Два многочлена f (x) и g (x) считаются равными, если равны их коэффициенты при одинаковых степенях переменной х и свободные члены (или, короче, равны их соответствующие коэффициенты). В этом случае пишут: f (x) =g (x).
Например, многочлены f (x) =x3+2x2-3x+1 и g (x) =2x2-3x+1 не равны, ибо у первого из них коэффициент при х3 равен 1, а у второго - нулю (согласно принятым условностям мы можем записать: g (x) =0x3+2x2-3x+1. В этом случае пишут: f (x) ≠g (x). Не равны и многочлены h (x) =2x2-3x+5, s (x) =2x2+3x+5, так как у них коэффициенты при х различны. А вот многочлены f1 (x) =2x5+3x3+bx+3 и g1 (x) =2x5+ax3-2x+3 равны тогда и только тогда, когда а =3, а b =-2.
Пусть даны многочлен f (x) =anxn+an-1xn-1+... +a1x+a0 и некоторое число с. Число f (c) =ancn+an-1cn-1+... +a1c+a0 называется значением многочлена f (x) при х=с.
Таким образом, чтобы найти f (c), в многочлен вместо х нужно подставить с и провести необходимые вычисления. Например, если f (x) =2x3+3x2-x+5, то f (-2) =2 (-2) 3+ (-2) 2- (-2) +5=3.
Рассмотрим многочлен f (x) =a и найдем, например, f (2). Для этого в многочлен вместо х надо подставить число 2 и произвести необходимые вычисления. Однако в нашем случае f (x) =a и переменной х в явном виде нет. Вспомним, что рассматриваемый многочлен можно записать в виде f (x) =0x+a. Теперь все в порядке, можно подставить значение х =2: f (2) =0 
2+a=a. Заметим, что для данного многочлена f (c) =a при любом с. В частности, нулевой многочлен при любом с принимает значение, равное нулю.
Вообще говоря, многочлен при различных значениях переменной х может принимать различные значения. Нас же довольно часто будут интересовать те значения х, при которых многочлен принимает значение 0. Число с называется корнем многочлена f (x), если f (c) =0.
Например, если f (x) =x2-3x+2, то числа 1 и 2 являются корнями этого многочлена, ибо f (1) =0 и f (2) =0. А вот многочлен f (x) =5 корней вообще не имеет. В самом деле, при любом значении х он принимает значение 5, а значит, никогда не принимает значение 0. Для нулевого же многочлена, как легко заметить, каждое число является корнем.
|
|
Поиск корней многочленов является одной из важнейших задач алгебры. Находить корни линейных двучленов и квадратных трехчленов учат еще в школе. Что касается многочленов более высоких степеней, то для них такая задача является весьма трудной и не всегда разрешимой. В дальнейшем мы неоднократно будем ею заниматься. А сейчас заметим только, что найти корни многочлена f (x) =anxn+an-1xn-1+... +a1x+a0 и решить уравнение anxn+an-1xn-1+... +a1x+a0=0 - это эквивалентные задачи. Поэтому, научившись находить корни многочлена, мы научимся решать соответствующие уравнения, и наоборот.
Обратим внимание на различие между двумя утверждениями: "многочлен f (x) равен нулю (или, что то же самое, многочлен f (x) - нулевой)" и "значение многочлена f (x) при х=с равно нулю". Например, многочлен f (x) =x2-1 не равен нулю, ибо у него есть ненулевые коэффициенты, а его значение при х=1 равно нулю. Короче, f (x) ≠0, а f (1) =0.
Между понятиями равенства многочленов и значения многочлена существует тесная взаимосвязь. Если даны два равных многочлена f (x) и g (x), то их соответствующие коэффициенты равны, а значит, f (c) = g (c) для каждого числа с. Другими словами, если f (c) = g (c) для каждого числа c, то равны ли многочлены f (x) и g (x)? Попробуем ответить на этот вопрос в частном случае, когда f (x) = px2 +qx+r, а g (x) = kx+m. Так как f (c) = g (c) для каждого числа с, то, в частности, f (0) = g (0), f (1) = g (1), f (-1) = g (-1).
|
|
Вычислив фигурирующие в этих равенствах значения рассматриваемых многочленов, получим систему
Из этой системы следует, что p = 0, q = k, r = m, а значит, f (x) = g (x).
Таким образом, для рассмотренного примера ответ на поставленный вопрос положителен. Оказывается, это справедливо и в общем случае, после ознакомления с некоторыми другими понятиями и утверждениями теории многочленов.