Цель работы:
студент должен:
знать:
- свойства степенной функции с различными показателями степени;
уметь:
- строить график степенной функции с различными показателями степени.
Сведения из теории:
Степенная функция с натуральным показателем
Функция у = хn, где n – натуральное число, называется степенной функцией с натуральным показателем. При n =1 получаем функцию у = х.
Прямая пропорциональность
Прямой пропорциональностью называется функция, заданная формулой у = kxn, где число k называется коэффициентом пропорциональности.
Перечислим свойства функции у = kx:
1. Область определения функции – множество всех действительных чисел.
2. y = kx – нечетная функция, т.к. f (- х)= k (- х)=- kx =- k (х)=- f (х).
3. При k >0 функция возрастает, а при k <0 убывает на всей числовой прямой.
Рисунок 12. График функции у = kx
При n =2 получаем функцию y = х 2. Перечислим свойства функции y = х 2:
1. Область определения функции – вся числовая прямая.
2. y = х 2 – четная функция, т.к. f (- х)=(- x)2 = x 2= f (х).
3. На промежутке [0; +∞) функция возрастает. На промежутке (- 
; 0] функция убывает.
4. Графиком функции y = х 2 является парабола.
Рисунок 13. График функции y = х 2
При n = 3 получаем функцию у = х 3, ее свойства:
1. Область определения функции – вся числовая прямая.
2. у = х 3 – нечетная функция, т.к. f (- х)=(- x)3 =- х 3=- f (x).
3. Функция у = х 3 возрастает на всей числовой прямой.
4. График функции у = х 3 называется кубической параболой.
Рисунок 14. График функции y = х 3
Пусть n – произвольное четное натуральное число, большее двух: n =4, 6, 8,....
В этом случае функция у = хn обладает теми же свойствами, что и функция у = х 2. График такой функции напоминает параболу у = х 2, только ветви графика при | n |>1 круче идут вверх, чем больше n, а при | n| <1 «теснее прижимаются» к оси х, чем больше n.
Пусть n – произвольное нечетное число, большее трех: n =5, 7, 9,....
В этом случае функция у = хn обладает теми же свойствами, что и функция у = х 3. График такой функции напоминает кубическую параболу (только ветви графика тем круче идут вверх, вниз, чем больше n). Отметим также, что на промежутке (0; 1) график степенной функции у = хn тем медленнее отдаляется от оси О х с ростом х, чем больше n.
Степенная функция с целым отрицательным показателем.
Рассмотрим функцию у = х - n, где n – натуральное число. При n =2 получаем у = х - 2 или у = 
. Свойства этой функции:
1. Функция определена при всех х 
0.
2. у = – четная функция.
3. у = – убывает на (0; +∞) и возрастает на (-∞; 0).
Теми же свойствами обладают любые функции вида y = х-n при четном n, большем двух.
Функции вида 
, 
, 
обладают теми же свойствами, как и функция 
.
Степенная функция с положительным дробным показателем
Рассмотрим функцию у = хr, где r – положительная несократимая дробь. Перечислим некоторые свойства этой функции:
1. Область определения – луч [0; +∞).
2. Функция ни четная, ни нечетная.
3. Функция у = хr возрастает на [0; +∞).
Рисунок 15. Графики степенных функций
На рисунке слева изображен график функции 
. Он заключен между графиками функций у = х 2 и у = х 3, заданных на промежутке [0; +∞).
Подобный вид имеет график любой функции вида у = хr, где 
.
На том же рисунке посередине изображен график функции 
. Подобный вид имеет график любой степенной функции у = хr, где 
.
Степенная функция с отрицательным дробным показателем
Рассмотрим функцию у = х-r, где r – положительная несократимая дробь. Перечислим свойства этой функции:
1. Область определения – промежуток (0; +∞).
2. Функция ни четная, ни нечетная.
3. Функция у = х-r убывает на (0; +∞).
Пример 57.
Построить график функции 
.
Решение:
построим таблицу значений данной функции:
| х | 
| 
| |||
| у | 
| 
|
Нанесем полученные точки на координатную плоскость и соединим их плавной кривой:
Рисунок 16. График функции
Подобный вид имеет график любой функции у = х-r, где r – отрицательная дробь.
Задания для самостоятельного решения:
Постройте график функции и опишите ее свойства:
1 вариант
 .
| 2 вариант
 .
| 3 вариант
 .
|
4 вариант
 .
| 5 вариант
 .
| 6 вариант
 .
|
7 вариант
 .
| 8 вариант
 .
| 9 вариант
 .
|
Контрольные вопросы:
1. Что называется степенной функцией?
2. Перечислите виды степенных функций.
3. Перечислите свойства функции для различных показателей степени.