Необходимый признак сходимости ряда.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

РЯДЫ

Учебно-методическое пособие

Краснодар

УДК 517

ББК 22.12

С13

В учебно-методическом пособии использованы материалы, разработанные доцентом кафедры «Информатика и ЭММ» Миселимян Т.Л.

Рецензенты:

Доктор технических наук, профессор, факультет педагогики, психологии и коммуникативистики Куб ГУ, г. Краснодар,

Ю.И. Дударев

Кандидат педагогических наук, профессор кафедры «Информатика и ЭММ» Южного института менеджмента, г. Краснодар,

Б.А. Бурняшов

Савчук С.Б.

С13 Ряды. Учебно-методическое пособие. – Краснодар: ЮИМ, 2012. –32с.

В учебно-методическом пособии разработаны обучающий и контролирующий блоки, содержащие материал, соответствующий содержанию 6-го раздела «Ряды» учебной дисциплины «Математический анализ». Предложены тезисы-лекции, решения типовых упражнений, задания для самостоятельной работы студентов, а также варианты тестов.

Пособие предназначено для подготовки студентов направлений 080100 Экономика, 080200 Менеджмент,100400 Туризм. Оно также может быть использовано преподавателями «Математического анализа» и «Математики» в учебном процессе при систематизации учебного материала и для контроля уровня усвоения данной темы.

Рекомендовано к изданию научно-методическим советом
(протокол № 10 от 14. 06. 2012 г.)

Ó Издательство ЮИМ

Содержание

Пояснительная записка. 4

Обучающий блок. 5

Содержание лекций (тезисы) 5

Практические занятия. 14

Контролирующий блок. 25

Литература. 31

Пояснительная записка

Структура учебно-методического пособия содержит обучающий блок и контролирующий блок.

В обучающем блоке структурирован учебный материал по нескольким ведущим темам раздела «Ряды». Это позволяет систематизировать большой объем учебного материала в единую логически связанную систему. Каждая тема разбита на отдельные вопросы, определенная часть которых изучается, как правило, в течение одной лекции. Материал этого блока представлен в форме тезисов. Для выработки навыков на практических (семинарских) занятиях предлагаются решения типовых упражнений.

Контролирующий блок состоит из контрольного тестирования.

Разработанные блоки носят как учебно-методический, так и чисто практический характер. Не претендуя на полноту и окончательность теоретического и практического содержания дисциплины, пособие, по мнению авторов, должно способствовать более четкому и содержательному представлению курса Математического анализа, повысить качество формирования у студентов общекультурных и профессиональных компетенций, системы математических знаний и умений, являющихся составными компонентами экономических знаний и умений, а также способствовать повышению методической компетентности преподавателей.

Обучающий блок

Содержание лекций (тезисы)

Лекция 6.1 «Ряды»

Вопросы:

1.Числовые ряды.

2.Основные понятия.

3.Сходимость ряда.

4.Ряды с членами произвольного знака

Определение. Числовым рядом называется бесконечная последовательность чисел u₁, u₂, …, u_n, …, соединенных знаком сложения: , где u_n, – n-й член ряда.

Числовой ряд задан, если задан его общий член как функция натурального аргумента , или, если выписано несколько первых членов этого ряда.

Сумма первых n членов называется частичной суммой ряда.

Определение. Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм, то есть , – сумма ряда. Тогда , в противном случае – расходящимся.

Свойства сходящихся рядов:

1. Если ряд (упрощенная запись) сходится и его сумма равна S, то сходится и ряд и его сумма равна λS.

2. Пусть ряды и сходятся. Их суммы и . Тогда сходится и ряд .

3. Если ряд сходится, то сходится и ряд, полученный из данного путем отбрасывания (или приписывания) конечного числа членов.

4. Пусть (n-й остаток ряда), тогда сумму ряда можно записать . Для того, чтобы ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы при остаток ряда стремился к нулю, то есть .

Необходимый признак сходимости ряда.

Теорема. Если ряд сходится, то .

Следствие. Если , то ряд расходится.

Достаточные признаки сходимости положительных рядов ().

1. Признаки сравнения положительных рядов. Рассмотрим ряды и , удовлетворяющие условиям , , для любых n.

1.1. Тогда из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда следует расходимость ряда .

1.2. Если существует , то ряды и сходятся и расходятся одновременно.

1.3. Если для любых n, то из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости следует расходимость .

2. Признак Коши. Пусть , тогда:

1) если , то ряд сходится;

2) если , то ряд расходится;

3) при признак не работает.

3. Признак Даламбера. Пусть , тогда:

1) если , то ряд сходится;

2) если , то ряд расходится;

3) если , то признак не работает.

4. Интегральный признак Коши. Пусть члены ряда удовлетворяют условию и пусть - непрерывная, невозрастающая функция и такая, что , … . Тогда несобственный интеграл и ряд сходятся или расходятся одновременно.

Определение. Ряд называется знакопеременным, если он имеет бесконечное число как положительных, так и отрицательных членов.

Знакочередующийся ряд: ,

где .

Теорема. (Признак Лейбница). Если члены ряда удовлетворяют условию и , то ряд сходится, а его сумма .

Теорема (достаточный признак сходимости знакопеременного ряда). Если сходится, то сходится и .

Определение. Ряд называется абсолютно сходящимся, если ряды и сходятся. Ряд называется условно сходящимся, если ряд сходится, а ряд расходится.

Ряд называется функциональным рядом. Функции определены на множестве А. Множество значений x, при которых ряд сходится, называется областью сходимости B функционального ряда, и сумма ряда в области B является функций от x, .

– частичные суммы ряда. Если предел последовательности частичных сумм существует для любых x из множества B , то ряд называется сходящимся.

На языке кванторов это определение запишется так:

Это означает, что для разных значений при одном и том же найдутся разные значения номера N, т. е. .

Определение. Говорят, что последовательность сходится равномерно к функции на множестве Е, если для любого сколь угодно малого положительного существует такой номер N, зависящий от , что при любом n больше N () и любом x из множества B выполняется неравенство . Это определение можно записать на языке кванторов так:

Определение. Ряд сходится равномерно на множестве Е к сумме , если последовательность его частичных сумм сходится равномерно на множестве Е к сумме .

Теорема (критерий Коши равномерной сходимости). Для того чтобы ряд сходился равномерно на множестве Е, необходимо и достаточно, чтобы для любого существовал такой номер N (), что при соблюдении условий , и выполняется неравенство

Теорема (признак Вейерштрасса; достаточный признак равномерной сходимости рядов). Если члены ряда удовлетворяют неравенствам , где , – числа, не зависящие от x, и если ряд сходится, то ряд сходится на множестве Е равномерно.

Свойства равномерно сходящихся рядов:

Теорема 1. Если функции определены и непрерывны на множестве Е и ряд сходится равномерно к сумме множестве Е, то функция непрерывна на Е.

Теорема 2. Если функции непрерывны на множестве n и ряд на множестве сходится равномерно к сумме , то его можно почленно интегрировать, то есть .

Теорема 3. Пусть функции n определены на отрезке и на интервале существуют непрерывные производные . Если на множестве ряд сходится и ряд сходится равномерно, то и сумма ряда имеет на производную, причем .

Лекция 6.2 «Ряды»

Вопросы:

1.Степенные ряды.

2.Область сходимости степенного ряда.

3.Ряд Маклорена

Определение: - степенной ряд, где – числа. Совокупность тех значений х, при которых степенной ряд сходится, называется областью сходимости степенного ряда.

Область сходимости степенного ряда устанавливается теоремой Абеля:

1. Если степенной ряд сходится при значении , то он сходится и притом абсолютно, при всех значениях х таких, что .

2. Если степенной ряд расходится при значении , то он расходится при всех значениях х таких, что .

Из теоремы Абеля следует, что существует число , что при ряд сходится, а при расходится. Величину R называют радиусом сходимости. (-R, R) – интервал сходимости степенного ряда.

