Предварительный анализ статистических данных

Работа выполняется в Exce l

Исходные данные.

Заданы две выборки двух случайных величин Х1 и Х2, объемы выборок N1 и N2 соответственно.

Определение основных характеристик двух выборок.

Для каждой из выборок необходимо определить:

выборочное среднее Х1ср и Х2ср (воспользоваться функцией Excel СРЗНАЧ);

выборочное среднеквадратичное (стандартное) отклонение S1 и S2 (воспользоваться функцией Excel СТАНДОТКЛОН);

коэффициент вариации по формуле:

выборочную дисперсию S1² и S2²;

определение доверительных интервалов для средних:

коэффициент Стьюдента t 1 (p1,β), t 2 (p2,β)

здесь р1 и р2 – число степеней свободы, в данном случае р1 = N1, р2 = N2,

β – доверительная вероятность, выбирается одно из трех значений:

β =0,8; β =0,9; β =0,95.

Для определения коэффициента Стьюдента воспользоваться функцией Excel СТЬЮДРАСПОБР.

Доверительные границы для средних:

нижние

верхние

Проверка крайних значений на принадлежность к выборкам.

Для каждой из выборок:

отбрасываем максимальные значения;

определяем основные характеристики выборок с отброшенными значениями

выборочные средние Х1ср’ и Х2ср’,

выборочные среднеквадратичные отклонения S1’ и S2’;

коэффициенты вариации:

коэффициенты Стьюдента t 1’ (p1’,β), t 2’ (p2’,β)

здесь р1’ = N1-1, р2’ = N2-1;

Доверительные границы для средних:

нижние

верхние

Если выполняются условия:

, а и ,

то гипотеза о непринадлежности крайнего значения к первой выборке отвергается и дальше выборка должна рассматриваться полностью; в противном случае гипотеза принимается и дальше выборка должна рассматриваться без крайнего значения.

То же для второй выборки.

Если выполняются условия:

, а и ,

то гипотеза о непринадлежности крайнего значения ко второй выборке отвергается и дальше выборка должна рассматриваться полностью; в противном случае гипотеза принимается и дальше выборка должна рассматриваться без крайнего значения.

Далее то же выполняется для минимальных значений, при этом, если принята гипотеза о непринадлежности максимальных значений к выборкам, исходные выборки рассматриваются без этих значений.

Проверка возможности объединения двух выборок.

Проверка гипотезы о равенстве двух дисперсий.

Эмпирический критерий Фишера:

, где - большее значение из двух S1² и S2², соответственно - меньшее значение. Если выполняется условие , то гипотеза о равенстве дисперсий может быть принята.

Здесь α – уровень значимости, выбирается одно из трех значений: α=0,1; α=0,05; α=0,01.

n_б=N_б-1, n_м=N_м-1, а N_б, N_м – объемы выборок, соответствующих большему и меньшему значению дисперсий.

- квантиль распределения Фишера, определяется с использованием функции Excel FРАСПОБР.

Проверка гипотезы о равенстве двух средних.

Эмпирический критерий Стьюдента:

,

где - стандартная ошибка разности средних значений:

Если выполняется условие , то гипотеза о равенстве средних значений может быть принята.

Здесь r=N1+N2-2 – число степеней свободы.

Если приняты обе гипотезы – о равенстве дисперсий и средних, то две выборки могут быть объединены. В этом случае определяются общие среднее значение и стандартное отклонение объединенной выборки.

Пример расчета.

Х1	Х2
				N1		N2
				X1cp	10245,62	X2cp	5654,678
				S1	4756,955	S2	3304,806
				S1^2		S2^2
				Vx1	0,464291	Vx2	0,584437
				β	0,9	β	0,9
				t1(p1,β)	1,295585	t2(p1,β)	1,296066
				X1н	9456,527	X2н	5097,047
				X1в	11034,72	X2в	6212,309
				Отбрасываем минимальные значения
				X1min		X2min
				N1'		N2'
				X1cp'	10405,15	X2cp'	5743,224
				S1'	4629,629	S2'	3262,307
				S1'^2		S2'^2
				Vx1'	0,444936	Vx2'	0,568027
				β	0,9	β	0,9
				t1'(p1,β)	0,126194	t2'(p1,β)	0,126222
				X1н'	10329,73	X2н'	5689,155
				X1в'	10480,57	X2в'	5797,293
				Условие
				не выполняется
				│X1н'-X1cp│/X1cp	0,008209
				│X1в'-X1cp│/X1cp	0,022931
				Невыполнение хотя бы одного из трех условий
				свидетельствует о необходимости отбрасывания
				значения 674 первой выборки.
				Условие
				не выполняется
				│X2н'-X2cp│/X2cp	0,006097
				│X2в'-X2cp│/X2cp	0,025221
				Невыполнение хотя бы одного из трех условий
				свидетельствует о необходимости отбрасывания
				значения 519 второй выборки.

Характеристики выборок с отброшенными
минимальными значениями
N1		N2
X1cp	10405,15	X2cp	5743,224
S1	4629,629	S2	3262,307
S1^2		S2^2
Vx1	0,444936	Vx2	0,568027
β	0,9	β	0,9
t1(p1,β)	0,126194	t2(p1,β)	0,126222
X1н	10329,73	X2н	5689,155
X1в	10480,57	X2в	5797,293
Отбрасываем максимальные значения
X1max		X2max
N1'		N2'
X1cp'	10220,68	X2cp'	5573,526
S1'	4441,397	S2'	3022,023
S1'^2		S2'^2
Vx1'	0,43455	Vx2'	0,54221
β	0,9	β	0,9
t1'(p1,β)	0,126203	t2'(p1,β)	0,126222
X1н'	10147,7	X2н'	5523,002
X1в'	10293,65	X2в'	5624,05
Условие
не выполняется
│X1н'-X1cp│/X1cp	0,024742
│X1в'-X1cp│/X1cp	0,010716
Невыполнение хотя бы одного из трех условий
свидетельствует о необходимости отбрасывания
максимального значения первой выборки.
Условие
не выполняется
│X2н'-X2cp│/X2cp	0,038345
│X2в'-X2cp│/X2cp	0,02075
Невыполнение хотя бы одного из трех условий
свидетельствует о необходимости отбрасывания
максимального значения второй выборки.
Характеристики выборок с отброшенными
максимальными и минимальными значениями
N1		N2
X1cp	10220,68	X2cp	5573,526
S1	4441,397	S2	3022,023
S1^2		S2^2
Проверка возможности объединения двух выборок
Проверка равенства дисперсий
Эмпирический критерий Фишера
Fe	2,15995
α	0,1
nб		nм
Квантиль распределения F(α,nб,nм)
	1,404371
	Fe> F(α,nб,nм)
Гипотеза о равенстве дисперсий отвергается
Проверка равенства средних
σ(х1-х2)	65,71332
Эмпирический критерий Стьюдента
te	70,71857
r
t(α,r)	1,65833	te>t(α,r)
Гипотеза о равенстве средних отвергается
Выборки не могут быть объединены