Вопросы к дифференцированному зачету
ЕН. 03 «Теория вероятностей и математическая статистика»
(наименование дисциплины)
Специальность 09.02.03 «Программирование в компьютерных системах»
(код и наименование специальности)
| Техник-программист |
_______________________
Квалификация выпускника
Набережные Челны, 2020
МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Набережночелнинский институт (филиал) федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования
«Казанский (Приволжский) федеральный университет»
Инженерно-экономический колледж
Вопросы к дифференцированному зачету
ЕН. 03 «Теория вероятностей и математическая статистика»
(наименование дисциплины)
Практическое задание к дифференцированному зачету
1. В отделе зеленного черенкования плодовой опытной станции для посадки в теплице подготовили 20 зеленных черенков, среди которых 8 черенков зимостойкой алычи сорта 9-114, а остальные – черенки сливы. Случайным образом отобрано 3 черенка. Найти вероятность того, что хотя бы один из них является черенком алычи.
2. В первой урне 10 деталей. Из них 8 стандартных. Во второй 6 деталей, из которых 5 стандартных. Из второй урны переложили в первую одну деталь. Какова вероятность того, что деталь, извлеченная после этого из второй урны, нестандартная.
3. На плоскости начерчены две концентрические окружности, радиусы которых 5 и 10 см соответственно. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадет также и в кольцо, образованное построенными окружностями.
4. Всхожесть семян некоторого растения составляет 80 %. Найти вероятность того, что из пяти посеянных семян взойдут не менее четырех.
5. Три студента сдают экзамен. Вероятность того, что отдельный студент сдаст экзамен на «отлично», равна для первого студента 0,7, для второго – 0,6, для третьего – 0,2. Какова вероятность того, что экзамен будет сдан на «отлично»: а) только одним студентом; б) хотя бы одним студентом.
6. Вероятность того, что при сортировке изделий одно из них будет разбито, равна 0,005. Найти вероятность того, что из 200 изделий окажутся разбитыми три изделия.
7. Первый студент из 20 вопросов программы выучил 17, второй – 12. Каждому студенту задают по одному вопросу. Определить вероятность того, что: а) хотя бы один студент ответит верно; б) правильно ответит только первый студент.
8. Вероятность рождения в семье мальчика равна 0,515. Составить закон распределения случайной величины Х – числа мальчиков в семьях, имеющих четырех детей.
9. На конноспортивных соревнованиях необходимо преодолеть четыре препятствия с вероятностями. Равными соответственно 0,9; 0,8; 0,7; 0,6. При первой неудаче спортсмен в дальнейших состязаниях не участвует. Составить закон распределения случайной величины Х – числа взятых препятствий.
10. На предприятии имеется три автомобиля. Вероятность безотказной работы первого из них равна 0,9, второго – 0,7, третьего – 0,8. Найти вероятность того, что в течении определенного времени будут безотказно работать: а) все автомобили; б) хотя бы один автомобиль.
11. Дискретная случайная величина задана законом распределения:
Х 1 3 5 7 9
Р 0,05 0,15 0,2 0,4 0,2
Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение величины Х.
12. Из урны содержащей 4 красных и 6 черных шаров, вынимают два шара (без возвращения первого). Какова вероятность того, что будут вынуты: а) красный и черный в любой последовательности; б) второй шар будет черным.
13. Вероятность того, что покупатель совершит покупку в магазине, 0,4. Составить закон распределения случайной величины Х – числа покупателей, совершивших покупку, если магазин посетило 3 покупателя.
14. Случайные величины X, Y независимы. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Z = 2X – 4Y, если D(X) = 4, D(Y) = 6, M(X) = 5, М(Y) = 3.
15. У пользователя имеются три дискеты для компьютера, изготовленные на фирмах К, L и М, по одной дискете от каждой из этих фирм, причем штампы фирм на дискетах отсутствуют. Две из имеющихся трех дискет оказались бракованными. Какова вероятность того, что бракованными являются дискеты форм L и М, если брак в продукции фирмы К составляет 10%, а в продукции фирм L и М – соответственно 20% и 15%..
16. Вероятность работы каждого из четырех комбайнов без поломок в течении определенного времени равна 0,9. Составить закон распределения случайной величины Х – числа комбайнов, работавших безотказно. (ОК2, ОК3, ОК5, ОК7, ОК9, ПК 1.1)
17. Станок автомат делает детали. Вероятность того, что деталь окажется бракованной 0,01. Найти вероятность того, что среди 200 деталей окажется ровно 4 бракованных.
18. При скрещивании двух кормовых сортов люпина во втором поколении теоретически ожидаемым отношением алкалоидных растений к безалкалоидным является отношение 9:7. Найти вероятность того, что среди полученных 150 гибридных растений половина будут алкалоидными.
19. В группе из 10 спортсменов 6 мастеров спорта. Отбирают 3–х спортсменов. Составить закон распределения случайной величины Х – числа мастеров спорта из отобранных спортсменов.
20. Случайная величина X задана функцией распределения:
0 при x ≤ 0
F(x) = 16/25 x2 при 0<x ≤ 5/4
1 при х > 5/4.
Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.
21. В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наудачу отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов 5 отличников.
22. Случайная величина X распределена по нормальному закону с математическим ожиданием a = 15 и дисперсией D = 4.
Найти:
а)вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (9; 19); б)вероятность того, что абсолютная величина отклонения X-a окажется меньше δ =0,1
23. Все значения равномерно распределенной непрерывной случайной величины лежат на отрезке от 2 до 8. Найти плотность вероятности, функцию распределения и числовые характеристики непрерывной случайной величины и вероятность попадания в интервал от 3 до 5. Построить графики.
24. Непрерывная случайная величина распределена по экспоненциальному закону с параметром 
. Найти плотность вероятности, функцию распределения и числовые характеристики непрерывной случайной величины, а так же вероятность попадания значения непрерывной случайной величины в интервал (0.1; 0.2).
25. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины Х
0, x ≤ 1
f(x) = С(x2-x), 1 < x ≤ 2
, х > 2
Найти: а) постоянную С
б) вероятность попадания СВ Х в интервал (1/2; 3/2).
26. Найти дисперсию дискретной случайной величины Х- числа появлений события А в двух не зависимых испытаниях,, если вероятности появления события в этих испытаниях одинаковы и известно, что M(X)=0,9.
27. Чему равна вероятность того, что нормальная случайная величина с математическим ожиданием, равным 3, и дисперсией, равной 1, примет значение из интервала (0,5; 3,5).
28. Среднее значение длины бруска равно 4 м, а среднее квадратическое отклонение 0,2 м. Оцените вероятность того, что длина наугад взятого бруска окажется не менее 3,5 м и не более 4,5 м
29. Магазин получил 1000 бутылок лимонада. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Найти вероятность того, что магазин получит разбитых бутылок:
а) ровно две;
б) менее двух;
в) более двух;
г) хотя бы одну.
30. Микропроцессор имеет 10000 ранзисторов, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что транзистор выйдет из строя во время работы прибора, является величиной маловероятной и составляет 0,0007. Определить математическое ожидание М (Х) и среднее квадратическое отклонение σ (х) случайной величины Х — числа транзисторов, выйдут из строя во время работы процессора.
31. Для орграфа заданного матрицей смежности определить путь минимальной длины из вершины v1 в вершину v7 используя алгоритм фронта волны.
32. Найти минимальное остовное дерево.
33. Для данного орграфа найти матрицу смежности и инцидентности
34. Найти матрицу смежности и инцидентности
35. По списку на предприятии числится 40 рабочих, которые имеют следующие разряды:1,5,2,4,3,4,6,4,5,1,2,2,3,4,5,3,4,5,2,1,4,5,5,4,3,4,6,1,2,4,4,3,5,6,4,3,3,1,3,4.
Построить дискретный вариационный ряд и найти характеристики, опираясь на формулы математической статистики.
36. Для данного дискретного вариационного ряда найти характеристики положения вариационного ряда
| Размер заработной платы, руб. | итого | ||||||
| Число рабочих, имеющих такую з/п |
37. Для данного дискретного вариационного ряда найти показатели вариации
| Размер заработной платы, руб. | итого | ||||||
| Число рабочих, имеющих такую з/п |
38. По выборке объема n= 50 найдено среднее значение xв= 3,5. Считая, что генеральная совокупность распределена по нормальному закону с σ = 3,5, определить интервальную оценку для математического ожидания с надежностью 95%.
39. По выборке объема п= 25 из нормально распределенной генеральной совокупности вычислено значение s= 0,8. Построить интервальную оценку для дисперсии надежности γ = 0.95.
40. Проверить гипотезу о равенстве дисперсий двух нормально распределенных случайных величин X,Y
| X | 4.5 | 0.3 | 4.2 | 7.5 | -3.6 | 2.2 | -1.0 | 2.8 | 4.7 | -0.5 | 0.2 | -1.8 |
| Y | 3.3 | 0.5 | 2.7 | 5.2 | -0.4 | 5.4 | 8.5 | 0.1 | 2.8 | 8.3 | 2.7 | 0.8 |
| X | 3.5 | 3.5 | 4.0 | |||||||||
| Y | 6.3 | 3.1 | 0.4 |
41. Проверить гипотезу о равенстве средних двух нормально распределенных случайных величин X,Y,если σх=1, σy=2.