При значениях и ряд может, как сходиться, так и расходиться.

Свойства степенных рядов:

Пусть на любом множестве функция является непрерывной, тогда

1) степенной ряд можно почленно интегрировать на этом отрезке, ;

2) в интервале сходимости степенной ряд можно почленно дифференцировать,

После интегрирования и дифференцирования, полученные ряды имеют тот же радиус сходимости R.

Ряд Маклорена. Пусть функция f(x) является суммой степенного ряда .

При х=0 .Найдем коэффициенты C_n. Для этого вычислим производные функции в нуле.

Тогда .

Данный ряд называется рядом Маклорена. Не любая может быть разложена в ряд Маклорена.

Теорема. Для того, чтобы ряд Маклорена сходился к функции , необходимо и достаточно, чтобы при остаток ряда стремился к 0, для всех значений х из интервала сходимости.

Замечание. Ряд Маклорена – частный случай ряда Тейлора.

Ряд Тейлора тесно связан с формулой Тейлора:

- остаточный член формулы Тейлора

, .

Остаток ряда Тейлора равен остаточному члену формулы Тейлора.

Лекция 6.3 «Ряды»

Вопросы:

1.Применение рядов в приближенных вычислениях

Вычисление с заданной точностью значения функций.

Пример. Вычислить приближенно с точностью до 0,0001.

Решение. Применим разложение функции в ряд Маклорена .

При получим и знакочередующийся ряд .

По признаку Лейбница 1) ,

2) .

Значит, ряд сходится, его сумма .

=1-0,60000+0,80000-0,03600+0,00540-0,000648-0,0000648-…

Поскольку остаток ряда r_n есть знакочередующийся и сходящийся ряд, то по признаку Лейбница его величина (сумма ряда) будет по абсолютной величине не больше (n+1)-го члена ряда. Тогда

0,0000648<0,0001,.

= 0,548752 ≈ 0,5488.

Приближенное вычисление интегралов «неберущиеся» в квадратурах.

Вычислить интеграл с точностью до 0,0001.

Решение. В разложении заменим х на –х. Получим

Тогда

Перейдем к сумме интегралов, получим

= =

= 0,66667 - 0,40000 + 0,14286 - 0,03704 + 0,00758 - 0,00128 + 0,00018 - …≈ 0,37897.

Для выполнения точности вычисления оставляем пять знаков после запятой. Результат округляем согласно правилу округления чисел, получим =0,3790.

Интегрирование линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами (выше первого порядка) , вообще говоря, не приводится к квадратурам, а их решения не выражаются через элементарные функции.

Одним из методов интегрирования таких уравнений, важных для приложений, является представление искомого решения в виде степенного ряда.

Теоремы об аналитических решениях.

Теорема 1. Если все коэффициенты и правая часть линейного уравнения n- го порядка

с начальными условиями

, , …

являются аналитическими функциями в точке (разлагаются в степенные ряды по степеням в некоторой окрестности этой точки), то решение этого уравнения тоже является аналитической функцией в упомянутой окрестности.

Теорема 2. Если правая часть уравнения , , являются аналитической функцией переменных х и у в точке , (разлагается в степенной ряд по степеням , в некоторой окрестности этой точки), то существует единственное решение этого уравнения с начальным условием, являющееся аналитическим в точке .

Аналогичное утверждение справедливо и для уравнения с начальными условиями , ,… .

Практическое получение решения дифференциального уравнения в виде степенного ряда.

1). Способ последовательного дифференцирования: Искомое решение разлагается в степенной ряд по степени . Как всякий степенной ряд, он служит рядом Тейлора своей суммы, а по тому разложение имеет вид

В случае уравнения n- го порядка первые n коэффициентов , … заданы начальными условиями. Подставляя в дифференциальное уравнение , находят . Далее последовательно дифференцируя уравнение и, подставляя после каждого дифференцирования , находят , , завершается нахождение общего закона построения коэффициентов.

2). Способ сравнивания коэффициентов: Искомое решение разлагается в степенной ряд

Из начальных условий определяются коэффициенты

, , , .

