РАСЧЕТ ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЕЖНОСТИ
ПО ЭМПИРИЧЕСКИМ ДАННЫМ ПРИ МАЛОЙ ВЫБОРКЕ
Учебно-методические указания
по выполнению практической работе № 2
по дисциплине «Основы теории надежности»
УДК
ББК
К
Габбасова А.Х. Учебно-методическое указание по выполнению практической работы № 2 по дисциплине «Основы теории надежности». – Уфа: УГНТУ, 2015. – 13 с.
Учебно-методическое указание предназначено для студентов направления 151000 – Технологические машины и оборудование.
Содержание
| С | ||
| Введение | ||
| Практическая работа № 2. Расчет показателей надежности по эмпирическим данным при малой выборке | ||
| Комплект заданий к практической работе № 2 | ||
| Список использованных источников | ||
| Приложения |
Введение
Одним из основных понятий надежности является отказ – событие, заключающееся в нарушении работоспособности объекта. Отказы, возникающие в машинах, носят многопричинный, случайный характер.
Случайная величина – величина, которая в результате испытаний может принять значение, причем нельзя заранее предсказать, какое именно.
К категории случайных величин относятся показатели надёжности. Поэтому в теории надёжности широко используются методы теории вероятностей и математической статистики. Статистиками называются оценки параметров распределения, полученные по результатам испытаний.
Статистическая обработка данных испытаний производится для оценок требуемых параметров надежности.
Случайные величины, расположенные в возрастающем порядке с указанием вероятности их появления называют распределением случайных величин.
Соотношение, устанавливающее связь между значением случайных величин и вероятностью их появления, называют законом распределения.
В процессе жизненного цикла в объекте происходят различные физические процессы. Задача теории надежности заключается в выборе такого закона распределения, который наиболее полно отражает эти физические законы.
Практическая работа № 2.
Расчет показателей надежности по эмпирическим данным
При малой выборке
Цель. Для возможности прогнозирования надежности объекта выбрать закон распределения при заданных значениях наработки до отказа ряда аналогичных объектов.
В теории надежности используются следующие законы распределения:
- нормальный закон распределения;
- закон распределения Вейбула-Гнеденко;
- экспоненциальный закон.
Закон распределения может быть представлен в виде числовых осей, таблиц, графиков и аналитически. Законы распределения случайных величин описываются следующими функциями: отказности F(t), безотказности Р(t), интенсивности l(t). Для каждого закона распределения эти функции имеют свой вид. К примеру, функция l(t) имеет специфическую форму и часто используется для определения вида распределения:
- если l(t) постоянна во времени, то принимается гипотеза об экспоненциальном законе;
- l(t) имеет минимум или максимум в середине интервала, то принимается нормальный закон распределения;
- если l(t) убывает или возрастает с увеличением t, то имеет место закон Вейбула-Гнеденко
Задача 2.1
Выявить закон распределения, который отражает с высокой степенью достоверности реальную картину потери надежности объекта, работающего на нефтеперерабатывающем предприятии. Статистическая проработка позволила установить наработки до отказов ряда аналогичных объектов, ч: 123, 218, 230, 210, 234, 217, 200, 157. Оценить параметры закона распределения.
Решение
1) Определяем к какому типу относится статистическая выборка (малая или большая). Количество испытанных объектов (объем выборки) N = 8 < 20 – малая выборка.
2) Строим вариационный ряд наработки
t1 < t2 < t3 < t4 < … < tn, (2.1)
где ti - наработка до отказа i – го объекта, ч.
123 157 200 210 217 218 230 234
3) Для каждого значения определяем показатели надежности Pi(t), Fi(t), li(t). Результаты сводятся в таблицу 2.1.
В таблице 2.1 оценка вероятности безотказной работы в i-й по порядку момент времени ti определяется:
P(ti)= 
, (2.2)
где i – номер по порядку в вариационном ряду.
Оценка вероятности безотказной работы в первый по порядку момент времени t1:
P(123)= 
Вероятность отказа в i-й по порядку момент появления отказа ti оценивается как:
, или F(ti)=1 - P(ti). (2.3)
Вероятность отказа в первый по порядку момент появления отказа t1:
F(123)=1 - P(123) = 1 - 0,917 = 0,083.
Интенсивность отказов в i-й по порядку момент времени ti определяется следующим образом:
, (2.4)
где ti+1 – наработка до отказа в следующий по порядку момент времени.
Интенсивность отказов в первый по порядку момент времени t1=123 ч:
= 
Таблица 2.1 – Результаты расчетов показателей надежности
| Номер по порядку | ||||||||
| ti, ч | ||||||||
| Pi(t) | 0,917 | 0,798 | 0,680 | 0,560 | 0,440 | 0,320 | 0,202 | 0,083 |
| F(t) | 0,083 | 0,202 | 0,320 | 0,440 | 0,560 | 0,680 | 0,798 | 0,917 |
| li(t) | 0,0038 | 0,0035 | 0,0175 | 0,0310 | 0,2730 | 0,0310 | 0,1470 | - |
4) Строим гистограммы Pi(t), F(t) и график изменения li(t) во времени (рисунок 2.1).
По виду графика изменения li(t) во времени высказываем гипотезу о законе распределения.
