Свойства сходящихся рядов.

Практическая работа № 6.

Тема: Определение сходимости рядов по признаку Даламбера. Определение сходимости знакопеременных рядов. Разложение функций в ряд Маклорена.

Цели: Научиться исследовать на сходимость числовые ряды и разлагать в степенной ряд элементарные функции.

Краткие теоретические сведения.

Определение 1. Числовым рядом называется выражение вида (1), где - числа, принадлежащие некоторой определенной числовой системе.

Для сокращенного обозначения рядов используется знак суммирования , а именно

(2)

Примеры числовых рядов. Из членов бесконечной числовой последовательности можно составить ряд , который называется рядом геометрических прогрессий.

Ряд называется гармоническим рядом.

Определение 2. Сумма первых членов ряда называется частичной суммой ряда.

С рядом (2) связана последовательность его частичных сумм , где .

Определение 3. Ряд (1) называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм сходится, т.е. существует конечный предел . Число называется суммой ряда. Если не существует или , то ряд называется расходящимся.

Гармонический ряд является расходящимся. Ряд геометрической прогрессии при сходится, при ряд геометрической прогрессии сходится лишь при . Если и , то этот ряд расходится. Если и , то получаем при ряд , а при ряд .

Свойства сходящихся рядов.

Теорема 1. Если ряд (2) сходится и его сумма равна , то для произвольного числа ряд (3) также сходится и его сумма равна , если же ряд (2) расходится и , то и ряд (3) расходится.

Теорема 2. Если ряды и сходятся и их суммы равны соответственно и , то и каждый из двух рядов

сходится и сумма каждого равна соответственно т.е. сходящиеся ряды можно почленно складывать и вычитать.

Следствие 1. Сумма (разность) сходящегося и расходящегося рядов есть расходящийся ряд.

Теорема 3. Если в ряде (1) добавить или отбросить конечное число членов, то полученный ряд сходится или расходится одновременно с данным. В случае сходимости рассматриваемых рядов их суммы отличаются на сумму добавленных или отброшенных членов

Определение 3. Ряд называется остатком ряда (1).

Следствие 2. Если ряд (1) сходится, то его остаток стремится к нулю при .

Теорема 4. Если ряд (2) сходится, то его общий член стремится к нулю.

Если или этот предел не существует, то ряд расходится.

Признак Даламбера.

Теорема 5. Пусть дан ряд (1) с положительными членами. Допустим, что существует и . Тогда:

1) если , то ряд (1) сходится;

2) если , то ряд (1) расходится.

Замечание. При ряд может как сходится, так и расходится. В этом случае необходимо дополнительное исследование.

Пример 1. Исследовать сходимость ряда, используя признак Даламбера.

Подставляя в общий член ряда вместо число , получим . Найдем предел отношения -го члена к -му члену при .

Следовательно данный ряд сходится.

Пример 2. Исследовать сходимость ряда, используя признак Даламбера.

Имеем .

т.е. ряд расходится..

Пример 3. Исследовать сходимость ряда, используя признак Даламбера.

Имеем .

т.е. ряд расходится.

Знакопеременные ряды.

Определение 4. Ряды, содержащие как положительные, так и отрицательные члены, называются знакопеременными.

Определение 5. Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд , составленный из модулей его членов.

Определение 6. Ряд называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд , составленный из модулей его членов, расходится.

Определение 7. Ряд называется знакочередующимся, если положительные и отрицательные члены следуют друг за другом поочередно.

. (4)

Теорема 6 (Лейбница). Знакочередующийся ряд (4) сходится, если:

1) его члены убывают по модулю,

2) его общий член стремится к нулю,

При этом сумма ряда (4) удовлетворяет неравенствам .

Пример 4. Исследовать на сходимость (абсолютную или условную) знакочередующийся ряд

Члены данного ряда по модулю монотонно убывают: и . Следовательно, согласно признаку Лейбница, ряд сходится. Выясним, сходится ли этот ряд абсолютно или условно. Ряд , составленный из модулей данного ряда является гармоническим рядом, который расходится. Поэтому данный ряд сходится условно.

Пример 5. Исследовать на сходимость (абсолютную или условную) знакочередующийся ряд .

Члены данного ряда по модулю монотонно убывают: , но

, Ряд расходится, так как признак Лейбница не выполняется.

Пример 6. Исследовать на сходимость (абсолютную или условную) знакочередующийся ряд.

Используя признак Лейбница, получим , т. е. ряд сходится. Рассмотрим ряд составленный из модулей членов данного ряда

. Это геометрический ряд вида , который сходится Поэтому данный ряд сходится абсолютно.

Пример 7. Исследовать сходимость знакопеременного ряда

Исследуем, сходится ли заданный ряд абсолютно, для этого составим ряд из модулей членов данного ряда . По признаку Даламбера имеем

Так как предел отношения последующего члена к предыдущему меньше единицы, то ряд сходится. Отсюда вытекает, что данный ряд также сходится, и притом абсолютно. Определение 8. Ряд вида (5) называется степенным рядом.

Числа называются коэффициентами степенного ряда. Придавая различные числовые значения, будем получать различные числовые ряды, которые могут оказаться сходящимися или расходящимися. Множество тех значений , при которых ряд (5) сходится называется областью его сходимости. Это множество никогда не пусто. так как любой степенной ряд сходится при .

Теорема 7. Пусть существует конечный или бесконечный предел . Тогда:

а) если и , то степенной ряд (5) сходится абсолютно в интервале , т.е.при и расходится вне этого интервала, т.е. при ;

б) если , то ряд (5) сходится при любом ;

в) если , то ряд (5) сходится лишь при .

Определение 9. Число называется радиусом сходимости ряда (5), если при всех , для которых , ряд (5) сходится, а при всех , для которых , ряд (5) расходится.

Радиус сходимости ряда (5) определяется по формуле . (6)

Определение 10. Интервал называется интервалом сходимости ряда (5).

Если предел (6) равен нулю , то ряд (5) сходится в единственной точке . На концах промежутка ряд может сходится (абсолютно или условно), но может и расходится. Сходимость ряда (5) при и исследуется с помощью признаков сходимости.

Пример 8. Найти промежуток сходимости степенного ряда

Используем формулу (6) получим

. Следовательно, промежуток есть , т.е. данный ряд сходится на всей числовой прямой.

Пример 9. Найти промежуток сходимости степенного ряда

Согласно формулы (6), находим ;

. Ряд сходится в одной точке .

Пример 10. Найти промежуток сходимости степенного ряда

Используя формулу (6), получим

Следовательно данный ряд сходится абсолютно при .

Исследуем сходимость ряда в точках и . При имеем

. Это знакочередующийся ряд, который в силу признака Лейбница сходится.

При имеем . Это гармонический ряд, который расходится, так как . Отсюда следует, что данный ряд сходится при .

Пример 11. Найти промежуток сходимости степенного ряда

Согласно формуле (6) имеем

. Ряд сходится в промежутке .

Исследуем сходимость ряда в точках и . При имеем знакочередующийся ряд . В силу признака Лейбница он сходится. При имеем ряд , есть гармонический ряд, который сходится, так как . Следовательно, данный ряд сходится в промежутке .