Задачи на пропорциональное деление или на нахождение неизвестного по двум суммам

Гузеева Яна

НОЛк-218

Практическое занятие на тему «Решение задач с пропорциональными величинами».

Вопрос

В начальной школе задачи, связанные с пропорциональными величинами, считаются одним из сложных видов текстовых задач. Они подразделяются на:

● задачи на нахождение четвертого пропорционального;

● на пропорциональное деление;

● на нахождение неизвестных по двум разностям.

Далее рассматриваются задачи, связанные с движением.

Решение такого типа задач основывается на знании соответствующих связей между величинами. Это и вызывает трудности у младших школьников при решении задач, т. к. дети не понимают сути процесса, который рассматривается в задаче, не знают характеризующих его величин и отношений между ними. Поэтому перед решением задач проводят подготовительную работу.

На подготовительном этапе в 3 классе учащихся начинают знакомить с этими тройками величин. Обычно в качестве первой берут тройку «цена – количество – стоимость». Организуют дидактическую игру «в магазин» (канцелярский). Учитель выставляет у доски «товар» и на каждый предмет прикрепляет ценник. Разыгрывают ситуации, в процессе которых вводят понятие «цена» - стоимость одного товара, «количество» - сколько предметов купили, «стоимость» - сколько денег заплатили. Составляем тройки взаимообратных задач и учимся их записывать кратко в таблицу. Таким же образом вводят и другие тройки величин на других уроках (1 тройка величин -1 урок).

Первое знакомство с этими сложными понятиями начинаю с игры в магазин, где дети узнают о цене, количестве, стоимости и прямой зависимости между этими величинами: чем выше цена покупаемого предмета, тем больше стоимость покупки. Но, прежде, школьники должны разобраться в сути величин: число, обозначающее, сколько стоит один предмет, выражается словом «цена», а «стоимость» обозначается числом, показывающим, сколько стоят несколько одинаковых предметов. Обратную зависимость между пропорциональными величинами можно проследить, например, в задаче о расходовании материала: чем меньше расход материала, тем больше одинаковых изделий можно изготовить.

При решении таких задач детям проще составлять таблицу.

примеры задач с разными величинами:

 

Движение

Скорость

Время

Расстояние

 

Купля-продажа

Цена

Количество

Стоимость

 

Измерение массы

Масса 1 предмета

Количество предметов

Общая масса

 

Измерение длины

Длина 1 предмета

Количество предметов

Длина всех предметов

 

Объём работы

Производительность труда

Время работы

Объём работы

 

Расходование материалов

Норма расхода материала на 1 изделие

Количество изделий

Общий расход

 

Ёмкость

Скорость заполнения

Время заполнения

Объём ёмкости

 

Способы работы с таблицей:

1. Составление задачи по заполненной таблице
2. Соотнесение таблиц с текстами задач
3. Исправление ошибок в таблице
4. Сравнение таблиц, составленных к взаимо – обратным задачам;
5. Составление задачи по данному решению и запись её условия в таблице;
6. Составление таблицы по тексту задач

При введении лучше использовать практическую работу.

М3 М Ч1 стр.22

М3 М Ч1 стр.23

На этой странице учащиеся учатся решать задачи с тройками величин и учатся составлять свою задачу на нахождение цены по известным стоимости и количеству.

М3 М Ч1 стр.27

На стр. 28 учащиеся пытаются и учатся составлять задачи по таблице и решать их.

На подготовительном этапе учащиеся должны научиться решать простые задачи с тройками величии разного рода.

Позднее из этих простых задач составляют составные нетиповые задачи в два действия. Например: В шкафу было 4 пакета с сахаром по 3 килограмма в каждом и 4 кг риса. Какова масса всей покупки?

Эту задачу можно разделить на 2 простых.

1 задача – на нахождение общей массы сахара с тройкой величин.

В шкафу было 4 пакета с сахаром по 3 килограмма. Какова масса всех пакетов?

Масса одного пакета	Количество пакетов	Масса всех пакетов
3 кг	4 шт.	?

 

 

2 задача – на нахождение суммы двух величин.

В шкафу было 12 кг сахара и 4 кг риса. Какова масса всей покупки?

Далее дети находят сумму двух величин и отвечают на вопрос задачи.

