Примеры решения задач для защиты модуля 1
Электростатика
Задача 1
Два заряда +1.66∙10-9 Кл и +3,33∙ 10-9 Кл находятся на расстоянии 20 см друг от друга. Где надо поместить третий заряд, чтобы система находилась в равновесии?
Решение
Точка, где надо поместить третий заряд q (положительный или отрицательный) лежит на линии, соединяющей эти заряды. Допустим, q - положительный заряд. На него действуют кулоновские силы F1 и F2 со стороны зарядов q1и q2. Заряд q находится в равновесии, значит 
В проекциях на ось X: F1 – F2 = 0 или F1 = F2.
Учитывая, что
Получим
откуда
После подстановки численных данных, получим r1 = 0,08 м
Задача 2
Два одинаковых небольших шарика массой 0,1 г каждый подвешены на нитях длиной 25 см. После того как шарикам были сообщены одинаковые заряды, они разошлись на расстояние 5 см. Определить заряды шариков.
Решение
На каждый из отклоненных шариков действуют: 
- сила тяжести, 
сила натяжения нити, 
- кулоновская сила взаимодействия шариков (см. рис.). Запишем условие равновесия одного из шариков в векторной форме:
Спроецируем это уравнение на координатные оси Х и Y:
X: T× sinα – F = 0;
Y: T× cosα – mg = 0
Исключая из этих уравнений Т, получаем
Так как
Тогда
Поскольку 4l2>>r, то
Задача 3
Заряды +1 мкКл и -1 мкКл находятся на расстоянии 10 см друг от друга, как показано на рисунке. Определите потенциал поля в точке А, удаленной на расстояние 10 см от положительного заряда. Принять 
. Результат представьте в кВ и округлите до целого числа.
Решение
Потенциал в точке А (φА) будет равен сумме
φА= φ1+ φ2,
где φ1 – потенциал, создаваемый в точке А зарядом q 1, а φ2 – зарядом q 2. Поскольку заряды точечные, то
, 
.
Окончательно:
.
Подставим числовые данные
Ответ: 
Задача 4
Электростатическое поле создается положительно заряженной с постоянной поверхностной плотностью s = 10 нКл/м2 бесконечной плоскостью. Какую работу надо совершить для того, чтобы перенести электрон вдоль линии напряженности с расстояния r 1=2 см до r 2=1 см? [9,04×10-19 Дж] (4, с. 128)
Указания по решению.
Положительно заряженная бесконечная плоскость создает электрическое поле, линии напряженности которого указаны на рис. 4
|
Электрон – отрицательно заряженная частица, поэтому в электрическом поле он будет двигаться против силовых линий (что соответствует притяжению разноименных зарядов). Поэтому при перемещении электрона вдоль силовой линии с большего на меньшее расстояние от плоскости работа внешних сил будет отрицательной и численно равной изменению потенциальной энергии электрона в электрическом поле плоскости: 
.
Разность потенциалов между двумя точками поля бесконечной плоскости равна 
,
подставляем и получаем выражение для искомой величины:
, где е – элементарный заряд
Задача 5
Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено стеклом (e =7). Расстояние между пластинами d =5 мм, разность потенциалов U =1 кВ. Определите: 1) напряженность поля в стекле; 2) поверхностную плотность заряда на пластинах конденсатора; 3) поверхностную плотность связанных зарядов на стекле. [1) 200 кВ/м; 2) 12,4 мкКл/м2; 3) 10,6 мкКл/м2] Указания по решению.
Зная связь напряженности поля с разностью потенциалов
,
найдем напряженность поля между пластинами конденсатора
.
Далее воспользуемся формулой напряженности поля заряженной плоскости
.
Т.к. в конденсаторе имеется 2 пластины, которые разноименно заряжены, то в пространстве между ними поле будет в 2 раза больше, т.е. напряженность поля между пластинами конденсатора равно
Þ 
.
Поверхностная плотность связанных зарядов численно равна величине вектора поляризации среды
.
Задача 6
Два проводящих шара радиусами R 1=8 см и R 2=20 см находятся на большом расстоянии друг от друга и имеют заряды q 1=14 нКл и q 2= –7 нКл. Каким станет заряд q 2¢ (в нКл) второго шара, если шары соединить проводником? Емкостью соединительного проводника пренебречь.
Указания по решению.