Подставляют в дифференциальное уравнение вместо у, ее производных и прочих функций, входящих в уравнение, их разложение в степенные ряды по степеням и приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях , определяя из полученных уравнений коэффициенты ряда.

Практические занятия

Семинарское занятие 6.1

Числовые ряды. Знакочередующиеся ряды

1. Определить сходимость рядов:

1). ;2). .

Решение. 1). .

; . Следовательно, ряд расходится.

2). , Сравним данный ряд с гармоническим рядом . Применим предельный признак сравнения ; . Следовательно, данный ряд расходится.

2. Определить сходимость ряда, применяя признак Даламбера:

1) ;

2) .

Решение. 1). ;

, .

Следовательно, ряд сходится.

2).Ряд сходится, потому что и

3. Используя признак Коши, определить сходимость рядов:

1). ;

Решение. 1). ; = =1/2<1.

Ряд сходится.

4. Определить сходимость рядов, применяя интегральный признак Коши:

1). ;

2). .

Решение. 1). Общий член ряда . Рассмотрим функцию . Эта функция выполняет все требования теоремы Коши: непрерывна, положительна, монотонно убывающая. (Такую проверку надо делать всегда.)

Вычислим несобственный интеграл

= = = =

= . Значит, несобственный интеграл является сходящимся, следовательно, сходится и данный ряд.

2). Общий член ряда . Рассмотрим функцию . Она удовлетворяет условиям теоремы Коши. Вычислим несобственный интеграл

= = = . При параметре имеем интеграл ,который является расходящимся.

Таким образом, при параметре ряд сходится.

5. Установить сходимость рядов:

1. ;

2. ;

Решение. 1. Ряд, составленный из абсолютных величин, имеет вид , общий член . Сравним его с общим членом расходящегося ряда . . Следовательно, ряд расходится.

Применим признак Лейбница к данному знакопеременному ряду. Получим U₁>U₂>U₃>…>0, , значит, ряд сходится. И так как расходится ряд, составленный из абсолютных величин, то данный ряд сходится условно.

Ответ. Сходится условно.

2. По признаку Лейбница получим, что

, следовательно, ряд сходится. Так как ряд расходится (по интегральному признаку Коши он расходится одновременно с несобственным интегралом ), то исходный ряд сходится условно. (Ответ).

6. Определить характер сходимости рядов:

1). , ; 2). , .

Решение. 1. Применим признак Вейерштрасса, получим . Ряд - сходится, значит, ряд сходится равномерно при .

2. Вычислим модуль отношения последующего и предыдущего членов ряда, получим . Предел этого отношения равен . Следовательно, ряд сходится равномерно при любом значении х.

Задания для аудиторной работы

1. Исследовать на сходимость ряды с помощью признаков сравнения и необходимого признака сходимости:

1..

2..

3..

4..

5..

2. Определить сходимость рядов, применяя признак Даламбера:

1. ;

2. ;

3. ;

3. Определить сходимость рядов, применяя признак Коши:

1. ;

2. ;

3. .

4. Исследовать знакопеременный ряд на условную и абсолютную сходимость:

1. ;

2. .

3. ;

4..

Семинарское занятие 6.2

Степенные ряды

1. Определить радиус сходимости ряда .

Решение. . Вычислим предел

По признаку Даламбера ряд будет сходиться при значении предела . Откуда , значит, радиус сходимости равен R= .

Ответ. R= .

2. Определить область сходимости ряда , .

Решение. . Значит, ряд сходится при и расходится при .

Пусть х =1. Тогда ряд имеет вид , он сходится при и расходится при .

Пусть . Тогда - знакочередующийся ряд, и он сходится по признаку Лейбница.

Ответ. При область сходимости , при область сходимости .

3. Найти радиус и область сходимости .

Решение.

интервал сходимости .

Пусть . Тогда получим числовой ряд . Его общий член стремится к бесконечности при n→∞. Следовательно, необходимые условия сходимости ряда не выполняются. Ряд расходится.