Краевая задача для уравнения колебаний струны




Программа зачета по Уравнениям мат. физики 2011 – 2012 уч.год.

Глава 1. Задачи математической физики. (z1)

Классификация уравнений второго порядка.

1. Опр. Уравнение 2-го порядка с 2-ми независимыми переменными; (24)

2. Типы уравнений; (25)

3. Вывод ; (26 -27)

4. Инвариантность типа при замене переменных; (27)

5. Опр. Характеристическое уравнение для исходного; (28-29)

6. Опр. Характеристики; (29)

7. Лемма 1 – об общем интеграле; (30)

8. Гиперболический тип. Канонический вид уравнения для гиперболического случая (2 вида); (31-32)

9. Параболический тип. Канонический вид уравнения для параболического случая; (33)

10. Эллиптический тип. Канонический вид уравнения для эллиптического случая; (34-35)

11. Классификация уравнений 2-го порядка со многими независимыми переменными; (36-39)

 

Постановка задач мат.физики.

12. Решение уравнений мат.физики; (40-41)

13. Колебания однородной струны длины l. Краевая задача для уравнения колебаний струны; (42-43)

14. Колебания бесконечной струны. Задача Коши для уравнения колебаний струны; (44)

15. Постановка задачи для уравнения эллиптического типа. Задача Дирихле; (45)

16. Задача мат.физики. Исходные данные; (46)

17. Опр. Устойчивое решение; (46)

18. Устойчивость решения для задачи Дирихле; (47)

19. Опр. Корректно поставленная задача; (47)

20. Пример Адамара – некорректно поставленная задача; (48-49)

 

Глава 2. Уравнения гиперболического типа.

 

Задача Коши для уравнения колебаний струны

1 – Однородный случай:

21. Постановка задачи (1) – (2); (1 – z2)

22. Опр. Решение задачи Коши (1)-(2); (2 – z2)

23. Нахождение общего решения (1)-(2); (2-5 – z2)

24. Формула Даламбера; (5 – z2)

25. Теорема 1 – о единственности и существовании решения задачи Коши (1)-(2); (5-6 – z2)

26. Опр. Устойчивость решения задачи Коши (1)-(2); (7 – z2)

27. Лемма 1 – о чётности/нечётности функций ; (8 – z2)

28. Замечание 1 – о бегущих волнах; (8-9 – z2)

2 – Неоднородный случай:

29. Решение неоднородного уравнения колебаний струны; (10-12 – z2)

30. Теорема 2 – о единственности, существовании и способе задания решения задачи Коши (6); (12 – z2)

31. Замечание 2 – зависимость решения u(x,t) от исходных данных; (13 – z2)

32. Задача для полубесконечной струны; (14-16 – z2)

33. Замечание 3; (16 – z2)

 

Краевая задача для уравнения колебаний струны

34. Краевая задача (1)-(3); (17 – z2)

35. Опр. Решение задачи (1)-(3); (17 – z2)

36. Вывод краевой задачи Штурма – Лиувилля (8)-(9); (18-19 – z2)

37. Опр. Собственные значения; (20 – z2)

38. Опр. Собственные функции; (20 – z2)

39. Опр. Спектр; (20 – z2)

40. Нахождение собственных значений и собственных функций краевой задачи (8)-(9); (21-22 – z2)

41. Стоячие волны (формула для них); (23 – z2)

42. Решение краевой задачи (1)-(3) в виде суммы стоячих волн; (23-24 – z2)

43. Теорема 1 – о том, что ф-ия u(x,t), определяемая (17)-(18) – решение краевой задачи (1)-(3); (24-28 – z2)

2) Единственность решения краевой задачи. Интеграл энергии.

44. Теорема 2 – о единственности решения краевой задачи (1)-(3); (29-30 – z2)

45. Интеграл энергии; (29 – z2)

3) Метод Крылова(31-33 – z2)

46. Краевая задача для неоднородного уравнения колебаний струны; (31 – z2)

4) Общая схема разделения переменных

4.1:

47. Неоднородное уравнение колебаний струны; (1-3 – z3)

48. Задача Штурма – Лиувилля (34)-(35); (3 – z3)

4.2: Свойства собственных значений и собственных функций задачи (34)-(35)(5-7 – z3)

49. Функция Δλ – характеристическая функция для L; (6 - z3)

50. Теорема 3 – о собственных значениях краевой задачи и собственных ф-ях (7-8 – z3)

- весовые числа для L; (8 – z3)

52. Лемма 1 - о справедливости соотношения ; (9-10 – z3)

53. Теорема 4 – о вещественности собственных значений и ф-й задачи L. Ортогональность собственных ф-й; (11-13 – z3)

54. Пример; (14 – z3)

55. Замечание (; (15 – z3)

56. Лемма 2 – о справедливости асимптотических формул; (16 – z3)

57. Символы Ландау; (17 – z3)

58. Доказательство леммы 2; (18-22 – z3)

59. Теорема 5 – о счётном множестве собственных значений; (23-31 – z3)

60. Теорема Руше; (24 – z3)

61. Асимптотика весовых чисел ; (в доказательстве) (31 – z3)

62. Теорема 6 – о полноте системы собственных функций + РАВЕНСТВО ПАРСЕВАЛЯ; (32 – z3)

63. Доказательство: функция Грина для L; решение краевой задачи; контурный интеграл ; ; (33-41 – z3)

64. Сведение задачи Штурма – Лиувилля (34)-(35) к (37)-(38); (42-50 – z3)

65. Теорема 7 – 1) ; 2) ортогональность собственных функций в 3) равномерная сходимость ряда F(x); (51-54 – z3)

4.3:

66. Какая-то фигня))) (55-59 – z3)

 

Задача Гурса

67. Решение гиперболического ур-ия с данными на характеристиках (задача на характеристиках); (1-2 – z4)

68. Опр. Решение задачи (1)-(2); (2 – z4)

69. Теорема 1 – о существовании и единственности решения задачи (1)-(2); (2-4 – z4)

70. Решение (4) методом последовательных приближений; (5-8 – z4)

71. Опр. Устойчивость решения задачи Гурса; (9 – z4)

72. Доказательство того, что решение задачи (1)-(2) устойчиво (корректно поставлено); (9-10 – z4)

73. Другой канонический вид гиперболического уравнения (11-14 – z4)

74. Вид задачи Гурса (15)-(16); (14 – z4)

75. Теорема 2 – о существовании и единственности решения задачи Гурса (12)-(13); (14-15 – z4)

 

Метод Римана

76. Задача Коши (1)-(2); (16 – z4)

77. Опр. Решение задачи (1)-(2); (16 – z4)

78. Вывод формулы Римана; (16-23 – z4)

79. Формула Римана; (23 – z4)

80. Пример 1; (24 – z4)

81. Пример 2; (25-28 – z4)

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2018-01-08 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: