический путь с помощью логического приема синтеза устанавливает связи между составными частями исследуемого объекта и изучает его как единое целое. Исследуемый объект называется в требовании задачи, а его элементы описываются в условии. Сущность синтетического метода поиска задачи состоит в установлении связей между данными условия задачи и получения, таким образом, новых данных. Затем устанавливаются связи между полученными данными и т.д., до тех пор, пока не будет получено требуемое. Это путь «от данных – к искомому». Аналитико-синтетический путь используется на практике значительно чаще. Он сочетает элементы и анализа, и синтеза.
4. Составление плана решения осуществляется по ходу процесса поиска решения, он может быть устно оговорен после нахождения идеи решения.
5. План решения упорядочивает эту идею, выделяет каждый шаг ее реализации, что в итоге упрощает запись решения задачи, которая сопровождается вычислительными или графическими приемами. В результате осуществления плана решения дети получают ответ задачи, который требует тщательной проверки. Проверка полученного ответа может быть осуществлена посредством следующих приемов:
– сверка полученного ответа с ответом, который сообщается учителем;
– прикидка ответа – определение границ, в которых должен находиться ответ;
– решение задачи другим методом или способом;
– сопоставление ответа и данных условия задачи;
– решение задачи, обратной данной.
После тщательной проверки полученного результата решения записывается ответ задачи или обосновывается его неверность и находится другой, верный ответ.
Все эти этапы решения по своей сути составляют основу решения задачи, а их разнообразие определяет специфику того или иного решения задачи. В зависимости от того, каким будет тот или другой этап процесса решения, такими особенностями будет обладать и найденный метод решения. Нахождение метода решения выступает третьим этапом процесса решения, поэтому на него накладывают свои «отпечатки» предыдущие этапы. В зависимости от анализа содержания задачи (от того, насколько ясно ребенок видит связи между данными и искомыми задачи, насколько четко представляет себе требование задачи и т.п.), ученик выбирает тот или иной путь поиска решения. Это, в свою очередь, определяет выбор метода решения задачи. Выбранная учеником схематическая запись содержания задачи вообще может изменить ход поиска решения.
Что же касается другого способа решения тем же методом, то здесь речь идет о том, что другой способ решения также зависит от особенностей предыдущих 3-х этапов, но в отличие от метода, он предполагает нахождение других отношений между данными и искомым, но того же вида. Если это арифметический метод решения, то другой его способ будет основываться на нахождении иных взаимосвязей между числовыми данными задачи посредством иной схематической записи, или анализа содержания в другом ракурсе, или выбора другого пути поиска решения. Если же задача решена алгебраически, то другой его способ будет представлять собой установление иных отношений между данными и искомыми, позволяющие составить другое уравнение.
Приведем основные приемы работы с задачей по ее решению другим методом или другим способом примененного метода, обоснованные С.Е. Царевой в статье «Различные способы решения текстовых задач» [87, с. 78].
1. Построение иной модели задачи, чем та, которая была использована при решении задачи одним методом или способом. Использование краткой записи задачи позволяет решить задачу на основе количественных отношений между данными, а чертеж к задаче иллюстрирует другие отношения, причем очень часто результаты промежуточных вычислений, позволяющие установить эти отношения, берутся из чертежа. Составление таблицы по содержанию задачи может быть настолько разновариантным, а поиск пути решения по таблице каждого варианта может идти двумя путями: по строкам и по столбцам, что табличная запись содержания задачи позволяет зачастую дать другой способ решения задачи.
2. Использование другого способа разбора задачи при составлении плана решения. Например, аналитический поиск пути решения и составление плана дает нам арифметический метод решения, а синтетический – алгебраический метод с обозначением искомого числа переменной (буквой).
3. Дополнение условия задачи сведениями, не влияющими на результат решения. Этот прием касается, прежде всего, анализа текста задачи, он может сочетаться с построением модели задачи и, особенно с приемом представления практического решения задачи, которое сопровождается привнесением в содержание задачи дополнительной информации.
4. Представление практического разрешения ситуации, описанной в задаче («Как бы это было на самом деле?»), что привлекает к поиску её решения жизненный опыт ребят, их практическую смекалку.
