Экстремумы функции двух переменных
1. Экстремум функции двух переменных: определения, необходимые и достаточные условия, локальный характер
2. Алгоритм нахождения экстремумов функции двух переменных и примеры решений
Экстремум функции двух переменных: определения, необходимые и достаточные условия, локальный характер
Определение. Точками экстремума функции двух переменных называются точки минимума и максимума этой функции. Значения самой функции в точках экстремума называются экстремумами функции двух переменных.
Определение. Точка P (x 0, y 0) называется точкой максимума функции двух переменных z = z (x, y), если значение функции в этой точке больше, чем в точках её окрестности. Значение функции в точке максимума называется максимумом функции двух переменных.
Определение. Точка P (x 0, y 0) называется точкой максимума функции двух переменных z = z (x, y), если значение функции в этой точке больше, чем в точках её окрестности. Значение функции в точке максимума называется максимумом функции двух переменных.
Теорема (необходимый признак экстремума функции двух переменных). Если точка P (x 0, y 0) - точка экстремума функции двух переменных z = z (x, y), то первые частные производные функции (по "иксу" и по "игреку") в этой точке равны нулю или не существуют:
и
.
Определение. Точки, в которой первые частные производные функции двух переменных равны нулю, называются стационарными точками.
Определение. Точки, в которой первые частные производные функции двух переменных равны нулю или не существуют, называются критическими точками.
Каждая точка экстремума является критической точкой, но не каждая критическая точка является экстремумом.
Достаточный признак существования экстремума функции двух переменных.
В точке P существует экстремум функции двух переменных, если в окрестности этой точки полное приращение функции не меняет знак. Так как в критической точке первый полный дифференциал равен нулю, то приращение функции определяет второй полный дифференциал
.
Наилучшее понимание применения полного дифференциала придёт при изучении и практическом применении шагов 3 и 4 алгоритма нахождения экстремумов функции двух переменных, который следует вторым пунктом этого урока.
Локальный характер экстремумов функции двух переменных. Максимум функции двух переменных на каком-либо участке области определения функции не обязательно является максимумом во всей области определения, так же как и минимум на каком-либо участке не является минимумом во всей области определения. Пусть мы рассматриваем высоту волн на участке прибрежной области моря (участок меньше области). Тогда на этом участке мы можем зафиксировать (по-крайней мере, зрительно) наибольшую высоту волны. Но на другом участке, на котором ветер вызывает бОльшую высоту волн, мы фиксируем минимальную высоту волны. Это к тому, что максимум высоты волны на первом участке может оказаться меньше, чем минимум высоты волны на втором участке. Поэтому, как и в случае экстремума функции одной переменной, необходимо уточнить это понятие и говорить об экстремумах как о локальных экстремумах функции двух переменных.
2. Алгоритм нахождения экстремумов функции двух переменных и примеры
Дана функция двух переменных 
.
Шаг 1. Находим частные производные 
и 
.
Шаг 2. Составляем систему уравнений из равенств этих производных нулю (их равенство нулю и есть необходимый признак существования экстремума):
Решения этой системы уравнений 
являются точками возможного экстремума - критическими точками.
Шаг 3. Пусть 
является критической точкой, найденной на шаге 2. Чтобы убедиться, что в ней существует экстремум функции двух переменных, находимчастные производные второго порядка
как частные производные от частных производных первого порядка, найденных на шаге 1.
Шаг 4. Присваиваем частным производным второго порядка, найденным на шаге 3, буквенные обозначения:
Находим определитель 
и проверяем достаточный признак существования экстремума.
Если 
, то экстремума в найденной критической точке нет,
если 
, то экстремум в найденной критической точке есть,
если 
, то требуются дополнительные исследования.
Если экстремум в найденной точке есть и если 
, то в этой точке существует минимум функции двух переменных, если 
, то максимум.
Шаг 5. Подставляем значения критической точки, в которой найден экстремум, в исходную функцию двух переменных и получаем значение экстремума функции двух переменных (минимума или максимума).