Анализ электрического состояния однофазных
цепей синусоидального тока
Задача2.1. К зажимам электрической цепи подключен источник синусоидального напряжения u=U msin(wt+Yu), В частотой f =50 Гц. Амплитуда, начальная фаза напряжения и параметры элементов цепи заданы в таблице 2.1. Схемы замещения цепи приведены на рисунках 2.1 - 2.30.
Задание: 1. Начертить схему замещения электрической цепи, соответствующую варианту, рассчитать сопротивления реактивных элементов цепи.
2. Определить действующие значения токов во всех ветвях цепи.
3. Записать уравнение мгновенного значения тока источника.
4. Определить показание ваттметра и составить баланс активных и реактивных мощностей.
5. Рассчитать напряжения на каждом элементе цепи.
6. Построить векторную диаграмму токов, совмещенную с топографической векторной диаграммой напряжений.
Указания к выбору варианта: порядковый номер студента в журнале группы определяет номер схемы (рисунки 2.1- 2.30), а порядковый номер группы - выбор числовых данных в таблице 2.1.
Рисунок 2.1 Рисунок 2.2 Рисунок 2.3
Рисунок 2.4 Рисунок 2.5 Рисунок 2.6
Рисунок 2.7 Рисунок 2.8 Рисунок 2.9
Рисунок 2.10 Рисунок 2.11 Рисунок 2.12
Рисунок 2.13 Рисунок 2.14 Рисунок 2.15
Рисунок 2.16 Рисунок 2.17 Рисунок 2.18
Рисунок 2.19 Рисунок 2.20 Рисунок 2.21
Рисунок 2.22 Рисунок 2.23 Рисунок 2.24
Рисунок 2.25 Рисунок 2.26 Рисунок 2.27
Рисунок 2.28 Рисунок 2.29 Рисунок 2.30
Таблица2.1
| Номер | U m, | Y u , | R 1 | R 2 | R 3 | L 1 | L 2 | C 1 | C 2 | |
| группы | В | град. | Ом | мГн | мкФ | |||||
| 79,5 | 127,2 | 127,2 | 79,5 | |||||||
| 63,6 | 127,2 | 79,5 | ||||||||
| -45 | 254,4 | 63,5 | 39,8 | |||||||
| 127,2 | 190,8 | 39,8 | ||||||||
| 127,2 | 63,6 | |||||||||
| 238,5 | 42,5 | 19,9 |
Типовой расчет к задаче 2.1.
К зажимам электрической цепи, схема замещения которой приведена на рисунке 2.31, подключен источник синусоидального напряжения u = 311 sin(w t + 45°), B частотой f = 50 Гц.
Рисунок 2.31
Параметры элементов схемы замещения: R 1 = 5 Ом; R 2 = 8 Ом; L 1 = 39,8 мГн; L 2 = 19 мГн; C 1 = 162,5 мкФ; C 2 = 192 мкФ.
Задание.
1. Рассчитать реактивные сопротивления элементов цепи.
2. Определить действующие значения токов во всех ветвях цепи.
3. Записать уравнение мгновенного значения тока источника.
4. Определить показание ваттметра и составить баланс активных и реактивных мощностей.
5. Рассчитать напряжения на каждом элементе цепи.
6. Построить векторную диаграмму токов, совмещенную с топографической векторной диаграммой напряжений.
Решение.
1. Реактивные сопротивления элементов цепи
Х 1= 
=19,6 Ом,
где w = 2p f = 2× 3,14×50 = 314 1/c;
Х 2 = w L 1 = 314× 39,8 × 10-3 = 12,5 Ом;
Х 3 = w L 2 =314× 19 × 10-3 = 6 Ом;
Х 4 = 
= 16,6 Ом.
2. Расчет токов в ветвях цепи выполняем методом эквивалентных преобразований. Находим комплексные сопротивления ветвей, затем участков цепи:
= R 1 - j X 1 = 5 - j19,6 = 
Ом;
= j X 2 = j 12,5 = 12,5 e j 90° Ом; 
= R 2 + j X 3 = 8 + j6 = 10 e j37° Ом;
= - j x 4 = -j 16,6 = 16,6 e - j 90° Ом;
= 
= 12,5 Ом;
= 
+ 
= j12,5 +12,5 = 17,7 e j45° Ом.
