РЯДЫ ПО ОРТОГОНАЛЬНЫМ МНОГОЧЛЕНАМ




Глава 3. РЯДЫ

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

9.1. Основные понятия

Определение ряда, общего члена ряда, частной суммы ряда

Понятие сходящегося ряда

9.2 Простейшие свойства сходящихся рядов

Линейность

Сочетательность

Остаток ряда

Добавление слагаемых

9.3. Необходимые и достаточные условия сходимости рядов

Критерий Коши сходимости ряда

Критерий сходимости рядов с неотрицательными членами

Необходимое условие сходимости

Признак сравнения (1-ая форма)

Признак сравнения (2-ая форма)

Признак сравнения (предельная форма)

Интегральный признак

Признак Даламбера

Признак Коши

Сравнение признаков Даламбера и Коши

Признак Лейбница

Признак Дирихле

Признак Абеля

9.4. Абсолютная и условная сходимость

Определение. Примеры

Теорема о связи абсолютной сходимости ряда и сходимости

Теорема о представлении суммы абсолютно сходящегося ряда

Переместительное свойство абсолютно сходящегося ряда

Теорема Римана

9.5. Умножение рядов

Постановка вопроса

Теорема Мертенса (без док-ва)

Теорема Коши (без док-ва)

9.6. Бесконечные произведения

Определение сходящегося бесконечного произведения

Связь с рядами

Простейшие свойства бесконечного произведения

Теорема (первый признак сходимости произведения)

Теорема (второй признак сходимости произведения) (без док-ва)

Примеры бесконечных произведений (без док-ва)

Разложение в бесконечное произведение функций sin x, cos x, sh x, ch x (без док-ва)

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

10.1. Равномерная и неравномерная сходимость

Определение равномерно сходящейся последовательности

Определение равномерно сходящегося ряда

10.2. Условия равномерной сходимости

Критерий Коши

Признак Дирихле

Признак Абеля

Признак Вейерштрасса

10.3. Функциональные свойства сходящихся рядов

Непрерывность суммы ряда

Почленный переход к пределу

Интегрирование рядов

Дифференцирование рядов

10.4 Степенные ряды

Определение степенного ряда

Теорема о виде области сходимости (первая теорема Абеля)

Теорема о характере сходимости (вторая теорема Абеля)

Понятие радиуса и промежутка сходимости

Первая формула для радиуса сходимости (теорема Коши-Адамара)

Вторая формула для радиуса сходимости

Вычисление коэффициентов степенного ряда

Разложение функций ex, sin x, cos x, ln( 1 +x), ( 1 +x)a , 1/ ( 1 -x)

Основные приемы разложения функций в степенные ряды


 

Глава 4. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

РЯДЫФУРЬЕ (общая теория)

11.1. Скалярное произведение и норма

Понятие скалярного произведения, весовая функция и скалярное произведение с весом

Понятие и основные свойства нормы

Сходимость по норме и поточечная сходимость

11.2. Ряды по ортогональным системам

Ортогональные и ортонормированные системы функций

Нахождение наилучшего приближения по конечной ортогональной системе функций

Формальное определение коэффициентов Фурье и ряда Фурье по ортогональной системе функций

Основное равенство для нормы разности функции и частной суммы ряда Фурье

Следствие 1. Неравенство Бесселя

Следствие 2. Равенство Парсеваля

Следствие 3. Стремление коэффициентов Фурье к нулю

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ

12.1. Тригонометрические коэффициенты Фурье (ТКФ) и тригонометрический ряд Фурье (ТРФ)

Лемма об ортогональности тригонометрической системы

Лемма о нормах функций тригонометрической системы

Коэффициенты Фурье по тригонометрической системе, простейшие свойства

Равенство Парсеваля в случае тригонометрической системы

Ряд Фурье от тригонометрического полинома

Основная лемма

Теорема о стремлении ТКФ к нулю

Связь между ТКФ функции и ее производных, скорость убывания ТКФ

12.2. Поточечная сходимость ТРФ

Интегральное представление частной суммы ТРФ (интеграл Дирихле)

Принцип локализации

Признак Дини поточечной и равномерной сходимости ТРФ

Замечание о непрерывной функции (теоремы Дю Буа-Реймонда и Лапласа, без док-ва)

12.4. Интеграл и преобразование Фурье

Ряд Фурье для произвольного промежутка

Интеграл Фурье как предельный случай ТРФ

Признак сходимости интеграла Фурье

Комплексная форма интеграла Фурье

Преобразование Фурье и обратное преобразование Фурье (определение и основные свойства)

РЯДЫПО ОРТОГОНАЛЬНЫМ МНОГОЧЛЕНАМ

13.1. Ортогональные многочлены и ряды Фурье

Теорема о существовании и единственности ортонормированной системы многочленов

Связь ортогональных многочленов с произвольными многочленами

Рекурентная формула для ортонормированной системы многочленов

Интегральное представление частной суммы ряда Фурье (интеграл Кристоффеля)

Достаточные условия поточечной сходимости ряда Фурье по ортонормированным и ортогональным многочленам

Замечание об уравнении Пирсона

Многочлены Якоби, Лагранжа, Чебышева, Эрмита, Лежандра (по пособию)



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-04-27 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: