Условия интерференционных максимумов и минимумов.

Явление интерференции.

Интерференцией называется наложение двух или нескольких когерентных волн, в результате которого в различных точках пространства наблюдается их взаимное усиление или гашение. Интерференция присуща всем видам волн и наблюдение ее для света отражает его волновую природу.

Когерентными называются волны с постоянной (не зависящей от времени) разностью фаз. Запишем уравнения двух гармонических электромагнитных волн

, (1)

, (2)

- напряженность электрического поля первой волны (в оптике ее называют световым вектором), - второй; и - амплитуды напряженностей; и - циклические частоты колебаний электромагнитного поля; и - волновые числа; и - расстояния, пройденные волнами в момент времени ; и - начальные фазы колебаний. Фаза первой волны

и второй

.

Разность фаз

(3)

не зависит от времени, если только = , т.е. условию когерентности удовлетворяют только монохроматичные волны одинаковой частоты = = .

Рассмотрим сложение двух волн с одинаковыми частотами и одинаковыми начальными фазами ,

и . (4)

Результатом сложения будет волна, амплитуда которой определяется методом векторных диаграмм (рис.1). По этому методу представляет собой диагональ параллелограмма со сторонами , и может быть найдена по теореме косинусов

. (5)

Рис.1.

Учитывая, что интенсивность света пропорциональна квадрату амплитуды светового вектора, ~ , получаем, что интенсивность результирующей волны связана с интенсивностями первой и второй волны соотношением

. (6)

Для некогерентных волн разность фаз (, а, следовательно, и значение , меняются хаотично. Любой оптический прибор, и глаз в том числе, обладает инерционностью и регистрирует среднее значение < > за некоторый промежуток времени. Для глаза, например, наименьшее время восприятия ~0,1 с, а время когерентности солнечного света ~10^-6 с (в течение этого времени разность фаз колебаний светового вектора в данной точке пространства можно считать постоянной). Т.к. среднее значение < > равно нулю, то во всех точках пространства, где накладываются некогерентные волны, интенсивность света

(7)

Разность фаз когерентных волн будет иметь различное значение в разных точках пространства. Как следует из (5) и (6), амплитуда и интенсивность результирующей волны теперь не постоянны по величине, а зависят от значения . В точках, где =1, интенсивность будет иметь максимальное значение

. (8)

В точках, где = , интенсивность будет минимальна

. (9)

Таким образом, для когерентных волн наблюдается чередование амплитуды и интенсивности результирующей волны: в одних точках пространства происходит усиление колебаний при их наложении, а в других – ослабление.

 

Условия интерференционных максимумов и минимумов.

Т.к. максимум интенсивности света достигается, если =1, то разность фаз волн в этом случае

, или , (10)

=0,1,2,3,…. Тогда происходит синфазное наложение двух волн, гребень одной волны накладывается на гребень другой и происходит их взаимное усиление.

В точках минимума, где накладываются гребень одной волны и впадина другой, = . При этом

, или . (11)

Пусть световая волна от первого источника (Р₁ на рис.2) до данной точки М пространства проходит путь , распространяясь в среде с показателем преломления , а волна от второго источника (Р₂ на рис.2) до этой же точки проходит путь в среде с показателем преломления . Величина

(12)

называется оптической разностью хода волн, а - оптической длиной пути.

Рис.2.

 

Разность фаз и оптическая разность хода волн, приходящих в точку наблюдения, связаны между собой. Запишем разность фаз двух волн, представленных уравнениями (4)

.

Показатель преломления среды .

- скорость света в вакууме, - скорость света в среде, - длина волны света в вакууме (она примерно совпадает с длиной волны света в воздухе; для воздуха показатель преломления 1), - в среде, - частота колебаний электромагнитного поля.

Тогда

, или

. (13)

Подставим в (13) условия максимумов (10) для разности фаз:

.

Отсюда получаем, что в точках максимума интенсивности оптическая разность хода должна удовлетворять условию

. (14)

Соответственно, подставляя в (13) условие (11), получаем, что в местах минимума интенсивности

, (15)

=0,1,2,3,….

 

Метод Юнга.

Два обычных (нелазерных) источника света не дают когерентных волн – от двух ламп или двух свечей интерференция не наблюдается. Причина в том, что атомы в нагретых телах, многократно переходя из возбужденного в нормальное состояние, излучают свет прерывисто, в виде последовательных импульсов («цугов» волн). Продолжительность излучения одного цуга атомом составляет примерно 10^-8 с. Цуги волн, излучаемые различными атомами, не согласованы между собой, более того, различные цуги даже одного атома являются некогерентными и не дают устойчивой интерференционной картины. Для получения когерентных световых волн волновой цуг от одного источника разделяют на две части, которые могут проходить различные пути до точки наблюдения.

Один из методов такого наблюдения интерференции света – метод Юнга. Схема наблюдения интерференции по методу Юнга показана на рис.3. Свет из узкой щели падает на непрозрачный экран с отверстиями и , расстояние между которыми равно . Волны, прошедшие через эти отверстия, перекрываясь, создают интерференционную картину на экране, которая в монохроматическом свете представляет собой ряд чередующихся темных и светлых полос.

Рис.3.

 

Интенсивность света в зависимости от расстояния от центра экрана имеет вид периодической функции с постоянной амплитудой (см. рис.3).

 

Рис.4.

 

Определим положение центров светлых и темных полос на экране. От источника до произвольной точки луч проходит расстояние , от источника - расстояние (рис.4). Расстояние от преграды с отверстиями , до экрана обозначим , расстояние от центра экрана О до точки наблюдения обозначим . Из треугольников и следует

,

.

Отсюда , или,

. (16)

Т.к. всегда << и << , то лучи 1 и 2 идут почти параллельно и

() 2 . (17)

Оба луча распространяются в воздухе, показатель преломления которого 1. Тогда оптическая разность хода лучей равна их геометрической разности

. (18)

Учитывая (16) и (17), получаем из (18)

.

Отсюда

. (19)

Подставим в (19) условия максимумов для оптической разности хода (). Тогда координаты светлых полос на экране

, =0,1,2,3,…. (20)

Аналогично, подставляя условия минимумов, , получим координаты темных полос

, =0,1,2,3,…. (21)

Расстояние между соседними максимумами или минимумами, которое называют шириной интерференционной полосы, равно

(22)

и является постоянной величиной, не зависящей от номера полосы.

В опыте Юнга видимость интерференционных полос на экране зависит от степени когерентности «источников» и , испускающих интерферирующие волны. Если свет излучается протяженным источником , множество атомов которого испускают волны независимо друг от друга, то разность фаз колебаний в точках и - случайная функция времени. Степень когерентности «источников» и уменьшается с увеличением расстояния между ними. Рассмотрим плоскость, перпендикулярную направлению распространения волны от протяженного источника . Когерентность колебаний, происходящих в данный момент в разных точках этой плоскости, называют пространственной когерентностью. Расстояние между двумя точками этой плоскости, в которых случайное изменение разности фаз колебаний равно 2 , называют длиной пространственной когерентности . В схеме Юнга расстояние между «источниками» и должно быть меньше длины когерентности (). Луч лазера имеет пространственную когерентность по всему сечению луча. Для обычных источников (лампа, Солнце) длина когерентности

,

- протяженность источника, - расстояние от источника до двух рассматриваемых точек ( и на рис.2), - угловой размер источника. Например, для солнечных лучей (угловой размер Солнца на Земле и м) длина когерентности составляет всего 0,05мм. С этим связана трудность наблюдения интерференции в солнечном свете.

ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ.

 

Для наблюдения интерференции света в работе используется метод Юнга (рис.3). Полупроводниковый лазер служит источником излучения с длиной волны =0,651 мкм. Луч от лазера проходит через линзу Л1 (конденсор) и объектив О (рис.5), которые формируют сходящийся пучок света и позволяют наблюдать интерференционную картину в ближней к источнику излучения области.

Рис.5.

Если в какую-либо плоскость Э1 в этот пучок света поместить пластинку с двумя отверстиями, служащими когерентными источниками, то интерференционная картина от них сфокусируется в плоскости Э2. Далее с помощью линзы Л2 и зеркала З эта картина в увеличенном виде проецируется на экран Э3.

 

ПОРЯДОК ИЗМЕРЕНИЙ И РАСЧЕТОВ.

 

1. Установить линзу Л1 (оптический модуль 05) вплотную к лазеру (на отметке 10 см по линейке прибора).

2. Установить микропроектор (оптический модуль 04), включающий линзу

Л2 и зеркало З, на отметке 65 см по линейке прибора.

3. Установить поворотный столик (модуль 13) на отметке в области 48-52

сантиметров.

4. Разместить в держателе поворотного столика пластинку с парой

отверстий, предназначенных для получения когерентных световых волн.

5. Разместить объектив (модуль 06) в районе 30 сантиметров.

6. Включить лазер, добиться прохождения луча лазера через пару

отверстий, регулируя положение луча винтами держателей оптических

модулей. Небольшим смещением объектива (модуля 06) вправо-влево от

отметки 30 см добиться получения четкой интерференционной картины

на задней панели прибора (на экране Э3).

7. Записать расстояние между поворотным столиком (модуль 13) и

микропроектором (модуль 04).

8. Определить ширину интерференционной полосы на экране Э3. Для этого

наложить лист белой бумаги на экран, отметить на листе положения

светлых интерференционных полос. Замерить линейкой расстояние

между крайними светлыми полосами и разделить его на число полос.

Полученная величина представляет собой ширину

интерференционной полосы, наблюдаемую на экране Э3.

9. Определить ширину интерференционной полосы в плоскости Э2

фокусировки луча лазера. Для этого ширину поделить на увеличение

=23,6 микропроектора,

.

10. Занести значения , , , и в таблицу 1.

Таблица 1.

, м	, м	, м		, м
0,651∙10-6			23,6

 

11. Рассчитать расстояние между парой отверстий. Как следует из

уравнения (22)

.

12. Оценить относительную погрешность измерения расстояния по

формуле

,

- погрешность определения , взять равной половине цены деления

линейки прибора;

- погрешность определения , взять равной цене деления

линейки, использованной для измерения ;

- погрешность определения увеличения . Относительная ошибка

определения , 5% = 005.

13. Записать результат измерений в виде

=______ мм с =______%.

 

 

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ.

 

1. Что такое интерференция? При каких условиях она наблюдается? Какие волны называются когерентными?

2. Записать выражение для интенсивности света от двух источников. Как различается интенсивность света в случае его получения от двух некогерентных и двух когерентных источников?

3. Записать условия интерференционных максимумов и минимумов для разности фаз двух волн.

4. Что называется оптической разностью хода двух волн? Как связаны между собой оптическая разность хода и разность фаз?

5. Сформулировать условия интерференционных максимумов и минимумов для оптической разности хода.

6. Как выглядела бы на экране интерференционная картина, наблюдаемая от двух когерентных источников не монохроматического, а белого света?

7. Две распространяющиеся в воздухе когерентные световые волны с =0,6 мкм (желтый цвет) приходят в точку экрана с разность хода 0,9 мкм. Светлая или темная полоса будет наблюдаться в этой точке экрана?

 

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА.

 

1. Трофимова Т.И. Курс физики. М.: Высш.шк., 1999.

2. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. М.: Высш.шк., 1999.