Эквивалентное сопротивление всей цепи можно не определять, так как в данном случае токи первой I 1 и второй I 2 ветвей можно найти по закону Ома для участка цепи db:
= 
A;
. 
= 
А.
Тогда ток на общем участке цепи (ток источника)
= 
+ = 10,9 cos 120,6 ° + j10,9sin120,6° + 12,4 = 11,6e j54° A.
Для определения токов параллельных ветвей I 3 и I 4 рассчитаем напряжение на зажимах этих ветвей
= × 
= 12,5 × 12,4 = 155 B;
= 
A;
= 
A.
3. Уравнение мгновенного значения тока источника
i = 11,6 × 
sin (w t + 54°) = 16,3 sin (314 t +54°) A.
4. Комплексная мощность цепи
= 
· 
= 220 e j45°× 11,6 e -j54° = 2550 e-j 9° = 2510 - j 400 B×A.
Ваттметр показывает отдаваемую источником активную мощность, которая равна действительной части комплексной мощности
P w = P ист= Re 
=2510 Вт.
Реактивная мощность источника равна мнимой части комплексной мощности
Q ист= Im = - 400 вар
(знак минус определяет емкостный характер мощности).
Активная Р пр и реактивная Q пр мощности приемников
Р пр = R 1 I 12 + R 2 I 32 = 5×10,92 +8×15,52 = 2510 Вт;
Q пр = - X 1 I 12 + X 2 I 22 + X 3 I 32 - X 4 I 42 = - 400 вар.
Баланс мощностей выполняется P ист = P пр; Q ист = Q пр.
5. Напряжения на элементах схемы замещения цепи:
U de = R 1 I 1 = 5×10,9 = 54,5 B;
U eb = X 1 I 1 = 19,6×10,9 = 214 B;
U da = X 2 I 2 = 12,5×12,4 = 155 B;
U ac = X 3 I 3 = 6×15,5= 93 B;
U cb = R 2 I 3 = 8×15,5= 124 B.
6. На комплексной плоскости в масштабе откладываем векторы токов в соответствии с расчетными значениями, при этом положительные фазовые углы отсчитываем от оси +1 против часовой стрелки, а отрицательные – по часовой стрелке. Так, вектор тока 
= 10,9 e j120,6°A повернут относительно оси +1 на угол 120,6 ° и длина его в масштабе определяет ток 10,9 А; вектор тока I 2=12,4 А совпадает с осью действительных величин и т.д. (рисунок 2.32).
Рисунок 2.32
На топографической векторной диаграмме напряжений каждой точке диаграммы соответствует определенная точка электрической цепи. Построение векторов напряжения ведем, соблюдая порядок расположения элементов цепи и ориентируя векторы напряжения относительно векторов тока: на активном сопротивлении ток и напряжение совпадают по фазе, на индуктивном элементе напряжение опережает ток на угол p/2, а на емкостном – напряжение отстает от тока на угол p/2. Направление обхода участков цепи выбираем, как принято, противоположно положительному направлению токов. Обход начинаем от точки b, потенциал которой принимаем за исходный (j b=0). Точку b помещаем в начало координат комплексной плоскости. При переходе от точки b к точке е потенциал повышается на величину падения напряжения в емкостном сопротивлении X 1. Вектор этого напряжения U eb отстает по фазе от вектора I 1 на угол p/2. Конец вектора U eb определяет потенциал точки е. Потенциал точки d выше потенциала точки е на величину падения напряжения U de = R 1 I 1.Вектор U de откладываем от точки е параллельно току I 1. Конец вектора U de определяет потенциал точки d. Соединив отрезком прямой точки b и d, получим вектор напряжения на зажимах цепи U = U de = 220 ej45° B.
Аналогично строим векторы напряжений других участков цепи, сохраняя обход навстречу току. От точки b проводим вектор U cb параллельно вектору тока I 3. Конец вектора U cb определяет потенциал точки с. От точки с откладываем вектор U ас, опережающий ток I 3 на угол p/2, т.к. участок содержит индуктивное сопротивление X 3 . Затем от точки а откладываем вектор U da, опережающий I 2 на p /2. Так как обмотка тока ваттметра имеет пренебрежимо малое сопротивление, то падение напряжения на ней ничтожно и потенциалы точек f и d практически одинаковы. На топографической диаграмме напряжений эти точки совпадают.