Поскольку график изменения li(t) во времени имеет минимум и максимум в середине интервала (см. рисунок 2.1), то предполагаем, что имеет место нормальный закон распределения случайных величин наработок до отказа.
5) Оценка параметров предполагаемого закона распределения
Среднее арифметическое значение случайной величины
. (2.5)
.
Среднее квадратическое отклонение случайной величины:
. (2.6)
.
Коэффициент вариации
. (2.7)
|
|
|
|
Рисунок 2.1 - Гистограммы Pi(t), Fi(t) и график изменения li(t) во времени
6) Проверка гипотезы о предполагаемом законе распределения по критерию Колмогорова
Строим теоретическую функцию распределения значения вероятности отказа F*(t) – выравнивающую кривую изменения вероятности отказа во времени (см. рисунок 2.1).
Критерий Колмогорова определяется из графиков как наибольшее абсолютное отклонение между статистической F(t) и теоретической F*(t) функциями вероятностей отказов (см. рисунок 2.1):
Dmax=max |F*(t) - F(t)|. (2.8)
Dmax= max |F*(t) - F(t)|=0,17.
Определяем условную интенсивность:
.
Далее по справочным данным (приложение А) по значению l* определяется условная вероятность Р(l*).
Если вероятность Р(l*) не является малой (³ 0,5), то гипотеза о предполагаемом законе распределения не противоречит опытным данным.
Итак,
Р(l*) = Р(0,5) = 0,964 > 0,5.
Вывод
Поскольку условная вероятность Р(l*) > 0,5, то гипотеза о предполагаемом законе распределения не противоречит опытным данным. Для возможности прогнозирования надежности объекта принимаем нормальный закон распределения случайных величин.
Комплект заданий к практической работе № 2
Выявить закон распределения, который отражает с высокой степенью достоверности реальную картину потери надежности объекта, работающего на нефтеперерабатывающем предприятии. Статистическая проработка позволила установить наработки до отказов ряда аналогичных объектов:
| Номер варианта | Наработка до отказа аналогичных объектов, ч |
| 118, 128, 155, 140, 120, 124, 141, 152, 116, 142, 143 | |
| 965, 975, 990, 970, 967, 978, 966, 988, 1100, 1000 | |
| 223, 218, 230, 210, 234, 217, 200, 257, 233, 202, 208, 218 | |
| 313, 328, 320, 321, 324, 327, 322, 317, 350, 340 | |
| 423, 418, 430, 410, 434, 417, 400, 402, 411, 440, 442 | |
| 120, 215, 227, 207, 231, 214, 197, 154, 155, 208, 230, 200 | |
| 163, 258, 270, 250, 274, 257, 240, 197, 255, 242, 190 | |
| 589, 541, 563, 576, 523, 542, 555, 544, 505, 535, 600, 599 | |
| 128, 129, 143, 119, 116, 118, 155, 149, 142, 133, 150, 190 | |
| 225, 216, 214, 217, 230, 223, 224, 220, 215, 235, 200, 209 | |
| 122, 217, 229, 209, 233, 216, 199, 156, 201, 211, 200 | |
| 812, 821, 826, 824, 823, 822, 820, 815, 831, 828 | |
| 121, 216, 228, 208, 232, 215, 198, 155, 223, 219, 200 | |
| 827, 865, 840, 820, 830, 845, 850, 870, 819, 822, 854 | |
| 827, 865, 841, 848, 850, 874, 888, 849, 856, 869 | |
| 133, 220, 244, 227, 210, 167, 145, 159, 207, 236 | |
| 711, 725, 729, 727, 728, 712, 726, 716, 715, 733, 722, 719 | |
| 121, 215, 239, 217, 238, 212, 203, 156, 144, 219, 222 | |
| 113, 258, 230, 270, 284, 227, 231, 197, 199, 251, 236, 222 | |
| 21, 16, 28, 20, 23, 25, 19, 27, 18, 24, 30, 24, 32, 17, 21 | |
| 133, 228, 240, 220, 244, 227, 210, 167, 200, 257, 233,202, 208 | |
| 112, 121, 126, 122, 123, 124, 120, 115, 129, 143, 119, 116, 118 | |
| 212, 221, 226, 222, 223, 224, 220, 215, 257, 240, 197, 255 | |
| 312, 321, 326, 322, 323, 324, 320, 315, 328, 317, 350, 340 | |
| 412, 421, 426, 422, 423, 424, 420, 415, 402, 411, 440, 442 | |
| 512, 521, 526, 522, 523, 524, 520, 515, 526, 542, 555, 544, 505 | |
| 612, 621, 626, 622, 623, 624, 620, 615, 629, 610, 613, 603, 634 | |
| 712, 721, 726, 722, 723, 724, 720, 715, 716, 715, 733, 725 | |
| 125, 220, 232, 212, 236, 219, 202, 159, 221, 226, 222, 233, 234 | |
| 126, 221, 233, 213, 237, 220, 203, 160, 274, 257, 240, 197 |
Оценить параметры закона распределения.
В выводе необходимо подтвердить или опровергнуть гипотезу о предполагаемом законе распределения. Обосновать принятие закона распределения случайных величин для возможности прогнозирования надежности данного объекта.
Оформить отчет о практической работе № 2.
Требования к оформлению приведены в приложении Б.