 

М3М Ч2 стр. 10

Емкость (объем) одного сосуда – количество сосудов – общая емкость (объем)

М3М Ч2 стр. 17

Выработка за единицу времени (производительность) – время работы – общая выработка

М4М Ч1 стр. 46

Длина-ширина-площадь

М4М Ч2 стр. 5

Скорость-время-расстояние

В программе Моро дана практическая работа для учащихся чтобы освоить тройки взаимообратных задач, оставляя их и таблицы к ним.

Программа Истоминой

М3И Ч1 стр. 42

Масса одного предмета-количество предметов – общая масса

М3И Ч2 стр. 15

Выработка за единицу времени (производительность) – время работы – общая выработка

М3И Ч2 стр. 5, стр. 51

Длина – ширина – площадь

М3И Ч2 стр. 22

Расход на 1 вещь – количество вещей – общий расход

 

М3И Ч2 стр. 40

Цена – количество – стоимость

 

М3И Ч2 стр. 58

Емкость (объем) одного сосуда – количество сосудов – общая емкость (объем)

М4И Ч2 стр. 38

Скорость – время – расстояние

В программе Истоминой представлены основные тройки пропорциональных задач. Подробно разобраны только 2 тройки(цена,количество, стоимость;скорость, время, расстояние).

Вопрос

 

1)

	Цена	Количество	Стоимость
Р	одинаковая	2 шт.	?
Т	4 шт.	4 р.

2)

	Цена	Количество	Стоимость
Р	одинаковая	2 шт.	2 р.
Т	?	4 р.

3)

	Цена	Количество	Стоимость
Р	1 р.	одинаковая	?
Т	2 р.	10 р.

4)

	Цена	Количество	Стоимость
Р	1 р.	одинаковая	5 р.
Т	?	10 р.

5)

	Цена	Количество	Стоимость
Р	1 р.	10 шт.	одинаковая
Т	?	5 шт.

6)

	Цена	Количество	Стоимость
Р	1 р.	?	одинаковая
Т	2 р.	5 шт.

 

Все задачи на нахождение четвертого пропорционального по программе М.И. Моро вводятся постепенно в 3-4 классах. По мнению авторов, эти задачи нужно вводить друг за другом (с 1 по 6 вид). Работа с каждым видом проводиться в три этапа.

1 этап (1-2- урока) – подготовительная работа – готовим к введению задач этого вида, повторяем зависимости между величинами в тройках и решаем задачи ранее изученных видов.

2 этап (1 урок) – ознакомление с задачами этого вида. Учитель подробно вместе с детьми разбирает, как решают эти задачи. Используя всевозможные виды моделей (реальную, графическую, схематическую и т.д.). В результате дает ученикам образец решения подобных задач. Задачи этого вида могут быть с любой тройкой величин.

3 этап – формирование умения решать задачи данного вида (продолжительный этап). На этом этапе решают множество подобных задач на разных тройках величин, чтобы не сформировать шаблона мышления, рекомендуют включать так же задачи ранее изученных видов.

Программа Моро

Анализ учебников по программе М.И. Моро за 3-4 классы показывает, что этот замысел автора реализовался не в полном объеме; задачи 1-2 видов вводятся таким образом, а методика введения остальных видов задач нарушена, т.к. нет специальных уроков их введения и недостаточно задач этих видов для формирования умения. Чтобы исправить этот недостаток учебника, учитель должен сам построить тематический план ознакомления с задачами каждого из 6 видов (1 вид = 1-2 недели).

Обучая детей решению таких задач, не забываем о формировании общих умений решать задачи (4 группы умений).

 

1-4 вид отражают прямопропорциональную зависимость. Например, чем больше цена (количество), тем больше стоимость при постоянном количестве (цене). Их вводят в 3 классе.

5 – 6 вид задач на обратнопропорциональную зависимость. Например, чем больше цена, тем меньше количество при постоянной стоимости и наоборот. Их вводят в 4 классе.

Представление об этих зависимостях формируется у детей постепенно в процессе решения таких

Вид задач

М3 М Ч1 стр.46

На стр.46 по программе Моро вводят 1-4 вид задач, которые отражают прямопропорциональную зависимость. В данном случае чем больше количество дней, тем больше расход овощей при одинаковом расходов овощей за 1 день.

