МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования

«Барановичский ГОСУДАРСТВЕННый университет»

 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 8

Определение прогиба и угла поворота сечения балки

Барановичи

БарГУ

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 8

Определение прогиба и угла поворота сечения балки

Цель работы: экспериментально определить прогиб и угол поворота сечения балки и сравнить его с теоретическим.

 

 

Теоретическая часть.

Перемещения при изгибе могут определяться двумя способами: интегрированием дифференциального уравнения изогнутой оси балки и энергетическим.

Приближенное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки имеет вид

 

(1)

где Е — модуль продольной упругости материала, для стали МПа;

J — осевой момент инерции сечения, для прямоугольного сечения.

 

; (2)

b и h — соответственна ширина и высота сечения;

— вторая производная от прогиба,

М — изгибающий момент.

Проинтегрировав уравнение (1) один раз, получают уравнение углов поворота сечений, два раза — прогибов. Метод непосредственного интегрирования дифференциального уравнения применяется лишь для балок, имеющих один участок. Если балка имеет два участка, то постоянных интегрирования будет четыре, если три — то шесть и т.д. Определение постоянных интегрирования становится очень сложной задачей. Поэтому, если балка имеет два и более участка, то применяют метод начальных параметров

 

(3)

где и — соответственно начальный прогиб, и начальный угол поворота сечения (в полюсе);

, , — соответственно внешний момент, сила, распределенная нагрузка;

и — соответственно расстояние от полюса до точки приложения момента и силы;

и — соответственно расстояние от полюса до начала и конца распределенной нагрузки.

За полюс принимают или левое, или правое крайнее сечение. В уравнение прогибов включают лишь нагрузку, действующую на участке от полюса до рассматриваемого сечения. Знаки «плюс» и «минус» перед , и принимают в зависимости от того, поднимает ли нагрузка полюс вверх («плюс») или опускает («минус»). Значения и находят из условия, что в опорах прогиб равен нулю.

Энергетический метод определения перемещений при изгибе включает теорему Кастильяно и формулу Мора. Согласно теореме Кастильяно

 

; (4)

где v — прогиб балки в точке приложения силы F по её направлению; при определении угла поворота сечения берется частная производная от потенциальной энергии U по внешнему моменту m.

Потенциальную энергию деформации находят по формуле

 

(5)

где — длина участков балки.

Если перемещение определяют в точке, где не приложена сила, то прикладывают фиктивную силу, выполняют вычисления, а затем её приравнивают нулю. Задача становится трудной и, как правило, в этом случае теоремой Кастильяно не пользуются.

Мор предложил следующую формулу для определения перемещений

 

; (6)

где — перемещение рассматриваемого сечения балки (прогиб или угол поворота);

М ₁ — изгибающий момент от единичной силы (для определения прогиба) или единичного момента (для определения поворота сечения), приложенных в рассматриваемой точке.

Если , то вместо формулы Мора можно применять правило Верещагина

 

(7)

где — площадь грузовой эпюры моментов,

— значение единичного момента под центром тяжести грузовой эпюры.

Метод интегрирования дифференциального уравнения дает формулы для определения перемещений, используя которые можно построить эпюру прогибов. По ней находят максимальный прогиб (без учета знака) и составляют условие жесткости для подкрановых балок

 

,

где — допустимый прогиб, зависит от длины пролета балки.

В зубчатых и червячных передачах ограничивают прогиб валов (червяка) в месте зацепления. Допустимый прогиб зависит от модуля зацепления. Величину прогиба удобнее определять энергетическим методом, обычно по формуле Мора.

У опор валов и осей, представляющих собой подшипники скольжения и роликоподшипники, ограничивают угол поворота сечения. При значительном угле поворота сечения ролик работает не по всей длине, а кромкой, что нежелательно. Поэтому для этих опор составляют второе условие жесткости

 

,

где — угол поворота сечения в опоре, определяют по формуле Мора,

— допустимый угол поворота сечения.

Прогиб в точке приложения внешней силы F (см. рис.1) равен

 

(8)

 

Рисунок 1 — Схема нагружения балки

Если , т.е. сила приложена посредине балки, то

 

. (9)

Угол поворота сечения А равен

 

. (10)

 

В случае, если , то

 

. (11)

 

 

Описание установки

Установка состоит (см. рис.2) из основания 1, двух стоек 2 для крепления балки 3, представляющей собой полосу прямоугольного сечения, двух индикаторов 4 и 5, рычажка 6, навески с грузом 7. Опоры балки шарнирные,

 

Рисунок 2 — Балка на двух шарнирных опорах.

 

левая — неподвижная, правая — подвижная. Рычажок 6 жестко крепится к балке, и при её прогибе поворачивается на какой-то угол. Индикатор 4 показывает перемещение конца рычажка. Учитывая, что для малых углов справедливо равенство , то угол поворота сечения в левой опоре можно определить по формуле

 

, рад (12)

где — показание индикатора, мм;

с — длина рычажка от осевой линии балки до места контакта с
индикатором, мм.

Прогиб балки определяют по индикатору 5.

Порядок проведения работы

1. Ознакомиться с устройством балки.

2. Установить навеску и индикатор на расстоянии а, заданном преподавателем.

3. Замерить размеры балки: с точностью до 1мм длину балки l и длину рычажка с, с точностью до 0,1мм ширину b и толщину h.

4. Навесить навеску без груза и установить индикатор на ноль.

5. Медленно положить выбранный груз на навеску. Снять показания индикаторов. Трижды выполнить нагружения. Данные записать в таблицу.

6. Трижды произвести нагружения при втором и третьем значениях груза.

7. Разгрузить балку. Оставлять балку нагруженной длительное время нельзя.

8. Приступить к обработке полученных данных:

а) по формуле (2) определить осевой момент инерции сечения в мм⁴;

б) по формуле (8) или (9) определить прогиб при трех выбранных значениях груза;

в) по формуле (10) или (11) определить угол поворота сечения;

г) определить средние экспериментальные значения прогибов и угол поворота сечений и сравнить их с теоретическими, найти величину погрешности по формуле

%

где D — перемещение (прогиб или угол поворота сечения).

Определить среднюю погрешность

 

9. Оформить отчет.

 

Форма отчета

Название и номер лабораторной работы.

Цель работы:

Размеры балки

Подсчеты: осевого момента инерции, прогибов, углов поворота сечения, погрешностей.

Таблица

Нагрузка, Н	Показания индикаторов, мм
прогибов	углов поворота сечения
			ср				ср

Выводы:

Контрольные вопросы:

1. Какие имеются методы определения перемещений при изгибе?

2. Когда применяется метод непосредственного интегрирования приближенного дифференциального уравнения изогнутой оси балки?

3. Когда применяют метод начальных параметров?

4. Когда применяют теорему Кастильяно?

5. Когда можно пользоваться правилом Верещагина?

6. Напишите формулу приближенного дифференциального уравнения изогнутой оси балки.

7. Напишите формулу Кастильяно.

8. Напишите формулу потенциальной энергии деформации при изгибе.

9. Напишите формулу Мора для определения перемещений сечений балки.

10. Напишите формулу Верещагина.

11. Применяется ли правило Верещагина для балок с переменным сечением?

12. Каким методом целесообразно определить прогиб у подкрановых балок?

13. Каким методом целесообразно определять перемещения в зубчатых и червячных передачах?

14. Напишите условие жесткости при изгибе для подкрановой балки.

15. Напишите условие жесткости для роликовых опор.

 

 

Методические указания подготовил

доцент, к.т.н. Л. И. Летковский