| X | 0.5 | 2.5 | 0.0 | 0.9 | 2.6 | -0.1 | 0.8 | -0.8 |
| Y | -0.4 | 2.3 | -3.3 | 0.5 | 3.5 | 0.3 | 0.7 | 3.3 |
| X | 2.2 | 0.4 | 2.3 | -0.7 | 1.7 | |||
| Y | -1.0 | 0.6 |
42. Используя пространственную выборку необходимо построить уравнение нелинейной регрессии вида 
| ||||||||
| 12.4 | 14.4 | 16.7 | 18.65 | 19.12 | 19.64 | 21.2 |
43. Постройте гистограмму частот, найдите среднюю заработную плату работников одного из цехов промышленного предприятия, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации методом сумм.
| Заработная плата, у. е. | 50-75 | 75-100 | 100-125 | 125-150 | 150-175 | 175-200 | 200-225 |
| Число работников |
44. Постройте гистограмму частот, найдите среднюю заработную плату работников одного из цехов промышленного предприятия, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации методом произведений.
| Заработная плата, у. е. | 50-75 | 75-100 | 100-125 | 125-150 | 150-175 | 175-200 | 200-225 |
| Число работников |
45. Имеются следующие данные об урожайности озимой пшеницы в 40 обследованных хозяйствах: 27,1 18,2 16,3 22 24,3 24,8 33 27,3 28,5 15,1 19,5 28,1 25,1 26,7 28,4 29,6 23,7 18 31 19,8 26 23,5 20,2 25,1 22,8 27 20,4 24 29,5 22,9 19,9 27 25,3 23,9 21,5 23,1 21,1 22,6 25,8 23,8
1) Определите размах вариации урожайности
2) Постройте интервальный вариационный ряд с равными интервалами, выделив 6 групп хозяйств по величине урожайности.
3) Изобразите ряд графически с помощью гистограммы распределения, преобразуйте последнюю в полигон распределения.
4) По накопленным частотам постройте кумуляту и огиву распределения 40 хозяйств по величине урожайности.
46. Известны следующие данные о результатах сдачи абитуриентами вступительных экзаменов на I курс вуза в 2001 г. (баллов): 18, 16, 20, 17, 19, 20, 17, 17, 12, 15, 20, 18, 19, 18, 18, 16, 18, 14, 14, 17, 19, 16, 14, 19, 12, 15, 16, 20.
Постройте: а) ряд распределения абитуриентов по результатам сдачи ими вступительных экзаменов, выделив четыре группы абитуриентов с равными интервалами;
б) ряд, делящий абитуриентов на поступивших и не поступивших в вуз, учитывая, что проходной балл составил 15 баллов.
в)укажите, по какому группировочному признаку построен каждый из этих рядов распределения: атрибутивному или количественному.
47. Для данного интервального вариационного ряда найти показатели вариации
| Интервалы по заработной плате, руб. | 1000-1200 | 1200-1300 | 1300-1400 | 1400-1600 | итого |
| Число рабочих, имеющих такую з/п |
48. Имеются данные по однотипным предприятиям торговли о возрасте (продолжительности эксплуатации) типового оборудования и затратах на его ремонт. Рассчитать параметры линейного уравнения регрессии
| Номер предприятия | ||||||||||
| Возраст оборудова ния,лет | ||||||||||
| Затраты на ремонт, тыс. руб | 1,5 | 3,4 | 3,6 | 3,7 | 3,3 | 2,5 | 6,6 | 3,7 |
49. По выборке объема п = 16 из нормально распределенной генеральной совокупности вычислено значение s= 18. Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение с надежностью 0.95.
50. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания а нормально распределенного признака Х генеральной совокупности, если известны s=4, 
, n=16
51. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания а нормально распределенного признака Х генеральной совокупности, если известны s=5, 
, n=25
52. По данным выборки объема 10 из генеральной совокупности нормально распределенного количественного признака найдено «исправленное» среднее квадратическое отклонение s. Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение s с надежностью 0,999.
53. По двум независимым малым выборкам, объемы которых n=10 и n=8, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей, найдены выборочные средние: 
и исправленные дисперсии: 
s2x=2,7 и s2y=3,2. При уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу H0:M(X)=M(Y) при конкурирующей гипотезе H1: M(X)≠M(Y).
Указание: предварительно проверить равенство дисперсий, используя критерий Фишера-Снедекора.
54. В итоге пяти измерений длины стержня одним прибором получены следующие результаты (в мм): 92, 94, 103, 105, 106. Найти: 1) выборочную среднюю длину стержня; 2) выборочную и исправленную дисперсии ошибок прибора.
55. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n=12. Оценить с надежностью 0,95 математическое ожидание а нормально распределенного признака генеральной совокупности с помощью доверительного интервала
xi -0,5 -0,4 -0,2 0 0,2 0,6 0,8 1 1,2 1,5
ni 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1
56. Даны две независимые выборки объема 11 и 14, извлеченные из нормальных совокупностей X, Y. Известны также исправленные дисперсии, равные соответственно 0,75 и 0,4. Необходимо проверить нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий при уровне значимости γ =0,05. Конкурирующую гипотезу выбрать по желанию.
57. Утверждается, что шарики для подшипников, изготовленные автоматическим станком, имеют средний диаметр 10 мм. Используя односторонний критерий с α=0,05, проверить эту гипотезу, если в выборке из n шариков средний диаметр оказался равным 10,3 мм, а дисперсия известна и равна 1 мм.
58. Используя критерий Пирсона, при уровне значимости 0,05 проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности X по результатам выборки:
X 0,3 0,5 0,7 0,9 1,1 1,3 1,5 1,7 1,9 2,1 2,3
N 7 9 28 27 30 26 21 25 22 9 5
59. Из нормальной генеральной совокупности с известным средним квадратическим отклонением s=0,2извлечена выборка объема n=25и по ней найдена выборочная средняя xср = 21,04. Проверить нулевую гипотезу Н0: а=а0 =21, при конкурирующей гипотезе Н1: а¹ 21 и уровне значимости 0,1.
60. По данным 7 измерений некоторой величины найдены средняя результатов измерений, равная 30 и выборочная дисперсия, равная 36. Найдите границы, в которых с надежностью 0,99 заключено истинное значение измеряемой величины.
61. Найти методом произведений выборочные среднюю и дисперсию следующего статистического распределения:
| 20,0 | 20,2 | 20,4 | 20,6 | 20,8 | 21,0 | 21,2 | 21,4 | 21,6 | 21,8 | 22,0 |
|
62. Найти методом сумм выборочные среднюю и дисперсию следующего статистического распределения: (ОК2, ОК3, ОК5, ОК7, ОК9, ПК 3.4)
|
| 20,0 | 20,2 | 20,4 | 20,6 | 20,8 | 21,0 | 21,2 | 21,4 | 21,6 | 21,8 | 22,0 |
|
|
63. Найти методом сумм выборочную среднюю и выборочную дисперсию для следующего вариационного ряда:
|
| 1,03 | 1,05 | 1,06 | 1,08 | 1,10 | 1,12 | 1,13 | 1,16 | 1,19 | 1,20 | 1,21 | 1,25 | 1,26 | 1,28 | |||||||||||||
|
| |||||||||||||||||||||||||||
| 1,30 | 1,32 | 1,35 | 1,37 | 1,38 | 1,39 | 1,40 | 1,44 | 1,46 | 1,47 | 1,49 | 1,50 | ||||||||||||||||
64. Найти методом произведений выборочную среднюю и выборочную дисперсию для следующего вариационного ряда:
|
| 1,03 | 1,05 | 1,06 | 1,08 | 1,10 | 1,12 | 1,13 | 1,16 | 1,19 | 1,20 | 1,21 | 1,25 | 1,26 | 1,28 | |||||||||||||
|
| |||||||||||||||||||||||||||
| 1,30 | 1,32 | 1,35 | 1,37 | 1,38 | 1,39 | 1,40 | 1,44 | 1,46 | 1,47 | 1,49 | 1,50 | ||||||||||||||||
65. Данные опыта приведены в таблице
| X | |||||||
| Y | 4.5 | 7.0 | 8.0 | 7.5 | 9.0 | 8.5 | 9.5 |
Полагая, что X и Y связаны зависимостью вида 
найти коэффициенты a и b методом наименьших квадратов
66. Найти выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на X по следующим данным и оценить его качество (ОК2, ОК3, ОК5, ОК7, ОК9, ПК 3.4)
| X | 0,5 | 1,0 | 1,5 | 2,0 | 2,5 | 3,0 |
| Y |
67. Дана таблица результатов наблюдений
| X | ||||||
| Y | 7.0 | 8.0 | 7.5 | 9.0 | 8.5 | 8.0 |
Найти выборочный коэффициент корреляции и оценить при уровне значимости 0,05
68. Используя критерий Пирсона, при уровне значимости 0,05, установить, случайно или значимо расхождение между эмпирическими частотами ni и теоретическими ni`, которые вычислены исходя из гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности
ni5 7 15 14 21 16 9 7 6
ni`6 6 14 15 22 15 8 8 6
69. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания а нормально распределенного признака Х генеральной совокупности, если известны s=4, , n=16
70. Найти выборочные уравнения прямых линий регрессии Y на X и X на Y по данным, приведенным в корреляционной таблице