М3М Ч1 стр. 46

М3М Ч1 стр. 46

Цена	Количество	Стоимость
Одинаковая	6 м.	18 р.
9 м.	?

Вид

М3М, ч.1, стр. 82

В одной банке	Количество	Всего
Одинаково	6 б.	18 кг.
?	24 кг.

М3М Ч1 стр. 95

Расход семян на 1 кг масла	Количество масла	Общий расход семян
Одинаковый	6 кг.	30 кг.
? кг.	25 кг.

Вид

М3М Ч1 стр. 83

Длина рулона	Количество рулонов	Общая длина обоев
7 м.	Одинаковое	35 м.
10 м.	? м.

М3М Ч1 стр. 85

Масса одного ящика	Количество ящиков	Масса всех ящиков
Слив – 8 кг.	Одинаковое	48 кг.
Груш – 9 кг.	? кг.

 

Далее учитель сам продумывает введение остальных видов(4-6 виды)

Вид

За кусок красной ткани по 6 руб. за метр заплатили 12 руб., а за кусок желтой ткани такой же длины уплатили 10 руб. По какой цене покупали жёлтую ткань?

	Цена	Количество	Стоимость
К	6 р.	одинаковое	12 р.
Ж	?	10 р.

Вид

За 4 браслета ценой по 14 руб. заплатили столько же, сколько за 2 шапки. По какой цене покупали шапки?

Цена	Количество	Стоимость
14 р.		одинаковая
?

Вид

За 2 шапки ценой по 28 руб. уплатили столько же, сколько за детские пальто ценой по 14 руб. Сколько купили детских пальто?

Цена	Количество	Стоимость
28 р.		одинаковая
14 р.	?

Вопрос 3

Задачи на пропорциональное деление или на нахождение неизвестного по двум суммам

В 4 классе вводят задачи на нахождение неизвестного по двум суммам или задачи на пропорциональное деление.В этих задачах одна величина постоянна, два значения другой величины даны, а два значения третей величины неизвестны, но дана их сумма.

Их тоже 6 видов, но в начальных классах изучают только первые четыре вида.

1)

	Цена	Количество	Стоимость
Р	одинаковая	2 шт.	? 6 р. ?
Т	4 шт.

2)

	Цена	Количество	Стоимость
Р	одинаковая	? 6 ш. ?	2 р.
Т	4 р.

3)

	Цена	Количество	Стоимость
Р	1 р.	одинаковое	12 р. ? ?
Т	2 р.

4)

	Цена	Количество	Стоимость
Р	? 3 р. ?	одинаковое	4 р.
Т	8 р.

5)

	Цена	Количество	Стоимость
Р	? 7 р. ?	3 шт.	одинаковая
Т	4 шт.

6)

	Цена	Количество	Стоимость
Р	4 р.	? 7 ш. ?	одинаковая
Т	3 р.

 

● 1 – 4 вид задач — это задачи на прямо пропорциональную зависимость;

● 5 – 6 вид – на обратно пропорциональную зависимость.

Программа Моро

Методика их изучения по программе Моро М.И. такая: каждый вид вводят по очереди в три этапа:

1) Подготовка;

2) Ознакомление;

3) Формирование умения решать такие задачи.

Не все 6 видов задач есть в учебнике(5 и 6 виды задач учитель сам продумывает тематический план их введения).

Вид

М4М Ч1 стр. 86

Вид

М4М Ч1 стр. 86

Самостоятельное планирование учителя

Вид

В магазине продали одинаковое количество тетрадок и ручек. Тетрадь стоила 30 рублей, а ручка 20 рублей. За все проданные предметы получили 150 рублей. Сколько стоили все тетради и ручки в отдельности?

	Цена	Количество	Стоимость
Тетрадь	30 р.	одинаковое	? ? 150
Ручка	20 р.

Вид

В магазине продали одинаковое количество тетрадок и ручек. Тетрадь с ручкой стоили 50 рублей. За все тетради получили 90 рублей, а за все ручки 60 рублей. Сколько стоили тетрадь и ручка в отдельности?

	Цена	Количество	Стоимость
Тетрадь	? ? 50	одинаковое	90 р.
Ручка	60 р.