5. Замена данной задачи другой, по результату решения которой можно найти ответ на вопрос данной задачи. Этот прием основан на свойствах отношений «больше», «меньше», «равно» и служит средством отыскания нестандартных способов решения.
6. Явное выделение всех зависимостей в задаче. В основе этого приема лежит глубокий анализ математического содержания задачи. Прежде всего, это зависимости между величинами задачи, зависимости, основанные на пропорциональности величин: прямой и обратной и т.д.
Пользуясь этими приемами, учитель при подготовке к уроку может самостоятельно найти несколько оригинальных способов решения задачи разными методами. При руководстве коллективным решением задачи, учениками на уроке он будет обучать их применению данных приемов для отыскания «своих» способов решения.
После нахождения всех возможных методов и способов решения задачи уместно обсудить рациональность или нерациональность того или иного метода или способа. Более рациональным считается решение, которое требует выполнение меньшего числа математических операций. Но в начальной школе для ученика более легким и понятным может как раз нерациональный с точки зрения математики метод или способ.
Таким образом, младшим школьникам доступнее понимать метод с точки зрения основного средства, позволяющего найти путь решения задачи: модели ее текста (схема-чертеж, таблица, уравнение и др.) или способа построения рассуждений (подбор или отбор, предположение, логические умозаключения и др.), а способ решения – как конкретный способ прохождения пути решения с помощью выбранного средства. В начальной школе наиболее эффективно сочетание двух – трех методов решения, т.е. смешанный метод. Назвать точное число методов решения затруднительно, так как некоторые из них могут играть вспомогательную роль при использовании других методов. Наиболее распространены практический, арифметический, геометрический, алгебраический, табличный, логический методы решения, а также метод перебора, отбора и метод предположения ответа задачи.
Работа над умением учащегося решать задачи разными методами и способами должна занимать особое место в процессе обучения решения задач, сопровождая каждый этап этого процесса и входя в структуру общего умения решать задачи. Умение решать задачи любого вида разными методами и способами, записывать решение в различных формах формируются на каждом из этапов работы над задачей: при анализе текста и его моделировании, при поиске пути решения, составлении плана решения и его реализации, при проверке решения и при исследовании решенной задачи. Разработаны и практикуются приемы поиска других методов и способов решения: построение иной модели задачи, чем та, которая была использована при решении; использование другого способа разбора задачи при составлении плана решения; дополнение условий задачи сведениями, не влияющими на результат решения; представление практического разрешения ситуации, описанной в задаче; замена данной задачи другой, по результату решения которой можно найти ответ на вопрос данной задачи; явное выделение всех зависимостей в задаче.
Практический аспект работы над проблемой обучения младших школьников решению задач по-разному будет показан в следующих параграфах данной главы: методика обучения использованию моделирования для поиска разных способов решения задач, а также применение разных методов к решению задач с тройкой пропорционально связанных величин и др.
§ 2. Моделирование в поиске разных способов
решения задач
В современной начальной школе при обучении младших школьников решению задач широкое распространение получает графическое моделирование. В проекте требований к уровню подготовки выпускников начальных классов указано, в частности, что изучение математики должно предоставить возможность изображать на схемах отношения и использовать их при решении текстовых задач (газета «Начальная школа». – 2001. –№ 43. – С. 45). На примере задач из старинных учебников покажем эффективность приема графического моделирования – построение схемы к тексту задачи и преобразование её для поиска пути решения задачи. Хотя для старинных задач и были разработаны методы арифметического их решения (например, Л.Ф. Магницким), основанные на догматически предлагаемых ученикам правилах, таких как: «тройное правило», «фальшивое» или «гадательное» правило, способ решения задач на смещение веществ [58, с. 30-34]. Представляет интерес обучение универсальному методу, владение которым даст возможность ученику самостоятельно решать многие задачи, творчески подходить к решению, а не вспоминать и механически применять (как это было в старину), подходящее к задаче правило ее решения. Вместе с универсальностью приема схематического моделирования на примере старинных задач младшим школьникам можно показать и некоторые приемы «работы» с такой моделью, ее преобразования для поиска решения задачи. Остановимся на некоторых из них, наиболее приемлемых для начального изучения математики и подготавливающих ученика к осмыслению алгебраического метода решения задач составлением уравнений.
Покажем возможности графического моделирования при обучении учащихся 3-го или 4-го класса пр