Заданные размеры шаров эквивалентны заданию их электроемкости (от вида вещества проводника его емкость не зависит).
Известно, что потенциал шара j связан с его зарядом q формулой
,
отсюда получаем выражение для электроемкости шара
,
где e - диэлектрическая проницаемость среды, в которой находится шар.
При соединении шаров происходит перераспределение заряда между ними до тех пор, пока потенциалы шаров не станут равны. При этом алгебраическая сумма заряда не меняется:
, отсюда
. (*)
Постоянной остается и емкость каждого шара, т.е. отношение заряда к потенциалу:
и 
.
Составим отношение этих равенств 
.
С другой стороны, из выражения емкости шара получаем 
.
Приравняем правые части последних равенств: 
,
, откуда легко найти искомую величину.
Задача 7
Конденсатор состоит из нескольких металлических листов, проложенных стеклянными прокладками толщиной 2 мм. Площадь листа 200 см2, диэлектрическая проницаемость стекла 7. Определить количество листов, если емкость конденсатора 17,7 пФ.
Решение Такой конденсатор можно представить в виде системы последовательно соединенных конденсаторов, поэтому суммарная емкость С
здесь n – число конденсаторов, которое равно: n = C 1 /C
Емкость плоского конденсатора:
, отсюда 
.
Подставим числовые данные:
Число пластин N будет на единицу больше, т.е. N = n + 1 = 36.
Ответ: N = 36
Задача 8
Найдите электрическую энергию системы 4-х зарядов q, 2 q, 3 q и – q, расположенных в вершинах квадрата со стороной а (рис. 1).
Указания по решению.
Энергия системы зарядов определяется формулой 
1) Найдем потенциалы ЭСП в вершинах квадрата на основе принципа суперпозиции:
, 
,
|
, 
.
2) Энергия их взаимодействия равна
.
Постоянный ток. Правила Кирхгофа.
Задача 1
Дана цепь, изображенная на рис.. Определите силу тока в каждом элементе и напряжение на зажимах реостата, если E1=12 В, r 1=1 Ом, E2=6 В, r 2=1,5 Ом и R =20 Ом. Каковы параметры источника тока, эквивалентного двум данным, соединенным параллельно?
Указания. Применяя законы Кирхгофа, следует соблюдать следующие правила:
1.Перед составлением уравнений произвольно выбрать и на чертеже: а) направления токов (если они не заданы по условию задачи) во всех сопротивлениях, входящих в цепь; б) направление обхода контуров.
2. При составлении уравнений по первому закону Кирхгофа принято считать токи, подходящие к узлу, положительными, а токи, выходящие из узла – отрицательными.
Число уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа, должно быть на единицу меньше числа узлов, содержащихся в цепи.
3. При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа принято считать: а) падение напряжения на участке цепи (т.е. произведение Ir) входит в уравнение со знаком плюс, если направление тока в данном участке совпадает с выбранным направлением обхода контура; в противном случае произведение Ir входит в уравнение со знаком минус; б) ЭДС входит в уравнение со знаком плюс, если она повышает потенциал в направлении обхода контура, т.е. если при обходе контура приходится идти от минуса к плюсу внутри источника тока; в противном случае ЭДС входит в уравнение со знаком минус.
Число независимых уравнений, которые могут быть составлены по второму закону Кирхгофа, должно быть меньше числа замкнутых контуров, имеющихся в цепи. Для составления уравнений первый контур можно выбирать произвольно. Все последующие контуры следует выбирать таким образом, чтобы в каждый новый контур входила хотя бы одна ветвь цепи, не участвовавшая ни в одном из ранее использованных контуров. Если при решении уравнений, составленных указанным выше способом, получены отрицательные значения силы тока или сопротивления, то это означает, что ток через данное сопротивление в действительности течет в направлении, противоположном произвольно выбранному.
Указания по решению.
На данной схеме есть m =2 узла: А и В. Сходящиеся в них токи одинаковы, поэтому первое правило Кирхгофа в данном случае дает лишь одно уравнение (m – 1=2 – 1=1, например, для узла В):
.
Т.к. число ветвей в данной цепи р =3, то независимых контуров в схеме будет 
: АСDB и ABNM, они являются элементарными контурами цепи. В направлении указания обозначений, т.е. по часовой стрелке, выберем и положительное направление обхода каждого из них. Записываем еще 2 уравнения на основе (6.2) для указанных контуров соответственно:
Получаем систему из трех уравнений для искомых сил токов в ветвях, которая, после подстановки числовых данных из условия задачи, принимает вид: 
Находим решение этой системы: I 1=2,68 А, I 2=-2,214 А,
I 3=0,466 А.
Отсюда ясно, что истинное направление тока через второй элемент противоположно указанному на рисунке. Падение напряжения на зажимах реостата 
(В).
Задача 2
. Определите напряженность электрического поля в алюминиевом проводнике объемом V =10 см3, если при прохождении по нему постоянного тока в течение t =5 мин выделилось Q =2,3 Дж теплоты.
Указания по решению.
Количество теплоты Q, выделившейся в алюминиевом проводнике сопротивлением R при прохождении по нему постоянного тока I в течение времени t, находится по закону Джоуля-Ленца в интегральной форме:
.
Из условия задачи не ясно, какова форма проводника, поэтому будем считать его линейным и его сопротивление считаем равным
,
где 
- удельное сопротивление алюминия (табличная величина), l – его длина, S - площадь поперечного сечения, которую считаем постоянной.
Искомую напряженность электрического поля в проводнике выразим:
.
Осталось записать связь между током, напряжением на концах проводника и его сопротивлением в соответствии с законом Ома для однородного участка «данный алюминиевый проводник»:
.
Мы рассмотрели 4 основные взаимосвязи между величинами, прямо или косвенно затронутыми в условии задачи. Попытаемся, исходя из этого, найти искомую величину. Для этого подставим в первое равенство последующие три:
,
отсюда и получается решение задачи в общем виде.
Завершите самостоятельно решение задачи, сделайте проверку размерностей и получите числовой результат.
Задача 3
Сила тока в проводнике сопротивлением R =10 Ом за время D t =50 с равномерно возрастает от I 1=5 А до I 2=10 А. Определите: 1) заряд, протекший через поперечное сечение проводника за указанное время; 2) количество теплоты, выделившееся за это время в проводнике.
Указания по решению.
При решении этой задачи будем использовать 2 метода: графический и так называемый «метод среднего», а также аналогию с кинематикой материальной точки.
Построим график изменения со временем силы тока в проводнике (рис. 24).
|
I способ (графический). Известно из кинематики, что при неравномерном прямолинейном движении тела (когда скорость меняется по величине) в течение некоторого промежутка времени пройденный за это время путь графически представляется площадью криволинейной трапеции под графиком зависимости v (t) в соответствующем рассматриваемому отрезку движения временном интервале. Аналогично (с учетом таблицы 2 на стр. 70) искомый заряд равен площади заштрихованной фигуры на рис. 24, т.е. q =375 Кл.
II способ («метод среднего»). Из кинематики известно, что в случае равномерного возрастания скорости (равноускоренное движение) средняя на участке скорость равна среднему арифметическому от значений скорости в начале и в конце рассматриваемого участка движения. По аналогии найдем в данном случае среднее значение силы тока:
(А).
Тогда также, как, зная среднюю скорость, находится весь пройденный путь, суммарный прошедший через поперечное сечение заряд будет равен
(Кл).
Легко видеть, что полученные разными способами результаты совпадают.
2) Будем теперь искать количество теплоты, выделившееся за это время в проводнике.
Прежде всего, найдем искомое значение в соответствии с законом Джоуля-Ленца:
, (*)
где, согласно таблице 2, сила тока меняется по закону
.
Подставляем и вычисляем
=29,17 (кДж).
Задача 4
Определить плотность тока в медной проволоке длиной ℓ=10 м, если разность потенциалов на ее концах j1-j2=12 В.
Решение. Плотность тока, определяемую формулой j=di/dS, найдем, выразив силу тока по закону Ома для участка однородной цепи I=(j1-j2)/R. Тогда с учетом R=rℓ/S получим I=(j1-j2)S/(rℓ).
Отсюда плотность тока j=di/dS=(j1-j2)/(rℓ). (1)
К такому же выводу можно прийти, применив закон Ома в дифференциальной форме j=gE, предварительно выразив напряженность электрического поля внутри проводника через разность потенциалов на концах проводника и его длину: E=(j1-j2)/ℓ.
С учетом r=1/g,будем иметь:
j=(j1-j2)/(rℓ).
Выбрав из справочных таблиц значение удельного сопротивления меди и выполнив вычисление, найдем j=7×107 (А/м).