Алгоритм решения. Для решения данной задачи разработано много способов. Рассмотрим один из наиболее распространенных – симплекс-метод. Для его использования необходимо определить начальный базис, то есть такое решение, которое удовлетворяет системе равенств (2). В некоторых задачах базис просматривается непосредственно, но во многих его необходимо найти.
В данной задаче базис определяется легко. Для этого требуется взять 
неизвестных по числу уравнений в системе (2), желательно наиболее редко встречающиеся в ней. В нашей совокупности уравнений (
) это 
, 
, 
, которые и выражаем через оставшиеся неизвестные 
, 
, 
, 
.
Систему уравнений необходимо записать в таком виде:
(5)
Переменные, находящиеся в левой части системы уравнений, называются базисными (основными), а находящиеся справа – небазисными (неосновными). Для определения значений базисных переменных 
, 
, 
необходимо приравнять к нулю небазисные 
, , , и подставить их в систему уравнений (5). Полученное таким образом решение называется базисным. В нашей задаче оно будет выглядеть следующим образом:
После определения начального базиса можно переходить непосредственно к использованию алгоритма симплекс-метода, который содержит следующие основные этапы:
1. Заполнение исходной симплекс-таблицы. В соответствии с полученной системой уравнений и критерием оптимизации заполняем исходную симплекс-таблицу.
Симплекс-таблица
| Базисные переменные | Свободные члены | Коэффициенты при базисных и небазисных переменных | ||||||
| 
|
| 
|
|
|
|
|
|
| 
| |||||||
|
| ||||||||
|
| ||||||||
|
|
|
2. Проверка базисного решения на оптимальность. Просматриваются знаки коэффициентов при небазисных переменных в целевой функции (критерий оптимизации) – последняя строка табл.
Если все коэффициенты при небазисных переменных неположительны, то исходный базис является оптимальным; в противном случае переходят к следующему этапу. В нашей задаче решение не оптимально, так как все коэффициенты целевой функции при небазисных переменных положительны.
3. Проверка задачи на наличие решения. Если при какой-либо небазисной переменной, имеющей положительный коэффициент в целевой функции, окажется, что столбец коэффициентов при этой же переменной в системе уравнений состоит из одних неположительных чисел, то максимальное значение целевой функции стремится к бесконечности, то есть задача решений не имеет. В нашей задаче решение имеется.
4. Выбор из небазисных переменных той, которая способна при введении ее в базис увеличить значение целевой функции. Наиболее простой и чаще всего используемый способ состоит в выборе той небазисной переменной, которой соответствует наибольший положительный коэффициент в целевой функции. В нашей задаче это переменная (наибольший положительный коэффициент равен 50). Значит, необходимо ввести в базис.
5. Определение базисной переменной, которая должна быть выведена из базиса. Для всех положительных коэффициентов при вводимой в базис переменной в системе уравнений определяется отношение свободного члена уравнения к коэффициенту при вводимой в базис переменной. Для нашей задачи это будут следующие отношения: 
|
|
Минимальное из полученных отношений указывает строку, базисную переменную, которая должна быть выведена из базиса. При наличии нескольких одинаковых отношений берется любое. В нашей задаче выведем из базиса переменную .
5. Представление новой базисной переменной через небазисные. Строится новая симплекс-таблица. Отмечается звездочкой строка и столбец в предыдущей симплекс-таблице, соответственно для выводимой из базиса и для вводимой в него переменной. Коэффициент, находящийся на пересечении строки и столбца, отмеченных звездочками, называется разрешающим и помечается звездочкой. Все коэффициенты строки, отмеченной звездочкой, делятся на разрешающий элемент, а результаты расчета заносятся в новую симплекс-таблицу. В нашей задаче на первой итерации разрешающий элемент равен 5. Результаты деления каждого элемента строки, отмеченной звездочкой, на разрешающий коэффициент заносятся в строку 1 новой таблицы.
6. Представление остальных базисных переменных и целевой функции через новый набор небазисных переменных. Для этого коэффициенты в новой таблице при новой базисной переменной умножаются на такое число, чтобы после сложения с преобразуемой строкой предыдущей таблицы в столбце при новой базисной переменной в новой таблице появился ноль. Результаты сложения заносятся в новую симплекс-таблицу. Исходя из этого, для получения коэффициентов второй строки в новой табл. умножаем коэффициенты при новой базисной переменной 
на число 
, складываем с соответствующими коэффициентами второй строки предыдущей симплекс-таблицы и результаты расчета заносим во вторую строку новой таблицы.
|
|
Вторая итерация симплекс-метода
| Базисные переменные | Сбободные члены | Коэффициенты при базисных и небазисных переменных | ||||||
| 
| 
|
| 
| 
| 
| 
| 
|
|
| 3/5 | 2/5 | 7/5 | 1/5 | ||||
| 11/5 | 
| 4/5 | -3/5 | ||||
| 7/5 | 8/5 | -2/5 | -6/5 | ||||
| -150 | -50 | -10 |
Аналогичные преобразования проводим и для других строк. После этого выполняем новую итерацию. Цикл расчета начинается с этапа 2 и проводится до тех пор, пока не будет найдено оптимальное решение. Поскольку в последней строке табл. в целевой функции не все коэффициенты при небазисных переменных положительны, то решение не оптимально; следовательно, выполняется следующий итерационный цикл расчета и строится новая симплекс-таблица. В качестве вводимой в базис небазисной переменной берем 
(можно ) как имеющую наибольший положительный коэффициент. Отмечаем звездочкой столбец 
. В качестве выводимой из базиса переменной берем 
, так как для нее частное от деления свободного члена на соответствующий коэффициент минимально. Разрешающий множитель равен 9/5. Результаты расчета представлены в табл.
Третья итерация симплекс-метода
| Базисные переменные | Свободные члены | Коэффициенты при базисных и небазисных переменных | ||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 1/9 | 1/9 | 1/3 | -2/9 | ||||
|
| 11/9 | 4/9 | -3/9 | 5/9 | ||||
|
| -5/9 | -10/9 | -2/3 | -8/9 | ||||
|
| -150 | -20/9 | -490/9 | -20/3 | -50/9 |
Последняя строка таблицы не содержит положительных коэффициентов при небазисных переменных. Анализируя полученное решение, видим, что оно оптимально и выглядит так:
Из полученного решения видно, что предприятию наиболее выгодно изготовление только изделия 
, производство которого обеспечит ему максимальную прибыль в размере 
. При этом материальные и трудовые ресурсы будут задействованы полностью, а финансовые – недоиспользованы на 12 единиц.