Воспользуемся формулой разности квадратов:
Ответ: 1
Задание 10
Родительский комитет закупил 20 пазлов для подарков детям на окончание года, из них 10 с машинами и 10 с видами городов. Подарки распределяются случайным образом. Найдите вероятность того, что Коле достанется пазл с машиной.
Решение.
Вероятность того, что Коле достанется пазл с машиной равна 
Ответ: 0,5.
Ответ: 0,5
0,5
Задание 11
Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
1) 
2) 
3) 
Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:
| А | Б | В |
Решение.
Графиком каждой функции является прямая.
1) — уравнение прямой, пересекает ось ординат в точке 0
2) — уравнение прямой, пересекает ось ординат в точке 2
3) 
— уравнение прямой, которая проходит параллельно оси X на уровне 2: A — 2, Б — 1, В — 3.
Ответ: 213.
Ответ: 213
Задание 12
Полную механическую энергию тела (в джоулях) можно вычислить по формуле 
где 
— масса тела (в килограммах), 
— его скорость (в м/с), 
— высота положения центра масс тела над произвольно выбранным нулевым уровнем (в метрах), а 
— ускорение свободного падения (в м/с2). Пользуясь этой формулой, найдите (в метрах), если 
а 
Решение.
Выразим сопротивление из формулы для мощности: 
Подставляя, получаем:
Ответ: 12.
Ответ: 12
Задание 13
Решите неравенство: 
На каком из рисунков изображено множество его решений?
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение.
Решим неравенство методом интервалов:
Получаем 
Правильный ответ указан под номером 3.
Ответ: 3
Задание 14
Бизнесмен Бубликов получил в 2000 году прибыль в размере 5000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 300% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Бубликов за 2003 год?
Решение.
Поскольку каждый год прибыль увеличивалась на 300%, она увеличивалась в 4 раза по сравнению с предыдущим годом. Ищем четвертый член геометрической прогрессии: за 2003 год Бубликов заработал 
руб.
Ответ: 320 000.
Примечание.
Прибыли можно было найти последовательно: за 2001 год — 20 тыс. руб., за 2002 год — 80 тыс. руб., за 2003 год — 320 тыс. руб.
Примечание.
В задаче речь идет о прибыли, то есть о сумме, заработанной за год, а не о капитале на конец года. Поэтому не следует отнимать о суммы, заработанной в текущем году, сумму, заработанную в предыдущем году.
Ответ: 320000
Задание 15
В треугольнике ABC известно, что BM — медиана и BH — высота. Известно, что AC = 64, HC = 16 и 
. Найдите угол AMB. Ответ дайте в градусах.
Решение.
Поскольку 
— медиана, 
Найдём 
Рассмотрим треугольники 
и 
они прямоугольные, 
равно 
— общая, следовательно, треугольники равны. Откуда 
то есть треугольник 
— равнобедренный, значит, 
Углы 
и 
— смежные, вместе составляют развёрнутый угол, поэтому 
Ответ: 143.
Ответ: 143
Задание 16
Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите диаметр окружности, если AB = 9, AC = 12.
Решение.
Пусть окружность второй раз пересекает прямую AC в точке D, а DC = x. Тогда по свойству касательной и секущей, проведённых из одной точки к окружности, получаем
Ответ: 5,25.
Ответ: 5,25
5,25
Задание 17
Основания трапеции равны 5 и 40, одна из боковых сторон равна 14, а косинус угла между ней и одним из оснований равен 
. Найдите площадь трапеции.
Решение.
Пусть дана трапеция ABCD, где AD = 40, BC = 5, AB = 14, а 
Опустим перпендикуляр BH на сторону AD. Найдем синус угла из основного тригонометрического тождества:
Найдем высоту BH:
Площадь трапеции равна полусумме оснований на высоту:
Ответ: 252.
Ответ: 252
Задание 18
Найдите тангенс угла 
, изображённого на рисунке.
Решение.
Опустим перпендикуляр из точки B на прямую AO для получения прямоугольного треугольника. Тангенс угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему: 
Ответ: 1,5.
Ответ: 1,5
1,5
Задание 19
Какие из следующих утверждений верны?
1) Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов.
2) В тупоугольном треугольнике все углы тупые.
3) Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований.
Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.
Решение.
Проверим каждое из утверждений.
1) «Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов» — верно, для того, чтобы существовал треугольник, сумма любых его двух сторон должна быть больше третьей стороны.
2) «В тупоугольном треугольнике все углы тупые» — неверно: в тупоугольном треугольнике один тупой и два острых угла.
3) «Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований» — верно.
Ответ: 13.
Ответ: 13
Задание 20
Решите систему уравнений 
Решение.
Выразим одну переменную через другую из второго уравнения и подставим полученное выражение в первое уравнение
Заметим, что пара корней 
не является корнями уравнения, потому что при 
знаменатель второго уравнения обращается в ноль.
Ответ: (3; 6).
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
| Правильно выполнены преобразования, получен верный ответ | |
| Решение доведено до конца, но допущена ошибка или описка вычислительного характера, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно | |
| Другие случаи, не соответствующие указанным выше критериям | |
| Максимальный балл |
(3; 6).
Задание 21
Железнодорожный состав длиной в 1 км прошёл бы мимо столба за 1 мин., а через туннель (от входа локомотива до выхода последнего вагона) при той же скорости — за 3 мин. Какова длина туннеля (в км)?
Решение.
Поезд проходит через туннель за 3 минуты, при этом за одну минуту поезд проходит мимо выхода из туннеля, следовательно, от входа локомотива в туннель до выхода проходит 2 минуты. Мимо столба поезд длиной 1 км проходит за 1 минуту, поэтому его скорость равна 1 км/мин. Значит, за 2 минуты поезд пройдет 2 км, поэтому длина туннеля равна 2 км.
Ответ: 2.
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
График построен правильно, верно указаны все значения  , при которых прямая  имеет с графиком только одну общую точку
| |
| График построен правильно, указаны не все верные значения
| |
| Другие случаи, не соответствующие указанным выше критериям | |
| Максимальный балл |
2.
Задание 22
Постройте график функции 
Определите, при каких значениях k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.
Решение.
Преобразуем выражение: 
при условии, что 
Построим график:
Прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку, если она проходит через точку (1; −1,25) или если уравнение 
имеет один корень. Дискриминант уравнения 
равен 
, и он должен быть равен нулю. Получаем, что k = −1,25, k = −1 и k = 1.
Ответ: −1,25; −1; 1.
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
| График построен правильно, верно найдены искомые значения параметра. | |
| График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены. | |
| Другие случаи, не соответствующие указанным критериям. | |
| Максимальный балл |
−1,25; −1; 1.
Задание 23
Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB = 18, DC = 54, AC = 48.
Решение.
Углы DCM и BAM равны как накрест лежащие, углы DMC и BMA равны как вертикальные, следовательно, треугольники DMC и BMA подобны по двум углам. Значит,
Следовательно,
откуда 
Ответ: 36.
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
| Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ. | |
| Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения или допущена одна вычислительная ошибка. | |
| Другие случаи, не соответствующие указанным критериям. | |
| Максимальный балл |
36.
Задание 24
В параллелограмме ABCD точка E — середина стороны AB. Известно, что EC = ED. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.
Решение.
Противоположные стороны параллелограмма равны, то есть 
Рассмотрим треугольники 
и 
, в них 
равно 
равно 
и 
равно 
следовательно, треугольники равны по трём сторонам, а значит, 
Вспомним также, что противоположные углы параллелограмма равны, следовательно:
Сумма углов параллелограмма 360°:
Все углы параллелограмм прямые, а следовательно, этот параллелограмм — прямоугольник.
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
| Доказательство верное, все шаги обоснованы | |
| Доказательство в целом верное, но содержит неточности | |
| Другие случаи, не соответствующие указанным критериям | |
| Максимальный балл |
Задание 25
В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 104. Найдите стороны треугольника ABC.