Вращательное движение твердого тела

Кинематика

1. Камень падает с башни и за время достигает поверхности земли. Найти скорость камня в момент касания земли и высоту падения. (Здесь и далее сопротивление воздуха не учитываем, если это не оговорено специально.)
2. C башни упал камень. Определить путь, пройденный камнем за 1, 2, 3 и 4 секунды, построить график .
3. C башни высотой м упал камень. Определить высоту, на которой окажется камень через 1, 2, 3 и 4 секунды, построить график .
4. Камень брошен с башни горизонтально со скоростью и через время коснулся земли. Определить скорость камня в момент удара и расстояние от башни до точки падения.
5. Мяч брошен под углом к горизонту с начальной скоростью . Определить скорость мяча на максимальной высоте.
6. Мяч, брошенный под углом к горизонту со скоростью , через какое-то время коснется земли. Найти время полета мяча, наибольшую высоту его подъема и расстояние до точки падения.
7. На какое максимальное расстояние можно бросить мяч в спортивном зале высотой 8 м, если мяч имеет начальную скорость м/с? Какой угол с полом зала должен составлять в этом случае вектор начальной скорости мяча? Считать, что высота начальной точки траектории мяча над полом мала по сравнению с высотой зала, и мяч не ударяется о потолок зала.
8. ☺ Тело, двигаясь с постоянным ускорением, проходит последовательно два отрезка пути по 10 м каждый. Найти ускорение тела и скорость в начале первого отрезка, если первый отрезок пройден телом за время с, а второй за с.
9. ☺ За время тело прошло путь , причем его скорость увеличилась в раз. Считая движение равноускоренным с начальной скоростью, определить величину ускорения тела.
10. ☺ В какой точке траектории тела, брошенного под углом к горизонту, его нормальное к траектории ускорение будет максимальным?
11. ☺ Из трех труб, расположенных на земле, с одинаковой скоростью бьют струи воды: под углом в 60, 45 и 30 градусов к горизонту. Найти отношение наибольших высот подъема струй воды и отношение дальностей падения воды на землю.
12. На тележке, равномерно движущейся по горизонтальной плоскости, установлена труба. Как и под каким углом должна быть ориентирована эта труба, чтобы капли дождя, падающие вертикально, пролетали через нее, не задевая внутренних стенок? Движение капель считать равномерным
13. Автомобиль движется по закруглению шоссе с радиусом кривизны . Закон движения автомобиля описывается уравнением . Найти скорость автомобиля, полное, нормальное и тангенциальное ускорение в момент времени .
14. Автомобиль, движущийся со скоростью 40 км/час, проходит закругление шоссе с радиусом кривизны 200 м. На повороте шофер тормозит машину, сообщая ей ускорение 0.3 м/с². Найти нормальное и полное ускорение автомобиля на повороте. Как направлен вектор полного ускорения по отношению к радиусу кривизны закругления шоссе?
15. Точка движется по окружности радиусом с постоянным тангенциальным ускорением , но без начальной скорости. Найти нормальное и полное ускорение точки через время . Найти угол между направлением вектора полного ускорения и радиус-вектором.
16. ☺ Во сколько раз нормальное ускорение больше тангенциального для точки, лежащей на ободе вращающегося колеса, в момент времени, когда вектор полного ускорения составляет угол с вектором линейной скорости?
17. Якорь электромотора, вращающийся со скоростью, соответствующей частоте об/с, после выключения тока равнозамедленно остановился, сделав оборотов. Найти угловое ускорение якоря после выключения тока.
18. . ☺ Точка движется по окружности радиусом 20 см с постоянным тангенциальным ускорением см/с². Через сколько времени после начала движения нормальное ускорение точки будет равно тангенциальному?
19. Вентилятор вращается со скоростью, соответствующей частоте об/мин. После выключения вентилятор, вращаясь равнозамедленно, сделал до остановки оборотов. Сколько времени прошло с момента выключения вентилятора до полной его остановки?
20. Линейная скорость точек по окружности вращающегося диска равна . Точки, расположенные на см ближе к оси, имеют линейную скорость . Сколько оборотов в секунду делает диск?
21. ☺ Точка движется по окружности радиусом 10 см с постоянным тангенциальным ускорением. Найти тангенциальное ускорение, если к концу 5-го оборота после начала движения скорость точки стала равна 79.2 см/с.
22. ☺ Найти линейную скорость точек земной поверхности, вызванную вращением Земли вокруг своей оси, на экваторе и на географической широте . Радиус земного шара км.
23. Найти ускорение Земли на географической широте , вызванное ее суточным вращением. Радиус земного шара км.
24. Луна обращается вокруг Земли с периодом суток. Средний радиус орбиты Луны км. Найти линейную скорость движения Луны вокруг Земли и ее нормальное ускорение .
25. Найти линейную скорость Земли, вызванную ее орбитальным движением. Средний радиус земной орбиты км.
26. С какой скоростью должен лететь самолет с востока на запад на экваторе, чтобы пассажирам этого самолета Солнце казалось неподвижно стоящим на небе?
27. Небольшое тело соскальзывает вниз с высоты по наклонному желобу, переходящему в «мертвую петлю» радиуса . На какой высоте тело выпадет из петли?

Динамика

1. ☺ Поезд массой 500 т движется равнозамедленно. При этом его скорость уменьшается в течение 1 мин от 40 до 28 км/ч. Найти силу торможения.
2. ☺ Поезд массой 500 т после прекращения тяги паровоза под действием силы трения Н останавливается через 1 мин. С какой скоростью шел поезд?
3. В лифте установлены пружинные весы, на которых подвешено тело массы 1 кг. Что будут показывать весы, если лифт: 1) движется вверх с ускорением м/с², направленным вниз; 2) движется вниз с ускорением м/с², направленным вверх; 3) движется вниз, ускорение направлено вниз и равно м/с²?

На гладкой горизонтальной плоскости находится тело массы . Тело массы подвешено на нити, перекинутой через блок и привязанной к телу . Найти ускорение тел и и натяжение нити. Трением о плоскость и трением в блоке, а также массами блока и нити пренебречь.

1. По наклонной плоскости с углом наклона скользит тело. Сила трения между телом и плоскостью пропорциональна силе нормального давления тела на плоскость и не зависит от скорости тела; коэффициент трения между трущимися поверхностями равен . Найти ускорение , с которым скользит тело.
2. На горизонтальной доске лежит груз. Какое ускорение в горизонтальном направлении следует сообщить доске, чтобы груз мог с нее соскользнуть, если коэффициент трения между доской и грузом ?
3. Стальной шарик диаметром 0.1 мм падает в широкий сосуд, наполненный глицерином. Найти скорость установившегося (равномерного) движения шарика. Коэффициент внутреннего трения в глицерине г·см^–1·с^–1, плотность глицерина г·см^–3, плотность стали г·см^–3 (сила трения ).

На гладкой наклонной плоскости, которая составляет угол с горизонтом, лежит груз массы , связанный нитью с висящим грузом массы (см. рис.). С каким ускорением будут двигаться грузы, каким будет натяжение нити?

1. Воздушный шар массы опускается с постоянной скоростью. Какой балласт надо выбросить, чтобы шар начал подниматься с той же скоростью? Подъемную силу шара считать постоянной.
2. ☺ Какой массы балласт надо сбросить с равномерно опускающегося аэростата, чтобы он начал равномерно подниматься с той же скоростью? Сила тяжести аэростата с балластом 1600 кГс, подъемная сила аэростата 1200 кГс. Силу сопротивления воздуха при подъеме и спуске считать одинаковой.
3. ☺ Какую силу надо приложить к вагону массой 16 т, стоящему на рельсах, чтобы вагон стал двигаться равноускоренно и за время 30 с прошел путь 11 м? Во время движения на вагон действует сила трения, равная 0.05 силы тяжести.
4. К потолку трамвайного вагона подвешен на нити шар. Вагон тормозится, и его скорость равномерно изменяется за время от до . На какой угол отклонится при этом нить с шаром?
5. Действуя постоянной силой (20 кГ), поднимают груз весом (10 кГ) на высоту (10 м). Какая при этом совершается работа? Какой потенциальной энергией будет обладать поднятый груз?
6. ☺ Ядро массой 2 кг толкнули под углом 30° к горизонту. Работа, затраченная на толкание ядра, равна 216 Дж. Через сколько времени и на каком расстоянии от места толкания ядро упадет на землю?
7. Автомобиль массой движется в гору (уклон горы ). Найти работу, совершаемую двигателем на пути .
8. Автомобиль массой движется под гору (уклон горы ) с постоянной скоростью . Какую мощность должен развивать двигатель этого автомобиля, чтобы с той же скоростью двигаться в ту же гору?

Пуля массы (см. рисунок) попадает в деревянный брусок массы , подвешенный на нити длиной , и застревает в нем. Определить, на какой угол отклонится брусок, если скорость пули равна .

