Литература: [Л.1], стр. 300-301
[Л.2], стр. 466-473
[Л.3], стр. 264-269
Решение задачи преобразования случайных сигналов линейными радиотехническими цепями осуществлялось спектральным методом. При этом, определялись характеристики 
, 
, 
при известных 
и комплексном коэффициенте передачи цепи 
. Что касается функции распределения 
или плотности вероятности 
значений выходного процесса, то задача их определения является достаточно сложной и поддается решению лишь в отдельных частных случаях.
При решении задачи преобразования случайного процесса нелинейными цепями, наоборот, плотность вероятности 
определяется сравнительно просто, а определение 
и 
сопряжено со значительными трудностями. Поэтому, постановка задачи преобразования СП нелинейными цепями отличается от постановки задачи преобразования СП линейными инерционными цепями.
Напомним, что основной характеристикой нелинейного безынерционного элемента является вольт – амперная характеристика
, (6.28)
где 
– входной сигнал,
– выходной сигнал нелинейного элемента.
Отметим, что входной и выходной сигналы связаны детерминированной функциональной зависимостью 
.
Так как в рассмотренном случае входной и выходной сигналы являются случайными процессами, т.е.
, 
,
то выражение (6.28) можно записать так
. (6.29)
Сформулируем теперь задачу. На вход безынерционного нелинейного элемента, описываемого характеристикой (6.29) поступает стационарный случайный процесс 
с известной плотностью вероятности 
(рис. 6.9). Необходимо определить плотность распределения вероятности 
выходного процесса 
. Задачу будем решать при следующих предположениях:
– входной процесс 
является стационарным эргодическим процессом;
– существует и известна функция
, (6.30)
обратная функции 
.
Изобразим на рис. 6.10 а) зависимость 
и реализации входного и выходного случайных процессов.
Поскольку процесс подвергается неслучайному функциональному преобразованию 
этому же преобразованию подвергается и плотность вероятности 
. На рис. 6.10б показана характеристика 
и кривые плотности вероятности 
и входного и выходного случайных процессов.
Установим соответствие между и . Выберем некоторое значение 
входного процесса. Этому значению однозначно соответствует значение 
выходного процесса. Придадим значению 
элементарное приращение 
. Этому приращению будет соответствовать элементарное приращение 
выходного процесса. Так как зависимость 
однозначна, то вероятность того, что значение случайной величину 
будет находиться в пределах 
, должна быть равна вероятности того, что случайная величина 
будет находится в пределах 
, т.е.
. (6.31)
Но, с другой стороны
,
.
Тогда (6.31) можно представить следующим образом
, (6.32)
откуда следует
. (6.33)
Производная в (6.33) вычисляется по абсолютной величине (по модулю) в силу того, что функция 
может быть отрицательной, а плотность вероятности 
всегда положительна.
Так как по условию задачи известна функция обратная , т.е. 
, то (6.33) можно записать так
. (6.34)
Выражение (6.34) является основным результатом решения задачи нелинейного преобразования.
Если функция 
неоднозначна (имеет несколько ветвей (рис. 6.10 в)), то (6.34) принимает вид
. (6.35)
Перейдем к определению вероятностных характеристик выходного процесса. Математическое ожидание при известном 
определяется следующим образом
.
Но с другой стороны, учитывая (6.32), а также 
, получим
. (6.36)
Аналогично, для дисперсии
. (6.37)
Расчеты по этой формуле достаточно просты, если допускает степенную аппроксимацию.
Выражение (6.34) позволяет найти при конкретном виде зависимости 
. Так, пусть на вход нелинейного элемента с характеристикой 
, 
поступает случайный сигнал с нормальной одномерной плотностью вероятности (рис. 6.11)
. (6.38)
Найдем функцию, обратную функции
.
Модуль первой производной
.
Далее отметим, что функция 
двузначна (имеет две ветви) и сигнал 
при любом 
принимает неотрицательные значения.
С учетом отмеченных обстоятельств, воспользовавшись (6.35) запишем:
Но для нормального закона (6.38)
,
Тогда окончательно получим
На рис. 6.11 изображена кривая плотности вероятности .
Контрольные вопросы к главе 6
1. Почему спектральный метод является наиболее эффективным для вычисления математического ожидания, автокорреляционной функции, дисперсии и энергетического спектра случай-ного процесса на выходе линейной радиотехнической цепи?
2. Что такое широкополосный случайный процесс?
3. Как преобразуется случайный процесс при прохождении через дифференцирующую и интегрирующую цепи?
4. Назовите статистические характеристики процесса на выходе резонансного усилителя, если на вход подать «белый шум».
5. Чем отличается преобразование случайных процессов нелинейными цепями от их преобразования частотно-избирательными цепями?
6. Изобразите энергетический спектр и автокорреляционную функцию широкополосного случайного процесса на выходе усилителя.
7. Почему автокорреляционная функция на выходе усилителя имеет колебательный характер?
8. Какие характеристики необходимо вычислить при преобразовании случайных сигналов нелинейными цепями?