Задача №3 «Дистрибуция очков», ОЧ – 2011

Условие задачи

Великий и Ужасный монополист Гудвин решил уйти в отпуск на три месяца и на это время поручил Элли, Тотошке, Трусливому льву, Страшиле и Железному дровосеку наладить продажу очков из зеленого стекла в Изумрудном городе. Продажа будет производиться в течение 3-х месяцев. Никто, кроме них, в это время продавать очки больше не будет. В начале каждого из трех месяцев каждый из продавцов должен сообщить Гудвину цену, по которой он намерен в течение месяца продавать свой товар.

Максимальное число очков, которое разрешено продать каждому из продавцов в течение первого месяца, составляет 80 штук. Если кто-то из них использует эту квоту полностью, то во втором месяце он сможет продать уже 120 штук. И, наконец, тому, кто сможет продать 120 очков во втором месяце, Гудвином будет выдано разрешение продать 180 очков в третьем месяце. Если в каком-то из месяцев продавец не использует квоту полностью, его максимальный объем продаж на следующий месяц не изменится. После окончания третьего месяца Гудвин вернется из отпуска и будет снова сам заниматься продажами.

Все 5 продавцов закупают очки у одного производителя, стоимость каждой единицы товара составляет 200 эмеральдов (денежная единица Изумрудного города). При этом известно, что ежемесячно при цене в 400 эмеральдов жители Изумрудного города будут готовы совокупно купить 800 очков, а при цене в 600 эмеральдов – 600 очков. Функция суммарного спроса жителей линейна.

Помогите героям ответить на вопросы:

(1) Каков будет этот размер максимальной прибыли за 3 месяца для всех продавцов в сумме? Какие цены на очки следует устанавливать в каждом месяце для получения это прибыли?

(2) Предположим, что Тотошка не знает, какие цены хотят установить его конкуренты, но знает, что они будут максимизировать объем продаж в течение всех трех месяцев. Какую цену ему нужно устанавливать в этом случае в 1-м, 2-м и 3-м месяцах для получения в сумме максимальной прибыли? Каков будет этот размер максимальной прибыли за 3 месяца?

Решение

1. Поскольку по условию задачи при цене в 400 эмеральдов жители Изумрудного города будут готовы совокупно купить 800 очков, а при цене в 600 эмеральдов – 600 очков, и при этом функция суммарного спроса жителей линейна, обратная функция рыночного спроса на очки выглядит как , где – количество очков, – цена на очки. Составим систему уравнений:

Отсюда , и обратная функция спроса на очки выглядит как .

Максимальную прибыль можно получить, если продавцы сговорятся друг с другом и будут действовать как монополия.

В этом случае совокупная прибыль рассчитывается по формуле: . Максимум достигается при совокупных продажах в 500 единиц. В первом месяце это недостижимо, поэтому им нужно просто продать 400 единиц (каждый реализует по 80 – достижимый максимум по условию задачи), во втором и третьем месяце – по 500 единиц. Заметим, что во втором и третьем месяцах продажи не обязательно распределять между героями поровну, главное, чтобы суммарный объем оставался равным 500 единицам.

Цена определяется в соответствии с функцией спроса. В этом случае будут получены следующие результаты:

	1 этап	2 этап	3 этап	Всего
(общий объем продаж на рынке)
(общая прибыль продавцов)	240 000	250 000	250 000	740 000

Ответ: В первом, втором и третьем месяцах нужно устанавливать цену 800, 700 и 700 эмеральдов, соответственно. Максимальная прибыль за три месяца равна740 000эмеральдов.

2. Если Тотошка знает, что все остальные максимизируют продажи, то его функция прибыли выглядит ( – количество товара, производимое Тотошкой):

· в первом месяце как , максимум при , а при существующих ограничениях при . Ему нужно установить цену: .

· во втором месяце как , максимум при , а при существующих ограничениях при . Цена .

· в третьем месяце как , максимум при . Цена .

В этом случае он получает максимальную прибыль

	1 этап	2 этап	3 этап	Всего
	48 000	48 000	19 600	115 600

Ответ: 800, 600 и 340 эмеральдов соответственно, максимальный размер прибыли 115 600 эмеральдов.