Программа зачета по Уравнениям мат. физики 2011 – 2012 уч.год.
Глава 1. Задачи математической физики. (z1)
Классификация уравнений второго порядка.
1. Опр. Уравнение 2-го порядка с 2-ми независимыми переменными; (24)
2. Типы уравнений; (25)
3. Вывод 
; (26 -27)
4. Инвариантность типа при замене переменных; (27)
5. Опр. Характеристическое уравнение для исходного; (28-29)
6. Опр. Характеристики; (29)
7. Лемма 1 – об общем интеграле; (30)
8. Гиперболический тип. Канонический вид уравнения для гиперболического случая (2 вида); (31-32)
9. Параболический тип. Канонический вид уравнения для параболического случая; (33)
10. Эллиптический тип. Канонический вид уравнения для эллиптического случая; (34-35)
11. Классификация уравнений 2-го порядка со многими независимыми переменными; (36-39)
Постановка задач мат.физики.
12. Решение уравнений мат.физики; (40-41)
13. Колебания однородной струны длины l. Краевая задача для уравнения колебаний струны; (42-43)
14. Колебания бесконечной струны. Задача Коши для уравнения колебаний струны; (44)
15. Постановка задачи для уравнения эллиптического типа. Задача Дирихле; (45)
16. Задача мат.физики. Исходные данные; (46)
17. Опр. Устойчивое решение; (46)
18. Устойчивость решения для задачи Дирихле; (47)
19. Опр. Корректно поставленная задача; (47)
20. Пример Адамара – некорректно поставленная задача; (48-49)
Глава 2. Уравнения гиперболического типа.
Задача Коши для уравнения колебаний струны
1 – Однородный случай:
21. Постановка задачи (1) – (2); (1 – z2)
22. Опр. Решение задачи Коши (1)-(2); (2 – z2)
23. Нахождение общего решения (1)-(2); (2-5 – z2)
24. Формула Даламбера; (5 – z2)
25. Теорема 1 – о единственности и существовании решения задачи Коши (1)-(2); (5-6 – z2)
26. Опр. Устойчивость решения задачи Коши (1)-(2); (7 – z2)
27. Лемма 1 – о чётности/нечётности функций 
; (8 – z2)
28. Замечание 1 – о бегущих волнах; (8-9 – z2)
2 – Неоднородный случай:
29. Решение неоднородного уравнения колебаний струны; (10-12 – z2)
30. Теорема 2 – о единственности, существовании и способе задания решения задачи Коши (6); (12 – z2)
31. Замечание 2 – зависимость решения u(x,t) от исходных данных; (13 – z2)
32. Задача для полубесконечной струны; (14-16 – z2)
33. Замечание 3; (16 – z2)
Краевая задача для уравнения колебаний струны
34. Краевая задача (1)-(3); (17 – z2)
35. Опр. Решение задачи (1)-(3); (17 – z2)
36. Вывод краевой задачи Штурма – Лиувилля (8)-(9); (18-19 – z2)
37. Опр. Собственные значения; (20 – z2)
38. Опр. Собственные функции; (20 – z2)
39. Опр. Спектр; (20 – z2)
40. Нахождение собственных значений и собственных функций краевой задачи (8)-(9); (21-22 – z2)
41. Стоячие волны (формула для них); (23 – z2)
42. Решение краевой задачи (1)-(3) в виде суммы стоячих волн; (23-24 – z2)
43. Теорема 1 – о том, что ф-ия u(x,t), определяемая (17)-(18) – решение краевой задачи (1)-(3); (24-28 – z2)
2) Единственность решения краевой задачи. Интеграл энергии.
44. Теорема 2 – о единственности решения краевой задачи (1)-(3); (29-30 – z2)
45. Интеграл энергии; (29 – z2)
3) Метод Крылова(31-33 – z2)
46. Краевая задача для неоднородного уравнения колебаний струны; (31 – z2)
4) Общая схема разделения переменных
4.1:
47. Неоднородное уравнение колебаний струны; (1-3 – z3)
48. Задача Штурма – Лиувилля (34)-(35); (3 – z3)
4.2: Свойства собственных значений и собственных функций задачи (34)-(35)(5-7 – z3)
49. Функция Δλ – характеристическая функция для L; (6 - z3)
50. Теорема 3 – о собственных значениях краевой задачи и собственных ф-ях 
(7-8 – z3)
- весовые числа для L; (8 – z3)
52. Лемма 1 - о справедливости соотношения 
; (9-10 – z3)
53. Теорема 4 – о вещественности собственных значений и ф-й задачи L. Ортогональность собственных ф-й; (11-13 – z3)
54. Пример; (14 – z3)
55. Замечание (; (15 – z3)
56. Лемма 2 – о справедливости асимптотических формул; (16 – z3)
57. Символы Ландау; (17 – z3)
58. Доказательство леммы 2; (18-22 – z3)
59. Теорема 5 – о счётном множестве собственных значений; (23-31 – z3)
60. Теорема Руше; (24 – z3)
61. Асимптотика весовых чисел 
; (в доказательстве) (31 – z3)
62. Теорема 6 – о полноте системы собственных функций + РАВЕНСТВО ПАРСЕВАЛЯ; (32 – z3)
63. Доказательство: функция Грина для L; решение краевой задачи; контурный интеграл 
; 
; (33-41 – z3)
64. Сведение задачи Штурма – Лиувилля (34)-(35) к (37)-(38); (42-50 – z3)
65. Теорема 7 – 1) 
; 2) ортогональность собственных функций в 
3) равномерная сходимость ряда F(x); (51-54 – z3)
4.3:
66. Какая-то фигня))) (55-59 – z3)
Задача Гурса
67. Решение гиперболического ур-ия с данными на характеристиках (задача на характеристиках); (1-2 – z4)
68. Опр. Решение задачи (1)-(2); (2 – z4)
69. Теорема 1 – о существовании и единственности решения задачи (1)-(2); (2-4 – z4)
70. Решение (4) методом последовательных приближений; (5-8 – z4)
71. Опр. Устойчивость решения задачи Гурса; (9 – z4)
72. Доказательство того, что решение задачи (1)-(2) устойчиво (корректно поставлено); (9-10 – z4)
73. Другой канонический вид гиперболического уравнения (11-14 – z4)
74. Вид задачи Гурса (15)-(16); (14 – z4)
75. Теорема 2 – о существовании и единственности решения задачи Гурса (12)-(13); (14-15 – z4)
Метод Римана
76. Задача Коши (1)-(2); (16 – z4)
77. Опр. Решение задачи (1)-(2); (16 – z4)
78. Вывод формулы Римана; (16-23 – z4)
79. Формула Римана; (23 – z4)
80. Пример 1; (24 – z4)
81. Пример 2; (25-28 – z4)