Действующие и средние значения синусоидальных величин

Оглавление

1 Краткие теоретические сведения. 4

1.1Основные величины, характеризующие синусоидальные колебания 4

1.2Действующие и средние значения синусоидальных величин. 4

1.3Представление синусоидальноизменяющихся величин в виде комплексных чисел. 5

1.3.1 Пример 1. 6

1.4Комплексное сопротивление. 7

1.5Алгебраические операции с комплексными числами, векторная диаграмма. 7

1.5.1 Пример 2. 9

1.5.2 Пример 3. 10

1.5.3 Пример 4. 10

1.5.4 Пример 5. 11

1.5.5 Пример 6. 12

1.6Резистор в цепи синусоидального тока. 12

1.7Индуктивность в цепи синусоидального тока. 13

1.8Конденсатор в цепи синусоидального тока. 15

1.9Символический (комплексный) метод расчета цепей синусоидального тока. 17

1.10Законы Кирхгофа для мгновенных значений. 17

1.11Законы Кирхгофав комплексной форме. 18

1.11.1 Пример 7. 20

1.12Мощность в цепи синусоидального тока. 26

1.13Комплексная мощность. 28

1.13.1 Пример 8. 29

1.14Баланс мощностей в цепях синусоидального тока. 30

1.14. Пример 9. 30

2 Задание. 33

3 Библиографический список. 51

Краткие теоретические сведения

Основные величины, характеризующие синусоидальные колебания

Переменные синусоидальные напряжения и токи являются синусоидальными функциями времени:

(В);

(A);

Где - амплитудные значение напряжения и тока;

- фаза колебания;

- начальные фазы колебаний напряжения и тока;

- сдвиг по фазе между напряжением и током;

- угловая частота колебания;

f – частота колебания;

- период колебания, т.е. время, за которое совершается одно полное колебание.

Действующие и средние значения синусоидальных величин

Действующим значением периодически изменяющейся величины называется ее среднеквадратическое значение за период колебания.

;

Для синусоидальной величины соотношение между ее действующим и амплитудным значением

;

;

Под средним значением периодически изменяющейся величины понимают ее среднее значение за полпериода колебания.

Для синусоидальной величины соотношение между ее средним и амплитудным значением

1.3 Представление синусоидальноизменяющихся величин в виде комплексных чисел

Любая синусоидально изменяющаяся величина может быть представлена ее изображением в комплексной форме согласно формуле Эйлера

;

Где - мнимая единица;

Помножив, левую часть выражения на , получим

Очевидно, что мнимая часть комплексного числа , равная представляет собой аналитическую форму записи синусоидального колебания и содержит в себе всю информацию об этом колебании, т.е. амплитуду, угловую частоту, начальную фазу. Полагая t= 0, получим

;

;

Таким образом, изображением синусоидально изменяющейся величины в комплексной форме является следующий комплекс действующего значения этой величины (комплексы синусоидально изменяющихся величин записываются прописными буквами с точкой сверху)

;

Где - амплитудное значение синусоидально изменяющейся величины;

I – действующее значение синусоидально изменяющейся величины;

- начальная фаза колебания.

Выражение вида представляет собой показательную форму записи комплексного числа.

Выражение вида представляет собой алгебраическую форму записи комплексного числа.

Пример 1

Известна аналитическая форма записи падения напряжения на элементе цепи:

.

Решение

Комплекс действующего значения этой величины запишется следующим образом:

;

;