Дано: 
, 
, 
, все сопротивления.
Найти: все токи и фазные напряжения.
В общем случае необходимо учитывать сопротивления линейных и нулевых проводов.
Воспользуемся методом узловых потенциалов:
Обозначим
, 
, 
, 
, тогда 
Теперь можно найти все токи:
, 
, 
, 
Фазные напряжения нагрузки:
, 
, 
.
Эти формулы пригодны для расчета в общем случае. По результатам расчета обычно строится векторная диаграмма.
В частных случаях расчет упрощается:
1) Идеальный случай: 
, точка 
совпадает с 
, точка 
совпадает с 
, точка 
совпадает с 
.
Тогда 
, 
, 
, 
. Отсюда 
, 
.
Ток каждой фазы 
, т.е. при наличии нулевого провода режим каждой фазы независим от другой фазы.
Если сопротивление «нулевого» провода пренебрежимо мало по сравнению с возможными сопротивлениями нагрузок, то потенциал точки 
практически равен потенциалу 
при любых сопротивлениях нагрузки.
Расчет заключается в расчете трех отдельных схем.
, 
, 
, 
.
1. 
2. 
Пример: Дано: 
, 
, 
, 
. Найти: все токи.
, 
, 
, 
,
2) Схема без нулевого провода
, 
, 
, 
, 
, .
Тогда
, 
, 
, 
, 
, 
, 
.
2.1 Способы представления и описания
Самым подробным описанием является задание мгновенных значений i(t) и u(t).
Чаще всего это делают в виде графика. Например:
Для сравнительно простых функций можно применить аналитическое описание, разбив период функции на отрезки и на каждом отрезке заменив функцию некоторым аппроксимированным выражением. Например, для первой кривой
для второй
Из графика видно, что а2 = 0,5, а для нахождения a1 и b1 надо составить два уравнения для каких–то двух моментов времени. Например:
Решая систему получаем а1 = 1, а b1 = 200 А/с.
Очень часто применяют разложение периодических несинусоидальных функций в функциональные ряды. Например, в ряд Фурье. Любая периодическая функция с конечным числом разрывов первого рода и с конечным числом max и min на периоде может быть представлена тригонометрическим рядом Фурье (условия Дирихле):
, (1)
иногда пишут 
. Каждое слагаемое этого выражения называют гармоникой с номером k (синусоидой с номером k). Иногда отдельно называют I0 – постоянной составляющей или среднем значением функции за период. k – номер гармоники (показывает во сколько раз частота данной гармоники больше частоты первой гармоники 
). Период k - гармоники в k раз меньше периода всего сигнала. 
– начальная фаза, 
– амплитуда k гармоники.
Выражение (1) можно переписать:
(2)
Используя формулы Эйлера для мнимого аргумента ряд (1) или (2) можно переписать в комплексной форме, если ввести отрицательные частоты
(3)
Число слагаемых ряда бесконечно велико, но на практике всегда ограничивается конечным числом слагаемых. Как узнать, сколько надо взять гармоник? Никто не знает, но при решении конкретной задачи выбирают некоторые критерии точности решения, после этого берут первую или несколько первых гармоник и решают задачу до конца. Затем добавляют ещё одну гармонику и повторяют всё решение. Если разница первого и второго решения удовлетворяет выбранному критерию, считается, что второй вариант учитывает необходимое число гармоник. Если же нет, добавляют следующую гармонику, получают новое решение и сравнивают его с предыдущим и т. д.
Ряд (1) даёт спектр сигнала – графическое изображение зависимости амплитуд и начальных фаз от номера гармоники, например, для сигнала рис.1:
Чётные гармоники отсутствуют, а нечётные непрерывно убывают. Спектр такого вида называют дискретным или линейчатым, потому что разность частот соседних гармоник отлична от нуля.
Для простых функций в справочниках приведены таблицы разложения в ряд Фурье. Для более сложных функций коэффициенты ряда приходится вычислять.
Пусть есть функция
Коэффициенты этого ряда находят из выражений:
, 
,
, 
,
В некоторых задачах не нужно иметь такое подробное описание несинусоидальной кривой и тогда применяют более простые описания с помощью специальных величин.
Например:
1) Используют только среднее значение
, 
;
2) Действующее значение
;
Например:
- для сигнала рис(1):
,
- для сигнала рис(2):
Например, требуется выяснить, как будет нагреваться сопротивление R = 10 Ом под действием тока i(t). Для этого надо знать активную мощность, выделяемую в этом сопротивлении: 
. Если известно разложение кривой в ряд Фурье, то можно использовать более простую формулу для расчёта действующего значения.
, 
.
Возведём ряд в квадрат и подставим в интеграл, получим слагаемые трёх типов:
1) 
;
2) 
;
3) произведение двух гармоник с разными номерами
При вычислении интеграла от этих слагаемых получим:
- от первого слагаемого 
;
- от слагаемых второго вида остается 
(т.к. 
);
- от слагаемых третьего вида получим ноль.
где 
- действующее значение k –ой гармоники.
3) Средневыпрямлённое значение
Используя указанные величины, вводят ряд коэффициентов, характеризующих форму кривой. В радиоэлектронике чаще всего используют коэффициенты гармоник
.
2.2 Расчет режима
Периодический несинусоидальный режим в линейных цепях возникает в одном из двух случаев:
1) в схеме есть источники энергии различной частоты, причём частоты кратны некоторому общему числу;
2) в цепи действуют источники энергии не синусоидальной формы, но с кратными периодами. Задачи этого типа легко сводятся к задаче первого типа, если каждый источник разложить в ряд Фурье, тогда схема замещения несинусоидального источника ЭДС:
Задача первого типа легко решается методом наложения, т.к. цепь линейная. После расчёта всех частичных режимов ответ записывают как сумму мгновенных значений каждого режима, а уже затем ищут то, что требуется.