1. С башни высотой горизонтально брошен камень массой с начальной скоростью . Найти кинетическую и потенциальную энергию камня, спустя время после начала движения.
2. ☺ С башни высотой 25 м горизонтально брошен камень массой 0.2 кг со скоростью 15 м/с. Найти потенциальную и кинетическую энергию камня, спустя 1 с после начала движения.
3. ☺ Камень массой кг упал с некоторой высоты. Падение продолжалось 1.43 с. Найти кинетическую и потенциальную энергию камня в средней точке пути.
4. Тело массой свободно падает с высоты . Найти изменение импульса этого тела.
5. Камень бросили под углом к горизонту с начальной скоростью . Найти полную энергию камня в высшей точке траектории.
6. В шар массы , движущийся со скоростью , ударяется шар массы , догоняющий первый со скоростью . Считая удар неупругим, найти скорость шаров после удара и их кинетическую энергию.
7. Тело массы ударяется неупруго о тело массы . Найти долю потерянной при этом кинетической энергии, если тело до удара находилось в покое.
8. ☺ Тело массы 5 кг ударяется о неподвижное тело массой 2.5 кг. Кинетическая энергия системы этих двух тел непосредственно после удара стала равна 5 Дж. Считая удар центральным и неупругим, найти кинетическую энергию первого тела до удара.
9. ☺ Тело массы 1 кг, движущееся горизонтально со скоростью 1 м/с, догоняет движущееся в том же направлении со скоростью 0.5 м/с тело массой 0.5 кг и неупруго сталкивается с ним. Какую скорость получат тела?
10. Человек массой , стоя на коньках на льду, бросает камень массой со скоростью в горизонтальном направлении. На какое расстояние откатится человек, если коэф. трения коньков о лед равен .
11. Тело массой движется со скоростью и ударяется о неподвижное тело такой же массы. Считая удар центральным и неупругим, найти количество теплоты, выделившейся при ударе.
12. Из орудия массой вылетает снаряд массой . Кинетическая энергия снаряда при вылете равна . Какую кинетическую энергию получает орудие вследствие отдачи?
13. ☺ Снаряд массой 100 кг, летящий горизонтально вдоль железнодорожного пути со скоростью 500 м/с, попадает в вагон с песком массой 10 т и застревает в нем. С какой скоростью станет двигаться вагон, если до того он двигался навстречу снаряду и его скорость составляла 36 км/ч?
14. ☺ Граната, летящая со скоростью 10 м/с, разорвалась на два осколка. Осколок, масса которого составляла 60% массы всей гранаты, продолжал двигаться в прежнем направлении со скоростью 25 м/с. Найти скорость меньшего осколка.
15. Пуля, летящая горизонтально, попадает в шар, подвешенный на легком жестком стержне, и застревает в нем. Масса пули в 1000 раз меньше массы шара. Расстояние от точки подвеса до центра шара равно . Найти скорость пули, если известно, что стержень с шаром после удара пули отклонился на угол .
16. Нейтрон массой ударяется о неподвижное ядро атома углерода (). Считая удар центральным и упругим найти, какую часть скорости потеряет нейтрон.
17. Длина взлетной полосы самолета равна , скорость при взлете – . Какую перегрузку испытывает пассажир в этом самолете, если разгон самолета происходит равномерно?

Вращательное движение твердого тела

Момент инерции тела радиусом и массой , вращающегося вокруг собственной оси:

– обруч, – диск, – шар; – тонкий однородный стержень длиной и массой (ось вращения перпендикулярна и делит длину пополам).

1. Тонкий однородный стержень длиной и массой вращается вокруг оси, проходящей через его торец и перпендикулярно ему. Найти кинетическую энергию, если скорость вращения равна .
2. Шар радиусом , массой закреплен на конце тонкого невесомого стержня. Найти момент инерции относительно оси, проходящей через конец стержня, перпендикулярно его длине.
3. Диск массой катится без скольжения по горизонтальной плоскости со скоростью . Найти кинетическую энергию диска.
4. ☺ Диск массой 2 кг катится без скольжения по горизонтальной плоскости со скоростью 4 м/с. Найти кинетическую энергию диска.
5. ☺ Диск массой и диаметром вращается вокруг оси, проходящей через центр перпендикулярно его плоскости, делая об/с. Какую работу надо совершить, чтобы остановить диск?
6. Обруч и диск одинаковой массы катятся с одинаковой линейной скоростью . Кинетическая энергия диска равна . Найти кинетическую энергию обруча.
7. Шар радиусом , массой катится без скольжения по горизонтальной плоскости со скоростью . Найти кинетическую энергию шара.
8. ☺ Медный шар радиусом 10 см вращается со скоростью, соответствующей частоте 2 об/с, вокруг оси, проходящей через его центр. Какую работу надо совершить, чтобы увеличить угловую скорость вращения шара вдвое?
9. Маховик в виде диска массой и радиусом был раскручен до скорости и предоставлен самому себе. Под влиянием трения маховик остановился через время . Найти момент силы трения, считая его постоянным.

Колебательное движение