Пример:
, 
, 
1) 
,
, 
.
2) расчет на первой гармонике
, 
, 
,
,
,
3) 
, 
Опять приходится рассчитывать сопротивление элементов, т.к. в каждом частичном режиме своя частота и получается, что сопротивление реактивных элементов зависят от номера гармоники.
, 
,
,
Как видно из расчёта при 
входное сопротивление относительно зажимов ЭДС чисто активное, т. е. на этой гармонике наблюдается резонанс.
Вообще под резонансом в цепи с несинусоидальным режимом понимают резонанс на какой-то k-ой гармонике, т.к. в целом при несинусоидальном режиме понятие фазы неприменимо. На k-ой гармонике определение резонанса звучит как обычно. Другим важным примером из расчёта является то, что в разных участках цепи соотношение между гармониками различно, из-за того, что сопротивления реактивных элементов зависят от номера гармоники. Это широко используется для построения электрических фильтров.
2.3 Мощности в цепи несинусоидального тока
Различают:
1) мгновенная мощность: 
,
2) полная мощность: 
,
3) активная мощность: 
,
4) реактивная мощность: 
.
Способ расчёта потребляемой и генерируемой мощности такой же как и всегда.
Если u(t) и i(t) представлены в виде рядов Фурье: 
, 
, то можно упростить вычисление активной мощности.
Перемножим записанные ряды; получим три вида слагаемых:
1) 
;
2) 
где k одно и то же;
3) произведение гармоник с разными номерами.
При интегрировании за период Т – каждое слагаемое третьего типа даёт ноль. Интеграл от слагаемого второго типа будет давать 
т.к. интеграл от 
за период равен нулю. Слагаемое первого типа даст 
.
В результате получим, что
т.е. фактически активная мощность периодического несинусоидального тока равна сумме активных мощностей всех гармоник, начиная с нулевой.
, 
,
, 
.
По аналогии вводится реактивная мощность, только вместо cos будет sin, и не будет учитываться нулевая гармоника:
.
Заключение
На практике ЭДС и токи в большей или меньшей степени являются несинусоидальными. Это связано с тем, что реальные генераторы не обеспечивают, строго говоря, синусоидальной формы кривых напряжения, а с другой стороны, наличие нелинейных элементов в цепи обусловливает искажение формы токов даже при синусоидальных ЭДС источников.
На практике к несинусоидальности напряжений и токов следует подходить двояко:
- в силовой электроэнергетике несинусоидальные токи обусловливают в общем случае дополнительные потери мощности, пульсации момента на валу двигателей, вызывают помехи в линиях связи; поэтому здесь необходимо «всеми силами» поддержание синусоидальных режимов;
- в цепях автоматики и связи, где несинусоидальные токи и напряжения лежат в основе принципа действия электротехнических устройств, задача наоборот заключается в их усилении и передаче с наименьшими искажениями.
Периодическими несинусоидальными величинами называются переменные, изменяющиеся во времени по периодическому несинусоидальному закону. Причины возникновения несинусоидальных напряжений и токов могут быть обусловлены или несинусоидальностью источника питания или (и) наличием в цепи хотя бы одного нелинейного элемента. Кроме того, в основе появления несинусоидальных токов могут лежать элементы с периодически изменяющимися параметрами.
В заключение следует отметить, что методика расчета линейных цепей при несинусоидальных токах сводится к следующему:
Ø ЭДС и токи источников раскладываются в ряды Фурье.
Ø Осуществляется расчет цепи в отдельности для каждой гармонической.
Ø Искомые величины определяются как алгебраические суммы соответствующих гармонических.
Список литературы
1. Основы теории цепей. Учебник для вузов./ Г.В. Зевеке, П.А. Ионкин, А.В. Нетушил, С.В. Страхов.-5-е изд. перераб.-М.: Энергоатомиздат, 1989. 528 с.
2. В.П. Попов. Основы теории цепей. Учебник для вузов. -М.: Высшая школа, 1985. 496 с.
3. Л.А. Бессонов. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи. Изд. 10. Учебник для вузов.- М.: Гардаргики, 2002. 638 с.
4. Теория электрических цепей: Методические указания к лабораторным работам / Рязан. гос. радиотехн. акад.; Сост.: С.М. Милюков, В.П. Рынин; Под ред. В.П. Рынина. Рязань, 2002. 16 с.,2004. 20 с. (№3282, №3624)
5. Электротехника и электроника: Методические указания к расчетно-графической работе / Рязан. гос. радиотехн. акад.; Сост. Г.В. Спивакова. Рязань, 2005. 16 с. (№3665)
6. Основы теории цепей: Методические указания к курсовой работе / Рязан. гос. радиотехн. акад.; Сост.: В.Н. Зуб, С.М. Милюков. Рязань, 2005. 16 с.
7. Теоретические основы электротехники. / Г.И. Атабеков, С.Д. Купалян, А.В. Тимофеев, С.С. Хухриков. - М.: Энергия, 1979. 424 с.
8. М.Р. Шебес. Теория линейных электрических цепей в упражнениях и задачах. М.: Высшая школа, 1990. 528 с.
9. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В. Зевеке, П.А. Ионкин, А.В. Нетушил, С.В. Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
10. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
11. Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М. Поливанова. Т.1. К.М. Поливанов. Линейные электрические цепи с сосредоточенными постоянными. –М.: Энергия- 1972. –240с.